多元函数的全微分PPT学习教案

1、会计学1多元函数的全微分多元函数的全微分),(),(yxfyxxf xyxfx ),(),(),(yxfyyxf yyxfy ),( 二二元元函函数数对对x和和对对y的的偏偏微微分分 二二元元函函数数对对x和和对对y的的偏偏增增量量由一元函数微分学中增量与微分的关系，在由一元函数微分学中增量与微分的关系，在二元函数中分别令二元函数中分别令y,x为常数可得：为常数可得：( , )dxfx yx( , )dyfx yy第1页/共25页 如果函数如果函数),(yxfz 在点在点),(yx的某邻域内有的某邻域内有定义，并设定义，并设),(yyxxP 为这邻域内的任意为这邻域内的任意一点，则称这两点的函

2、数值之差一点，则称这两点的函数值之差 ),(),(yxfyyxxf 为函数在点为函数在点 P对应于自变量增量对应于自变量增量yx ,的的全增量全增量，记为记为z ， 即即 ),(),(yxfyyxxfz 全增量的概念全增量的概念第2页/共25页全微分的定义全微分的定义第3页/共25页注注：由由定定义义知知，若若函函数数),(yxfz 在在点点),(yx可可微微,则则函函数数在在该该点点连连续续.（函函数数连连续续是是可可微微的的必必要要条条件件）事实上事实上),( oyBxAz , 0lim0 z ),(lim00yyxxfyx ),(lim0zyxf ),(yxf 故故函函数数),(yxfz

3、 在在点点),(yx处处连连续续.从而从而第4页/共25页 定定理理 1 1（必必要要条条件件）如如果果函函数数),(yxfz 在在点点),(yx可可微微分分，则则该该函函数数在在点点),(yx的的偏偏导导数数xz 、yz 必必存存在在，且且函函数数),(yxfz 在在点点),(yx的的全全微微分分为为 yyzxxzdz 第5页/共25页证证如如果果函函数数),(yxfz 在在点点),(yxP可可微微分分,任任取取 ),(yyxxPP的的某某个个邻邻域域)( oyBxAz 总成立总成立,当当0 y时，时，|22xyx ,),(),(yxfyxxfz |),(|xoxA Axzx 0lim,xz

4、 同理可得同理可得.yzB yyzxxzdz 第6页/共25页一元函数在某点的导数存在一元函数在某点的导数存在 微分存在微分存在多元函数的各偏导数存在多元函数的各偏导数存在 全微分存在全微分存在例如例如:.000),(222222 yxyxyxxyyxf在点在点)0 , 0(处有处有0)0 , 0()0 , 0( yxff0lim00 yBxAzyx研究研究?第7页/共25页)0 , 0()0 , 0(yfxfzyx ,)()(22yxyx 如如果果考考虑虑点点),(yxP 沿沿着着直直线线xy 趋趋近近于于)0 , 0(，则则 22)()(yxyx 22)()(xxxx ,21 说说明明它它

5、不不能能随随着着0 而而趋趋于于 0,0 当当 时时，),()0 , 0()0 , 0( oyfxfzyx 函数在点函数在点)0 , 0(处不可微处不可微.函数的各偏导数存在函数的各偏导数存在, 函数未必可求全微分。函数未必可求全微分。第8页/共25页定定理理（充充分分条条件件）如如果果函函数数),(yxfz 的的偏偏导导数数xz 、yz 在在点点),(yx连连续续，则则该该函函数数在在点点),(yx可可微微分分证证),(),(yxfyyxxfz ),(),(yyxfyyxxf ),(),(yxfyyxf xyyxxfx ),(1 yyyxfy ),(2)2 , 1, 10( ii),(),(

6、:11yxfyyxxfxx 令令),(),(22yxfyyxfyy 第9页/共25页xxyxfx 1),( yyyxfy 2),( z 2121 yx, 00 故函数故函数),(yxfz 在点在点),(yx处可微处可微.当当0, 0 yx时，时，. 2 , 1, 0 ii其其中中1 , 2 为为yx ,的的函函数数,（依偏导数的连续性（依偏导数的连续性）第10页/共25页习惯上，记全微分为习惯上，记全微分为ddd .zzzxyxy全微分的定义可推广到三元及三元以上函数全微分的定义可推广到三元及三元以上函数.dzzudyyudxxudu 有时也称二元函数的全微分等于它的两个偏微分有时也称二元函数

7、的全微分等于它的两个偏微分之和之和（从而叠加原理也适用于二元以上函数的情从而叠加原理也适用于二元以上函数的情况况第11页/共25页例例 1 1 计算函数计算函数xyez 在点在点)1 , 2(处的全微分处的全微分.解解,xyyexz ,xyxeyz ,2)1 ,2(exz ,22)1 ,2(eyz 22dd2 d .zexey所求全微分所求全微分第12页/共25页解解),2sin(yxyxz ),2sin(2)2cos(yxyyxyz (, )4(, )(, )44dddzzzxyxy).74(82 第13页/共25页例例 3 3 计计算算函函数数yzeyxu 2sin的的全全微微分分.解解,

8、 1 xu,2cos21yzzeyyu ,yzyezu 所求全微分所求全微分1dd( cos)dd .22yzyzyuxzeyyez第14页/共25页思路：按有关定义讨论；对于偏导数需分思路：按有关定义讨论；对于偏导数需分 )0 , 0(),( yx，)0 , 0(),( yx讨论讨论.第15页/共25页证证令令,cos x,sin y则则22)0,0(),(1sinlimyxxyyx 1sincossinlim20 0 ),0 , 0(f 故函数在点故函数在点)0 , 0(连续连续, )0 , 0(xfxfxfx )0 , 0()0 ,(lim0, 000lim0 xx同理同理. 0)0 ,

9、 0( yf第16页/共25页当当)0 , 0(),( yx时，时， ),(yxfx,1cos)(1sin22322222yxyxyxyxy 当当点点),(yxP沿沿直直线线xy 趋趋于于)0 , 0(时时,),(lim)0,0(),(yxfxxx,|21cos|22|21sinlim330 xxxxxx不存在不存在(0,0)xf第17页/共25页所以所以),(yxfx在在)0 , 0(不连续不连续.同理可证同理可证),(yxfy在在)0 , 0(不连续不连续.)0 , 0(),(fyxff 22)()(1sinyxyx )()(22yxo 故故),(yxf在点在点)0 , 0(可微可微(0,

10、0)d0.f第18页/共25页多元函数连续、可导、可微的关系多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数可微函数连续函数连续偏导数连续偏导数连续函数可导函数可导第19页/共25页全微分在近似计算中的应用全微分在近似计算中的应用都较小时，有近似等式都较小时，有近似等式连续，且连续，且个偏导数个偏导数的两的两在点在点当二元函数当二元函数yxyxfyxfyxPyxfzyx ,),(),(),(),(.),(),(yyxfxyxfdzzyx 也可写成也可写成.),(),(),(),(yyxfxyxfyxfyyxxfyx 第20页/共25页例例 5 5 计算计算02. 2)04. 1(的近似值的近似值.解

11、解.),(yxyxf 设函数设函数.02. 0,04. 0, 2, 1 yxyx取取, 1)2 , 1( f,),(1 yxyxyxf,ln),(xxyxfyy , 2)2 , 1( xf, 0)2 , 1( yf由公式得由公式得02. 0004. 021)04. 1(02. 2 .08. 1 第21页/共25页 函数函数),(yxfz 在点在点),(00yx处可微的充分条件是处可微的充分条件是:（1）),(yxf在点在点),(00yx处连续；处连续；（2）),(yxfx 、),(yxfy 在点在点),(00yx的的 某邻域存在；某邻域存在；（3）yyxfxyxfzyx ),(),(， 当当0

12、)()(22 yx时是无穷小量；时是无穷小量；（4）22)()(),(),(yxyyxfxyxfzyx , 当当0)()(22 yx时是无穷小量时是无穷小量.思考题思考题第22页/共25页 2、二元函数二元函数f(x，y)在点（在点（x0，y0)处两个偏导数处两个偏导数),(),(0000yxfyxfyx 存在，是存在，是f(x，y)在该点连续的在该点连续的（A）充分条件而非必要条件）充分条件而非必要条件 （B）必要条件而非充分条件）必要条件而非充分条件（C）充分必要条件）充分必要条件（D）既非充分条件又非必要条件）既非充分条件又非必要条件.),(lim),(lim),(lim),(),(),

13、),(),(300000000存存在在）存存在在；及及）点点可可微微；在在）点点连连续续；在在都都存存在在，则则的的两两个个偏偏导导数数在在、yxfDyxfyxfCPyxfBPyxfAffyxPyxfyyxxyyxxyx.),(),(),(4）必必不不可可微微）偏偏导导数数必必不不存存在在；）极极限限必必不不存存在在；必必无无定定义义；在在该该点点处处处处不不连连续续，则则在在、设设DCBAyxfyxyxfZ 第23页/共25页5、二元函数、二元函数 )0, 0(),(, 0)0, 0(),(,),(22yxyxyxxyyxf在点在点(0,0)处处(A) 连续、偏导数存在连续、偏导数存在（B）连续、偏导数不存在）连续、偏导数不存在(C) 不连续、偏导数存在不连续、偏导数存在（D）不连续、偏导数不存在）不连续、偏导数不存在, 0)0,