多元函数的基本概念52729PPT学习教案

1、会计学1多元函数的基本概念多元函数的基本概念52729提示：1.平面点集 坐标平面上具有某种性质P的点的集合 称为平面点集记作 E(x y)| (x y)具有性质P 集合R2RR(x y)|x yR表示坐标平面 第1页/共28页一、平面点集 n维空间 1.平面点集 坐标平面上具有某种性质P的点的集合 称为平面点集记作 E(x y)| (x y)具有性质P 例如 平面上以原点为中心、r为半径的圆内所有点的集合是 C(x y)| x2y2r2 或CP| |OP|r 其中P表示坐标为(x y)的点 |OP|表示点P到原点O的距离 第2页/共28页注： 设P0(x0 y0)是xOy平面上的一个点 是某

2、一正数 点P0的邻域记为U(P0 ) 它是如下点集 v邻域 | |),(00PPPPU 或 )()( | ) ,(),(20200yyxxyxPU 点 P0的去心邻域 记作) ,(0PU 即 |0 |) ,(00PPPPU 如果不需要强调邻域的半径 则用U(P0)表示点P0的某个邻域 点P0的某个去心邻域记作 )(0PU第3页/共28页 任意一点PR2与任意一个点集ER2之间必有以下三种关系中的一种 v点与点集之间的关系 内点 如果存在点P的某一邻域U(P) 使得U(P)E 则称P为E的内点 外点 如果存在点P的某个邻域U(P) 使得U(P)E 则称P为E的外点 边界点 如果点P的任一邻域内既

3、有属于E的点 也有不属于E的点 则称P点为E的边点边界点内点外点提问 E的内点、外点、边界点是否都必属于E？ E的边界点的全体 称为E的边界 记作E 第4页/共28页v聚点 如果对于任意给定的0 点 P 的去心邻域),(PU内总 有E中的点 则称P是E的聚点 点集E的聚点P本身 可以属于E 也可能不属于E 例如 设平面点集 E(x y)|1x2y22 满足1x2y22的一切点(x y)都是E的内点 满足x2y21的一切点(x y)都是E的边界点 它们都不属于E 满足x2y22的一切点(x y)也是E的边界点 它们都属于E 点集E以及它的界边E上的一切点都是E的聚点 第5页/共28页v开集 如果

4、点集E的点都是内点 则称E为开集 v闭集 如果点集的余集Ec为开集 则称E为闭集 举例 点集E(x y)|1x2y2连通性 第6页/共28页v有界集 对于平面点集E 如果存在某一正数r 使得EU(O r) 其中O是坐标原点 则称E为有界点集 v无界集 一个集合如果不是有界集 就称这集合为无界集 点集(x y)| xy1是无界闭区域 点集(x y)| xy1是无界开区域 举例 点集(x y)|1x2y24是有界闭区域 第7页/共28页 我们把n元有序实数组(x1 x2 xn)的全体所构成的集合记为Rn 即 RnRR R(x1 x2 xn)| xiR i1 2 n 2.n维空间 x(x1 x2 x

5、n)称为Rn中的一个点或一个n维向量 xi称为点x的第i个坐标或n维向量x的第i个分量 0(0 0 0)称为Rn中的原点或n维零向量第8页/共28页 我们把n元有序实数组(x1 x2 xn)的全体所构成的集合记为Rn 即 RnRR R(x1 x2 xn)| xiR i1 2 n 线性运算 设x(x1 x2 xn) y(y1 y2 yn)为Rn中任意两个元素 R 规定 xy(x1y1 x2y2 xnyn) x(x1 x2 xn) 这样定义了线性运算的集合Rn称为n维空间 2.n维空间 第9页/共28页注： Rn中点x(x1 x2 xn)和点y(y1 y2 yn)间的距离记作(x y) 规定两点间

6、的距离 2222211)( )()(),(nnyxyxyx yx Rn中元素x(x1 x2 xn)与零元0之间的距离(x 0)记作|x| 即 在R1、R2、R3中 通常将|x|记作|x|22221 |nxxx x ),()( )()(|2222211yxyx nnyxyxyx 显然第10页/共28页 设x(x1 x2 xn) a(a1 a2 an)Rn 如果|xa|0 则称变元x在Rn中趋于固定元a 记作xa 显然 xa x1a1 x2a2 xnan vRn中变元的极限 v平面点集中各种概念的推广 平面点集的一系列概念 可以方便地引入到n(n3)维空间中来 例如 设aRn 是某一正数 则n维空

7、间内的点集 U(a )x| x Rn (x a)就定义为Rn中点a的邻域 第11页/共28页注：v二元函数的定义 设D是R2的一个非空子集 称映射f DR为定义在D上的二元函数 通常记为zf(x y) (x y)D (或zf(P) PD)其中D称为该函数的定义域 x y称为自变量 z称为因变量 函数值 与自变量x、y的一对值(x y)相对应的因变量z的值称为 f 在点(x y)处的函数值 记作f(x y) 即zf(x y) 值域 f(D)z| zf(x y) (x y)D 函数也可以用其它符号 如zz(x y) zg(x y)等 第12页/共28页 把上述定义中的平面点集D换成n维空间Rn内的

8、点集D 映射f DR就称为定义在D上的n元函数 通常记为 uf(x1 x2 xn) (x1 x2 xn)D 或uf(x) x(x1 x2 xn)D 或uf(P) P(x1 x2 xn)D 二、多元函数概念v二元函数的定义 设D是R2的一个非空子集 称映射f DR为定义在D上的二元函数 通常记为zf(x y) (x y)D (或zf(P) PD)其中D称为该函数的定义域 x y称为自变量 z称为因变量 vn元函数 第13页/共28页 在一般地讨论用算式表达的多元函数uf(x)时 以使这个算式有意义的变元x的值所组成的点集为这个多元函数的自然定义域 对这类函数 它的定义域不再特别标出 v多元函数的

9、定义域 函数zln(xy)的定义域为 (x y)|xy0 函数zarcsin(x2y2)的定义域为 (x y)|x2y21 举例 第14页/共28页222222yxazyxaz和 zaxbycv二元函数的图形 点集(x y z)|zf(x y) (x y)D称为二元函数zf(x y)的图形 二元函数的图形是一张曲面 zaxbyc表示一张平面 举例 方程x2y2z2a2确定两个二元函数分别表示上半球面和下半球面 其定义域均为D(x y)|x2y2a2第15页/共28页v二重极限的定义 设二元函数f(P)f(x y)的定义域为D P0(x0 y0)是D的聚点 如果存在常数A 对于任意给定的正数e总

10、存在正数 使得当),(),(0PUDyxP时 都有 |f(P)A|f(x y)A|e成立 则称常数A为函数f(x y)当(x y)(x0 y0)时的极限 记为Ayxfyxyx),(lim),(),(00 或 f(x y)A (x y)(x0 y0) APfPP)(lim0或 f(P)A(PP0) 也记作 注 上述定义的极限也称为二重极限 第16页/共28页 二重极限概念可以推广到多元函数的极限 三、多元函数的极限v二重极限的定义 设二元函数f(P)f(x y)的定义域为D P0(x0 y0)是D的聚点 如果存在常数A 对于任意给定的正数e总存在正数 使得当),(),(0PUDyxP时 都有 |

11、f(P)A|f(x y)A|e成立 则称常数A为函数f(x y)当(x y)(x0 y0)时的极限 记为Ayxfyxyx),(lim),(),(00 或 f(x y)A (x y)(x0 y0) APfPP)(lim0或 f(P)A(PP0) 也记作 第17页/共28页 证明 因为 例1 例 4 设22221sin)(),(yxyxyxf 求证0),(lim)0 , 0(),(yxfyx 222222 | 01sin)( | 0),(|yxyxyxyxf 可见e 0 取e 则当 22) 0() 0(0yx 即),(),(OUDyxP时 总有 |f(x y)0|e 所以0),(lim)0 , 0

12、(),(yxfyx 第18页/共28页v必须注意 (1)二重极限存在 是指P以任何方式趋于P0时 函数都无限接近于A (2)如果当P以两种不同方式趋于P0时 函数趋于不同的值 则函数的极限不存在 讨论 函数0 00 ),(222222yxyxyxxyyxf在点(0 0)有无极限？ 第19页/共28页v多元函数的极限运算法则 与一元函数的情况类似 解 例2 例 5 求xxyyx)sin(lim)2 , 0(),( yxyxyxxyyxyx)sin(lim)sin(lim)2 , 0(),()2 , 0(),(221lim)sin(lim)2 , 0(),()2 , 0(),(yxyxyyxyxy

13、xyxyxxyyxyx)sin(lim)sin(lim)2 , 0(),()2 , 0(),( 221lim)sin(lim)2 , 0(),()2 , 0(),(yxyxyyxyx 第20页/共28页),(),(lim00),(),(00yxfyxfyxyx v二元函数连续性定义 二元函数的连续性概念可相应地推广到n元函数f(P)上去 设二元函数f(P)f (x y)的定义域为D P0(x0 y0)为D的聚点 且P0D 如果则称函数f (x y)在点P0(x0 y0)连续 如果函数f (x y)在D的每一点都连续 那么就称函数f (x y)在D上连续 或者称f (x y)是D上的连续函数 不

14、连续的情形：不连续的情形： 无定义 不存在 存在，但不为)()(0Mf)()(lim0MfMM)()(lim0MfMM)(0Mf第21页/共28页所以f(x y)sin x在点P0(x0 y0)连续 由P0的任意性知 sin x作为x y的二元函数在R2上连续 例3 设f(x,y)sin x 证明f(x y)是R2上的连续函数 证 对于任意的P0(x0 y0)R2 因为 类似的讨论可知 一元基本初等函数看成二元函数或二元以上的多元函数时 它们在各自的定义域内都是连续的 ),(sinsinlim),(lim000),(),(),(),(0000yxfxxyxfyxyxyxyx 第22页/共28页

15、有洞曲面有缝曲面 设函数f(x y)的定义域为D P0(x0 y0)是D的聚点 如果函数f(x y)在点P0不连续 则称P0为函数f(x y)的间断点 v函数的间断点 间断点可能是孤立点也可能是曲线上的点 函数0 00 ),(222222yxyxyxxyyxf的间断点为 O(0 0) 函数11sin22yxz的间断点为曲线 x2y21 上的点 间断点举例 第23页/共28页提示 多元连续函数的和、差、积仍为连续函数 连续函数的商在分母不为零处仍连续 多元连续函数的复合函数也是连续函数 一切多元初等函数在其定义区域内是连续的v多元初等函数的连续性 多元初等函数是指可用一个式子所表示的多元函数 这

16、个式子是由常数及具有不同自变量的一元基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算而得到的 提示 定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域 第24页/共28页v根据连续性求极限 如果f(P)是初等函数 且P0是f(P)的定义域的内点 则 )()(lim00PfPfPP 例 7 求xyyxyx)2 , 1 (),(lim 例4 解 函数xyyxyxf),(是初等函数 它的定义域为 解 因为P0(1 2)为D的内点 所以 D(x y)|x0 y0 23)2 , 1 (),(lim)2 , 1 (),(fyxfyx23) 2 , 1 (),(lim)2 , 1 (),(fyxfyx 第25页/共28页v根据连续性求极限 如果f(P)是初等函数 且P0是f(P)的定义域的内点 则 )()(lim00PfPfPP 例 8 求xyxyyx11lim)0 , 0(),( 例5 解 ) 11() 11)(11(lim11lim)0 , 0(),()0 , 0(),(xyxyxyxyxyxyyxyx21111lim)0 , 0(),(xyyx ) 11() 11)(11(lim11l