多元函数微分学2PPT学习教案

1、会计学1多元函数微分学多元函数微分学2uvxzy链式法则如图示链式法则如图示 xz uzxu vz,xv yz uzyu vz.yv (3)( , )zf u v),(yxu ),(yxv 第1页/共55页例例 1 1 设设tuvzsin ，而而teu ，tvcos ， 求求全全导导数数dtdz. 解解tzdtdvvzdtduuzdtdz ttuvetcossin ttetettcossincos .cos)sin(costttet tteztsincos 第2页/共55页例例 2 2 设设vezusin ，而而xyu ，yxv ， 求求 xz 和和yz . 解解 xz uzxu vzxv 1

2、cossin veyveuu),cossin(vvyeu yz uzyu vzyv 1cossin vexveuu).cossin(vvxeu )sin(yxezxy 第3页/共55页例例3. 设设f，g为连续可微函数为连续可微函数),(),(xyxgwxyxfz 求求xwxz 解解 设设xy , fyxfxz).()1(21yffgyxwxz ,)1(gyxw ),(),(21xyxyfxyxf 第4页/共55页解解令令, zyxu ;xyzv 记记,),(1uvuff 同理有同理有,2f xwxvvfxuuf ;21fyzf 第5页/共55页 练习练习 设设),sin,2(xyyxfz 其

3、中其中f具有连续偏导数，求具有连续偏导数，求,zzxy解解122coszfyxfx12sin,zfxfy 第6页/共55页解解2214fxfxyz 2. 设设),(3xyxyfxz f具有连续偏导数，求具有连续偏导数，求,zzxy2331223()zyx fyx fxfxx23123x fyx fxyf第7页/共55页隐函数存在定理隐函数存在定理 1 1 设函数设函数),(yxF在点在点),(00yxP的的某一邻域内具有连续的偏导数，且某一邻域内具有连续的偏导数，且0),(00 yxF，0),(00 yxFy，则方程，则方程0),( yxF在点在点),(00yxP的的某一邻域内恒能唯一确定一个

4、单值连续且具有连续某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数导数的函数)(xfy ，它满足条件，它满足条件)(00 xfy ，并，并有有 yxFFdxdy . .隐函数的求导公式隐函数的求导公式0),( yxF（1）、一个方程）、一个方程,一个自变量的情形一个自变量的情形第8页/共55页解法（解法（1）公式）公式令令则则,arctanln),(22xyyxyxF ,),(22yxyxyxFx ,),(22yxxyyxFy yxFFdxdy .xyyx 第9页/共55页法（法（2）两边求导法）两边求导法则则.xyyxy )(arctan)(ln22 xyyx 2222)(12221x

5、yxyxyyxyyx yyxyyx 第10页/共55页.,0),(3dxdyyxxyF求求：设设例例 0)(,()1(221 yyxyFyxyyxxyF解解.122231FxyxFyFyFy ),(),()2(yxxyFyxG 设设解解yFyFGx121 221yxFxFGy 221211yxFxFyFyFGGyyx .122231FxyxFyFyF 第11页/共55页隐隐函函数数存存在在定定理理 2 2 设设函函数数),(zyxF在在点点,(0 xP),00zy的的某某一一邻邻域域内内有有连连续续的的偏偏导导数数，且且,(0 xF0),00 zy，0),(000 zyxFz，则则方方程程,(

6、yxF0) z在在点点),(000zyxP的的某某一一邻邻域域内内恒恒能能唯唯一一确确定定一一个个单单值值连连续续且且具具有有连连续续偏偏导导数数的的函函数数),(yxfz ，它它满满足足条条件件),(000yxfz ，并并有有 zxFFxz ， zyFFyz . .0),( zyxF（2）、一个方程）、一个方程,两个自变量两个自变量第12页/共55页例例 4 4 设设zxyz , ,则则 xz? ? yz? ? zxyzzyxF ),(解解：设设zzFxxln 则则1 zyzyFyyxzFzxzln1 zxFFxz yyxzzzzxxlnln1 zyFFyz yyxzzyzxzln11 第1

7、3页/共55页例例 6 6 设设),(xyzzyxfz ，求求xz ，yx ，zy .解解令令 ),(zyxFzxyzzyxf ),(yzffFx 21xzffFy 21121 xyffFzzxFFxz ,12121xyffyzff xyFFyx ,2121yzffxzff 第14页/共55页xz )1(xzfu ),(xzxyyzfv 整理得整理得xz ,1vuvuxyffyzff 把把z看看成成yx,的的函函数数对对x求求偏偏导导数数得得xz ，解解第15页/共55页2 2、设设,32)32sin(2zyxzyx 证明：证明：. 1 yzxz ,32)32sin(2),(zyxzyxzyx

8、F 证：证：1)32cos(2),( zyxzyxFx22)32cos(2),( zyxzyxFy33)32cos(2),( ）（zyxzyxFz3)32cos(6)32cos(21 zyxzyxxz3)32cos(6)32cos(42 zyxzyxyz，. 1 yzxz第16页/共55页记记)(),(zyzxzyxF , 则则zFx1 ，,1)(zzyFy ,)()(22zyzyzxFz ,)(zyyxzFFxzzx ,)()(zyyxzyzFFyzzy 于是于是zyzyxzx .3、 已已 知知)(zyzx ， 其其 中中 为为 可可 微微 函函 数数 ， 求求? yzyxzx 第17页/

9、共55页),(),(),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx 切平面的法向量切平面的法向量0)(,()(,()(,(000000000000 zzzyxFyyzyxFxxzyxFzyx设曲面方程为设曲面方程为0),( zyxFnTM切平面方程为切平面方程为第18页/共55页 通通过过点点),(000zyxM而而垂垂直直于于切切平平面面的的直直线线称称为为曲曲面面在在该该点点的的法法线线.法线方程为法线方程为),(),(),(000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx 第19页/共55页特殊地：空间曲面方程形为特殊地：空间曲面方程形为),(yxfz 曲面在

10、曲面在M处的切平面方程为处的切平面方程为,)(,()(,(0000000zzyyyxfxxyxfyx 曲面在曲面在M处的法线方程为处的法线方程为.1),(),(0000000 zzyxfyyyxfxxyx,),(),(zyxfzyxF 令令第20页/共55页例例 3 3 求旋转抛物面求旋转抛物面122 yxz在点在点)4 , 1 , 2(处的切平面及法线方程处的切平面及法线方程.解解, 1),(22 yxyxf)4, 1 ,2()4, 1 ,2(1,2,2 yxn,1, 2, 4 切平面方程为切平面方程为, 0)4()1(2)2(4 zyx, 0624 zyx法线方程为法线方程为.142142

11、 zyx第21页/共55页例例 4 4 求曲面求曲面32 xyezz在点在点)0 , 2 , 1(处的处的切平面及法线方程切平面及法线方程.解解, 32),( xyezzyxFz, 42)0,2, 1()0,2, 1( yFx, 22)0,2, 1()0,2, 1( xFy, 01)0,2, 1()0,2, 1( zzeF令令切平面方程切平面方程法线方程法线方程, 0)0(0)2(2)1(4 zyx, 042 yx.001221 zyx第22页/共55页例例 5 5 求曲面求曲面2132222 zyx平行于平面平行于平面064 zyx的各切平面方程的各切平面方程.解解设设 为曲面上的切点为曲面

12、上的切点,),(000zyx切平面方程为切平面方程为0)(6)(4)(2000000 zzzyyyxxx依题意，切平面方程平行于已知平面，得依题意，切平面方程平行于已知平面，得,664412000zyx .2000zyx 第23页/共55页因为因为 是曲面上的切点，是曲面上的切点，),(000zyx, 10 x所求切点为所求切点为满足方程满足方程),2 , 2 , 1(),2, 2, 1( 0)2(12)2(8)1(2 zyx2164 zyx0)2(12)2(8)1(2 zyx2164 zyx切平面方程切平面方程(1)切平面方程切平面方程(2)第24页/共55页 特别的：二元函数函数),(yx

13、fz 在点在点),(00yx的的某邻域内有定义，对于该邻域内异于某邻域内有定义，对于该邻域内异于),(00yx的的点点),(yx：若满足不等式：若满足不等式),(),(00yxfyxf ，则称函数在则称函数在),(00yx有极大值；若满足不等式有极大值；若满足不等式),(),(00yxfyxf ，则称函数在，则称函数在),(00yx有极有极小值；小值； 极大值、极小值统称为极值极大值、极小值统称为极值. .使函数取得极值使函数取得极值的点称为极值点的点称为极值点. .第25页/共55页(1)(2)(3)例例1 1处有极小值处有极小值在在函数函数)0 , 0(4322yxz 例例处有极大值处有极

14、大值在在函数函数)0 , 0(22yxz 例例处无极值处无极值在在函数函数)0 , 0(xyz 第26页/共55页定理定理 1 1（必要条件）（必要条件）设函数设函数),(yxfz 在点在点),(00yx具有偏导数，且具有偏导数，且在点在点),(00yx处有极值，则它在该点的偏导数必处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：然为零： 0),(00 yxfx， 0),(00 yxfy. .2 2、多元函数取得极值的条件、多元函数取得极值的条件第27页/共55页例例, 点点)0 , 0(是是函函数数xyz 的的唯唯一一驻驻点点，但但不不是是极极值值点点.注：注：1）极值点处的切平面平行于）极值点处的切

15、平面平行于xoy平面；平面； 2）使一阶偏导数同时为零的点，称为）使一阶偏导数同时为零的点，称为函数的函数的驻点驻点.驻点驻点极值点极值点如何判定驻点是否为极值点？如何判定驻点是否为极值点？注意注意：第28页/共55页又又 0),(00 yxfx, , 0),(00 yxfy，令，令: : Ayxfxx ),(00，Byxfxy ),(00，Cyxfyy ),(00，则则),(yxf在点在点),(00yx处是否取得极值的条件如下：处是否取得极值的条件如下：（1 1）02 BAC时具有极值，时具有极值， 当当0 A时有极大值，时有极大值， 当当0 A时有极小值；时有极小值；（2 2）02 BAC

16、时没有极值；时没有极值；（3 3）02 BAC时可能有极值时可能有极值, ,也可能没有极值也可能没有极值定理定理 2 2 ( (充分条件充分条件) )设函数设函数),(yxfz 在点在点),(00yx的某邻域内连的某邻域内连续，有一阶及二阶连续偏导数，续，有一阶及二阶连续偏导数，第29页/共55页求函数求函数z=f(z=f(x,y)x,y)极值的一般步骤：极值的一般步骤：第第一一步步 解解方方程程组组, 0),( yxfx0),( yxfy求出实数解，得驻点求出实数解，得驻点.第二步第二步 对于每一个驻点对于每一个驻点),(00yx，求出二阶偏导数的值求出二阶偏导数的值 A、B、C.第三步第三

17、步 定出定出2BAC 的符号，再判定是否是极值的符号，再判定是否是极值.第30页/共55页例例 4 4 求函数求函数 f(f(x,y)=xx,y)=x4 4+y+y4 4-x-x2 2-2xy-y-2xy-y2 2的极值的极值 解解 f fx x( (x,y)=4xx,y)=4x3 3-2x-2y-2x-2y=0=0，f fy y( (x,y)=4yx,y)=4y3 3-2x-2y-2x-2y=0=0， 得驻点得驻点（1 1，1 1） ，） ， （-1-1，-1-1） ，） ， （0 0，0 0） 。） 。 判断：求二阶偏导判断：求二阶偏导 f fxxxx( (x,y)=12xx,y)=12x

18、2 2-2, -2, f fxyxy( (x,y)=-2x,y)=-2, , f fyyyy( (x,y)=12yx,y)=12y2 2-2-2， 在点在点（1 1，1 1）处，）处， A=fA=fxxxx(1,1)=10, (1,1)=10, B=fB=fxyxy(1,1)=-2(1,1)=-2，C=fC=fyyyy(1,1)=10(1,1)=10 因因 B B2 2AC0AC0A0， 故故 f(1,1)=f(1,1)= -2-2 为极小值为极小值 类似可得类似可得 f(-1,-1)=f(-1,-1)= - -2 2 为极小值为极小值第31页/共55页在点在点（0 0，0 0）处，）处，A=

19、B=C=A=B=C= - -2 2，B B2 2-AC=0-AC=0，此时应用极值定义判断此时应用极值定义判断 f(0,0)=0f(0,0)=0 是否为极值是否为极值对足够小的正数对足够小的正数 ，有，有 f(f( ，0)=0)= 2 2（ 2 2-1-1）0, 0 0这说明在点这说明在点（0 0，0 0）的任一邻域内，既有函数值大于）的任一邻域内，既有函数值大于f(0f(0, ,0)0)的点，又有函数值小于的点，又有函数值小于 f(0f(0，0)0)的点，故的点，故f(0f(0，0)0)非极值非极值. .第32页/共55页求最值的一般方法求最值的一般方法： 将函数在将函数在D D内的所有驻点

20、处的函数值及在内的所有驻点处的函数值及在D D的边界上的最大值和最小值相互比较，其中的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值最大者即为最大值，最小者即为最小值. .3 3、多元函数的最值、多元函数的最值第33页/共55页例1（03四01）某厂生产某产品甲和乙，出售的单价分别为10元和9元，生产甲产品x件与生产乙产品y件的总费用是 400+2x+3y+0.01(3x2+xy+3y2)元，问两种产品的产量各多少件时能够取得最大利润？解：利润=总售价-总费用L(x,y)=(10 x+9y)-(400+2x+3y+0.01(3x2+xy+3y2)10(20.060.01

21、 )09(30.010.06 )0 xyLxyLxy唯一驻点x=120,y=80第34页/共55页第三步，比较以上两步所得各函数值，最大者为第三步，比较以上两步所得各函数值，最大者为M，最小者为，最小者为m故故M=25=25，m=9=9例例2: 求函数求函数 z=f(x,y)=x2+4y2+9在区域在区域D：x2+y24上的最大值上的最大值M和最小值和最小值m.解解: 第一步，求第一步，求f在域内可能极值点函数值在域内可能极值点函数值: fx(x,y)=2x=0，fy(x,y)=8y=0 驻点驻点(0,0), f(0,0)=9.第二步，求第二步，求f在边界上的可能最值点在边界上的可能最值点在边

22、界在边界 x2+y2=4上，上，z=3y2+13，2y2， z=0 = y=0 (0,0),(0,-2),(0,2)第35页/共55页例3设2, 121xxxbxxay3ln2为其极值点，求ba, 32bxxay0, 021xxyy0342032baba212ba解：第36页/共55页18.22xyze则则 dz=( ) A. 22xye (xdx+ydy) B. 222xye (xdx+ydy) C. 22xye (ydx+xdy) D. 222xye (ydx+xdy) 19.函数函数221zxy 的极值点是函数的（的极值点是函数的（ ） A可微点可微点 B、不可微点、不可微点 C、驻点、

23、驻点 D、间断点、间断点 第37页/共55页1. 设设 f(x,y,z)=ln(xy+z),则则 f x(1,2,0)=_ 若函数若函数 z=z(x,y)由方程由方程 e z-xyz=0 确定则确定则zx=_ 第38页/共55页实例：实例： 小王有小王有200元钱，他决定用来购买两元钱，他决定用来购买两种急需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他种急需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他购买购买 张磁盘，张磁盘， 盒录音磁带达到最佳效果盒录音磁带达到最佳效果，效果函数为，效果函数为 设每张设每张磁盘磁盘8元，每盒磁带元，每盒磁带10元，问他如何分配这元，问他如何分配这200元以达到最佳效果元以达到最佳效

24、果xyyxyxUlnln),( 问题的实质：求问题的实质：求 在在条件条件 下的极值点下的极值点yxyxUlnln),( 200108 yx第39页/共55页拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法 要找函数要找函数),(yxfz 在条件在条件0),( yx 下的下的可能极值点，可能极值点，先构造函数先构造函数),(),(),(yxyxfyxF ，其中其中 为某一常数，可由为某一常数，可由 . 0),(, 0),(),(, 0),(),(yxyxyxfyxyxfyyxx 解出解出 , yx，其中，其中yx,就是可能的极值点的坐标就是可能的极值点的坐标.条件极值条件极值：对自变量有附加条件的极值：对自变量有

25、附加条件的极值第40页/共55页拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个的情况：拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个的情况：要找函数要找函数),(tzyxfu 在条件在条件 0),( tzyx ，0),( tzyx 下的极值，下的极值， 先构造函数先构造函数 ),(),(tzyxftzyxF ),(),(21tzyxtzyx 其中其中21, 均为常数，可由均为常数，可由 偏导数为零及条件解出偏导数为零及条件解出tzyx,，即得极值点的坐标，即得极值点的坐标.第41页/共55页（01四01）某工厂生产某产品需两种原料A、B，产品的产量z与所需 A原料数x及B的原料数y的关系式为z=x2+8xy+7y

26、2 ,已知A原料的单价为1万元/吨，B的单价为2万元/吨，现有100万元，如何购置原料，才能使该产品的产量最大？ 法一（化条件极值为无条件极值）将x+2y=100代入 z=x2+8xy+7y2 Z=1002+400y-5y2Z=0 =y=40 唯一驻点 购置x=20,y=40原料，才能使该产品的产量最大第42页/共55页（01四01）某工厂生产某产品需两种原料A、B，产品的产量z与所需 A原料数x及B的原料数y的关系式为z=x2+8xy+7y2 ,已知A原料的单价为1万元/吨，B的单价为2万元/吨，现有100万元，如何购置原料，才能使该产品的产量最大？ 法二（条件极值拉格朗日乘数法） L=x2

27、+8xy+7y2 +(x+2y-100）2802142021000 xyLxyLyyLxyx=20,y=40第43页/共55页解解令令 )12(),(23 zyxzyxzyxF , 120020323322zyxyxFyzxFzyxFzyx 解解得得唯唯一一驻驻点点)2 , 4 , 6(，.691224623max u则则故最大值为故最大值为 2x=3y, y=2z第44页/共55页解：(法一）设直角三角形的两直角边分别为x和y，则x2+y2=a2L=x+y+a=x+ +a22xa L=1-22xax 由L=0得：x=y=2a当两直角边相等且等于2a时周长最大。例2.在斜边之长为a的一切直角三

28、角形中求有最大周长的直角三角形第45页/共55页解：(法二）设直角三角形的两直角边分别为x和y，则x2+y2=a2L=x+y+a+（x2+y2-a2)当两直角边相等且等于2a时周长最大。例2.在斜边之长为a的一切直角三角形中求有最大周长的直角三角形2221201200 xyLxLyLxya 第46页/共55页例例3.3.证明点（证明点（x x0 0,y,y0 0) )到直线到直线ax+by+c=0ax+by+c=0的（最短）的（最短）距离为距离为.10022cbyaxbad证明：设证明：设2020)()(),(yyxxyxf则问题就是在条件则问题就是在条件ax+by+c=0ax+by+c=0下下求求f(x,y)的最小值。的最小值。构造函数构造函数)()()(),(2020cbyaxyyxxyxL00)(20)(200cbyaxLbyyLaxxLyx2200)(2bacbyax第47页/共55页.10022cbyaxbad20202)()(),(yyxxyxfd2200)(2bacbyax2/)(2/)(00byyaxx第48页/共55页之间的最短距离之间的最短距离与平面与平面求旋转抛物面求旋转抛物面2222 zyxyxz例例4解解.2261,022,),(22 zyxddzyxPyxzzyxP的距离为的距离为到平面到平面则则上