多元函数微分法及其应用习题课PPT学习教案

1、会计学1多元函数微分法及其应用习题课多元函数微分法及其应用习题课一、主要内容重重）极极限限元元函函数数的的（、nn 1),(lim),(lim)(lim1 1,0n01100110nxxxxnxxxxPPxxfxxfPfnnn 方方式式；以以即即定定义义：任何 , 0|0 , 1)00fDPPPPP 次次极极限限混混淆淆。注注意意：不不要要于于n。（几几乎乎）同同一一元元函函数数性性质质、运运算算、求求法法 2)连连续续、 2)()(lim )100PfPfPP 定义：定义：同同一一元元函函数数。的的连连续续性性性性质质、运运算算、初初等等函函数数 2)第1页/共18页全全连连续续与与偏偏连连

2、续续 3)全全连连续续 偏偏连连续续征征二二元元函函数数连连续续的的几几何何特特 4)函函数数的的性性质质上上连连续续有有界界闭闭区区域域 5)偏偏导导数数、 3011) ),(),( )10021001xnnxxxxfxxf 定定义义：物物理理意意义义与与几几何何意意义义 )2计计算算 )3）同同一一元元函函数数（更更复复杂杂用用定定义义 )1(复复合合函函数数的的链链式式法法则则则则运运算算法法则则、公公式式、（偏偏）导导数数的的四四用用基基本本初初等等函函数数的的导导数数 )2(式式法法、直直接接法法）用用隐隐函函数数的的求求导导法法（公公 )3(第2页/共18页高高阶阶偏偏导导数数 )

3、4定定义义 )1(无无关关的的条条件件混混合合偏偏导导数数与与求求导导顺顺序序 )2(全全微微分分、 4定定义义 )1同同一一元元函函数数的的微微分分运运算算法法则则、计计算算 )2的的关关系系连连续续、可可导导、可可微微之之间间、 5（全全）连连续续在在各偏导数（偏微分）存各偏导数（偏微分）存各各偏偏导导数数连连续续可可微微关关于于各各变变量量偏偏连连续续第3页/共18页微微分分法法的的应应用用、 6几几何何应应用用 )1求求曲曲线线的的切切线线与与法法平平面面 )1(关关键键：切切向向量量求求曲曲面面的的切切平平面面与与法法线线 )2(关关键键：法法向向量量求求极极值值与与最最值值 )2极

4、极值值的的必必要要条条件件 )1(点点的的充充分分条条件件二二元元函函数数的的驻驻点点为为极极值值 )2(条条件件极极值值的的求求法法 )3(最最值值的的求求法法 )4(解解出出隐隐函函数数法法、拉拉格格朗朗日日数数乘乘法法第4页/共18页？二、例题例1.lim00yxxyyx 求求解1xyyxyxxy同除同除 )0,0(),(lim. 0 xyyx111lim)0,0(),(解20)0 , 0(),(lim yyxyxxy 00lim0 xxx. 0解34,sincos)0,0(),(lim ryrxyxyxxy sincossincoslim0rr. 0？第5页/共18页解41,)0 ,

5、0(),(lim kkxyyxyxxy. 0 kxxkxxx0lim连连 kkxx1lim0实实际际上上，又又由由 yxxyxxyyx2)0 , 0(),(lim. 1 )()(lim220 xxxxxxx连连 11lim0 xx此此极极限限不不存存在在。例1.lim00yxxyyx 求求？第6页/共18页例2解.)(lim222200yxyxyx 求求 原式原式)ln()(lim2220,0yxxyyxe 122220,02220,0)()ln(lim)(lim yxyxyxxyyxyxe 222)(yxxy22222)(21(yxyx )(4122yx ;0122220, 0)()ln(l

6、im yxyxyx22yxu 10lnlimuuu,0. 0 原原式式第7页/共18页？例3解. 0),( ),( 1dxdyCFfyxtyxFttxfy，求，求、的函数，其中的函数，其中、确定的确定的是由方程是由方程而而设设 有有由由 ),( ),( yxtttxfy xttfxfdxdy 0),( tyxF由由txFFxt )(txtxFFffdxdy .txttxFFfFf 第8页/共18页例3解1. 0),( ),( 1dxdyCFfyxtyxFttxfy，求，求、的函数，其中的函数，其中、的的确定确定是由方程是由方程而而设设 则则有有确确定定的的隐隐函函数数为为而而确确定定的的隐隐函

7、函数数为为视视 , 0),( ),( , ),(,( )( tyxFyxttyxtxfyxyy)(dxdyttffdxdyyxtx ),(,(),( yxtxfyyxG由由yxGGdxdy ).1ytxtxtftff yxtyx.tftffdxdyytxtx 1此此步步也也可可用用公公式式：(, , tytxFFytFFxt 又又. yttxttxFfFFfFfdxdy 第9页/共18页解2对对方方程程组组两两边边求求导导，得得确确定定的的隐隐函函数数为为视视. 0),(),( )( tyxFtxfyxyy 0dxdtFdxdyFFdxdtffdxdytyxtx ),(),( txfytyxG

8、记记)t , y()G,F(/)t ,x()G,F(dxdy .tftffdxdyytxtx 1也也可可用用公公式式法法：.FfFFfFfyttxttx 第10页/共18页*例4解.,),(22223yxzyzyzCfxyxyfxz ，求，求设设)1(213xfxfxyz ,2214fxfx )1()1(222121211422xfxfxxfxfxyz ,222123115fxfxfx xyzyxz 22 2212114132)(4xfxyfyfxfx)(2214fxfxx .2422114213f yf yxf xfx )(222212xyfyfx 第11页/共18页*例5解., 0,sin

9、, 0),(),(12dxduzCfxyzexzyxfuy求求且且，、设设 u.cosxdxdy 显显然然:yzxz 及及求求得得求求导导两两边边关关于于对对视视,0),(),(2xzexyxzzy 0231 xzx )(321dxdyyzxzfdxdyffdxdu xyzxyxx;231 xxzzyyyzexzexyz ),( ),(22 32 ye.表表示示代代入入，用用 xdxdu 直接法公式法第12页/共18页另解1u.cos xdxdy 显显然然:dxdz求求得得求导求导两边两边对对视视,0),()()(,(2 zexxzxyxzzy ,02321 dxdzdxdyexy dxdzf

10、dxdyffdxdu 321xyzxyxx;cos232sin1 xexdxdzx.dxdux表表示示代代入入，用用 ., 0,sin, 0),(),(12dxduzCfxyzexzyxfuy求求且且，、设设 *例5第13页/共18页另解2. 自自变变量量为为为为因因变变量量、则则x,uzy得得求求导导对对方方程程组组两两边边视视, , )(),(),( xuuxzzxyy .u 解解出出确定确定由由视视 sin0),(),( )( 2 xyzexzyxfuxuuy cos02321321xyzyexzfyffuy 第14页/共18页另解3. 为自变量为自变量为因变量为因变量、则则x,uzy

11、),(),( zyxfuzyxF 记记 dxdu 则则确定确定由由视视 sin0),(),( )( 2 xyzexzyxfuxuuy . ),(),(2zexzyxGy ,sin),(xyzyxH ),(),( uzyHGF /),(),( xzyHGF 00101/cos0123232132132 yyeffxxefff第15页/共18页之间的最短距离之间的最短距离与与求求2222 zyxyxz例6解的的距距离离为为到到平平面面022),( zyxzyxP问题归结为：问题归结为：）的的条条件件最最小小值值点点。（即即先先求求 2dd),()22(61),(222yxzzyxzyxF 设设令,Fx0 ,Fy0 ,Fz0 ,yxz22 .647241414161min d得得，最最短短距距离离.2261 zyxd条条件件下下的的最最小小值值。在在求求0 ),( 22 zyxzyxd第16页/共18页练 习 题 22)(lim 12200yxyxyx 、求求 2 2、讨论、讨论33yxyxz 的连续性，并指出间断点类型的连续性，并指出间断点类型. .