数学建模-灰色预测方法

1、1 灰色预测理论2 GM(1,1)模型 3 GM(1,1) 模型的改进 灰色预测法灰色预测法4 灰色预测实例1 灰灰 色色 预预 测测 理理 论论 一、灰色预测的概念 （1）灰色系统、白色系统和黑色系统 白色系统是指一个系统的内部特征是完全 已知的，即系统的信息是完全充分的。 黑色系统是指一个系统的内部信息对外界 来说是一无所知的，只能通过它与外界的 联系来加以观测研究。 灰色系统内的一部分信息是已知的，另一 部分信息是未知 的，系统内各因素间有不 确定的关系。 灰色预测法是一种对含有不确定因素的系 统进行预测的方法。 灰色预测是对既含有已知信息又含有不确定 信息的系统进行预则，就是对在一定范

2、围内 变化的、与时间有关的灰色过程进行预测。 （2）灰色预测方法 灰色预测法用等时距观测到的反映预测对 象特征的一系列数量值构造灰色预测模型， 预测未来某一时刻的特征量，或达到某一 特征量的时间。（3）灰色预测数据的特点： 1）序列性：原始数据以时间序列的形式出现。2）少数据性：原始数据序列可以少到只有4个数据。 （4）灰色预测的四种常见类型 灰色时间序列预测 即用观察到的反映预测对象特征的时间序列来构造灰色预测模型，预测未来某一时刻的特征量，或达到某一特征量的时间。 灾变预测 即通过灰色模型预测异常值出现的时刻，预测异常值 什么时候出现在特定时区内。 系统预测 通过对系统行为特征指标建立一组

3、相互关联的灰色预测模型，预测系统中众多变量间的相互协调关系的变化。 拓扑预测（波形预测） 将原始数据做曲线，在曲线上按定值寻找该定值发生的所有时点，并以该定值为框架构成时点数列，然后建立模型预测该定值所发生的时点。二、灰色生成数列 对灰数的处理主要是利用数据处理方法去寻求数据间的内在规律，通过对已知数据列中的数据进行处理而产生新的数据列，以此来研究寻找数据的规律性，这种方法称为数据的生成。 数据的生成方式有多种，常用的方法有累加生成、累减生成和加权累加生成等。（1） 累加生成设原始数列为，令则称为数列的- 次累加生成，数列称为数列的- 次累加生成数列。类似地有称之为的r- 次累加生成。记，称之

4、为的r- 次累加生成数列。 累加的规则: 将原始序列的第一个数据作为生成列的第一个数据，将原始序列的第二个数据加到原始序列的第一个数据上，其和作为生成列的第二个数据，将原始序列的第三个数据加到生成列的第二个数据上，其和作为生成列的第三个数据，按此规则进行下去，便可得到生成列。 对非负数据，累加次数越多则随机性弱化 越多，累加次数足够大后，可认为时间序 列已由随机序列变为非随机序列。 一般随机序列的多次累加序列，大多可用 指数曲线逼近。累加举例：设原始时间序列为 01,2 ,1.5 ,3X 一次累加生成列为 11,3 ,4.5 ,7.5X 的曲线是摆动的，起伏变化幅度较大，而 已呈现明显的增长规

5、律性。 0X 1X（2） 累减生成 将原始序列前后两个数据相减得到累减生成序列 累减是累加的逆运算，累减可将累加生成 列 还原为非生成列，在建模中获得增量信息。一次累减的公式为： 一般地，对于r次累加生成数列则称为数列 的累减生成数列。(0)(1)(1)( )( )(1),2,3,xkxkxkkn则称为数列的1- 次累减生成。(0)( )xk(1)x如果数据列为，令（3） 均值生成设原始数列则称与为数列的邻值，为后邻值，为前邻值.对于常数，则称的邻值生成数（或生成值）。为由数列的邻值在生成系数（权）下特别地，当生成系数时，则称为紧邻均值生成数，即等权邻值生成数。类似地，可以定义非紧邻值生成数由

6、而得的数列称为紧邻均值生成数列。 2 GM（1，1）模型 灰色模型是利用离散随机数经过生成变为随机性被显著削弱而且较有规律的生成数，建立起的微分方程形式的模型，这样便于对其变化过程进行研究和描述。 灰色预测模型称为GM模型，G为grey的第一个字母，M为model的第一个字母。 GM（1，1）表示一阶的，一个变量的微分方程型预测模型。GM（1，1）是一阶单序列的线性动态模型，主要用于时间序列预测。一、 GM（1，1）模型概述 (0)Xn设有数列共有个观察值(0)0(0)(1),2 ,( )xxxn（ ）（ ）(0)X(1)X对作累加生成，得到新的数列，其元素(1)(0)1( )()1,2,km

7、xkxmkn 有： (1)(0)(1)(0)(0)(1)(0)(1)(1)(2)(1)(2)(1)(2)xxxxxxx (1)(0)(0)(0)(1)(0)(1)(1)(0)(3)(1)(2)(3)(2)(3)( )(1)( )xxxxxxxnxnxn令(1)Z为(1)X的均值序列(1)(1)(1)(2),( )Zzzn (0)(1)( )( )xkazkb(1)(1)(1)( )0.5( )(1)zkxkxk 其中：则GM(1,1)的灰微分方程模型为：灰导数发展系数灰作用量GM(1,1)的白化型：式中：, a b为待估计参数。分别称为发展灰数和内生控制灰数。为灰导数，对应于(0)( )xk(

8、1)dxdt为白化背景值，对应于(1)( )zk(1)( )xt则灰微分方程对应的白化方程为：(1)(1)( )dxaxtbdt(1)(0)( )( )azkbxk灰方程也可改写为：按最小二乘法求解，有：T1T a(B B) B Y 式中： (1)(0)(1)(0)(1)(0)(2)1(2)(3)1(3)B( )1( )zxzxYznxn 预测模型白化响应式（解）为： a(1,1)GM将代入 ，并解微分方程，有 aab a 为待估计参数向量，则 aab 设 (1)(0)(0)(1)(1)(0)(1)(1);1,2,(1)(1)( )1(1);1,2,ataatbbxtxetnaaxtxtxtb

9、exetna 注意：GM(1,1)白化型不是从定义推导出来的，是一种“借用”或“白化默认”，所以，一切从白化推导出来的结果，只在不与定义型有矛盾时才成立，否则无效。也可由GM(1,1)模型推导出另一表达式内涵型表达式：2(0)(0)10.5(1)( );1,2,10.510.5taba xxttnaa 灰色预测的事前检验 给定序列(0)X能否建立较高精度的GM(1,1)模型，一般用序列 的光滑比 对 作准光滑性检验；用累加序列 的级比 对 作准指数规律性检验来判断满足建模条件(0)X(1)( )k ( )k (0)X(1)X(1)X(0)(1)( )( )(1)xkkxk 光滑比定义： （1）

10、 若光滑比满足递减且()(0, 0.5)3kk 则称 为准光滑序列。(0)X(1)(1)(0)( )( )(1)xkkxk 级比定义：（2）若级比满足：(1)( )( ,) ,0.5ka bba 则认为 具有准指数规律。当（1）（2）都满足时可对 建GM(1,1)模型。(1)X若原始数据不适合建立GM(1,1)模型，则进行予处理。(0)X注：GM(1，1)模型中发展系数a的取值范围 22a,11nn 二、二、GMGM（1 1，1 1）的建模步骤）的建模步骤 灰色预测检验一般有残差、关联度和后验差检验。三、模型检验三、模型检验（1）残差检验按预测模型计算 ,1iX并将 iX1累减生成 ,0iX然

11、后计算原始序列 iX0与 iX0的绝对误差序列及相对误差序列。 00ixixi 0100%iixi ni,.,2 , 1ni,.,2 , 1残差：相对误差：残差序列 (0)(1 ,2 ,)n 一般要求20%i ，最好是10%i 02(1)100%1|1niipn 平平均均相相对对精精度度：平平均均相相对对误误差差：一般要求080%p ，最好是090%p 而对于给定的nn 当当且且成成立立时时，( (为为n n点点的的模模拟拟相相对对误误差差) )称为残差合格模型。 ，（2）关联度检验(0)XX第一步计算原始数列的模型计算值。 第二步计算与的绝对误差(0)0( ) |( )( )| (1,2,

12、)ixixiin（ ）(0)( )xi(0)( )xi代入、数据得：(0)(0)( ) |( )( )|ixixi第三步计算最小差与最大差(0)XXMin ( )i 最小差为：最大差为：M ( )axi 第四步计算关联系数( ) i Min ( )Max ( )( )(1,2, )( )Max ( )iiiinii ( ) i 式中：第i个数据的关联系数； 分辨系数，一般取0.5第五步计算关联度 11( )niin (0)XX式中：数列对的关联度。n样本个数。(3) 后验差检验a. 计算原始数列的均值 (0)(0)11( )nixxin b. 计算原始数列的方差 根据经验，当=0.5时，关联度

13、大于0.6便满意了。2(0)(0) 2111( )niSxixn 此外，也可计算 与 的绝对关联度 【1】，若对于给定的 ，则称为关联度合格模型。 (0)XX 000, 有有(0) c. 计算残差序列的均值(0)11( )niin d. 求残差的方差2(0)(0) 2211( )niSin e. 计算均方差比21SCS f. 计算小误差概率1|( )| 0.6745pPiS 注：对给定的 称模型为均方差比合格模型 。 000,CCC 当当注：对给定的 称模型为小误差概率合格模型 。 000,ppp 当当g. 检验根据经验，对给定 的一组取值，就确定 了检验模型模拟精度的等级划分如下表。通过以上

14、检验，如果相对误差、关联度、均方差比值、小误差概率都在允许范围之内时，则可用所建模进行预测，否则应进行残差修正。000,Cp 表 预测精度等级划分 指标临界值精度等级相对误差关联度均方差比值小误差概率一级0.010.900.350.95二级0.050.800.500.80三级0.100.700.650.70四级0.200.600.800.60 0 0C0p四、预测GM(1,1)模型经以上检验合格后可用于预测，其预测公式为：(0)(1)(1)( )( )(1)xixixi(0)( )xi式中： i时期预测值。(1)( )xi(1)(1)xi ，生成数列预测值，按 计算。 (1)(1)xi 对于数

15、列预测，要建立多个预测模型，得到多组预测值，然后进行分析，从中确定出一个合适的预测模型，以取定一组合适的预测值。 对于一组数列，要建立多个预测模型，是通过对原始数列进行不同的取舍，形成新的数列，即对数列中的数据用不同的组合方式和取舍方式派生出新的数列，对原始数列和派生出来的新数据都建立预测模型，这样就对一个数列建立了多个预测模型。(0)(0)0(0)(0)(1),(2),(3),(8)xxxxx （ ）例如有下述原始数列：(0)X对中的数据可用如下取舍：(0)(0)(0)(0)(0)(0)1(1),(2),(3),(4),(5)Xxxxxx (0)(0)(0)(0)(0)(0)2(2),(3)

16、,(4),(5),(6)Xxxxxx (0)(0)(0)(0)(0)(0)3(3),(4),(5),(6),(7)Xxxxxx (0)(0)(0)(0)(0)(0)4(4),(5),(6),(7),(8)Xxxxxx ，这样就形成了四个新数列：(0)(0)(0)(0)1234,XXXX再加上原始数列，就可建立五个GM（1，1）模型。3 GM(1,1)模型的改进模型的改进一、用残差模型进行修正一、用残差模型进行修正 若用原始时间序列 0X检验不合格或精度不理想时，则可用GM（1，1）残差模型进行修正以提高原GM（1，1）模型的预测精度，从而达到改进目的。建立的GM(1,1)模型1(0)1(1)a

17、ibbxixeaa （ ）（）(1)(1)(1)(1)(1),(2),( )Xxxxn (0)X如有原始数列，并已建立GM（1，1）模型(1)X(1)X由该GM（1，1）模型可得生成数列 的模拟值(1)X(1)X(0) 记生成数列与其模拟值之差为，则有（1）GM（1，1）残差模型(0)(1)(1)( )( )( )jxjxj j(0)X式中：开始进行残差修正的原始数列的数据序号；00,1,jkkn 如果取则可建模的残差尾段为(0)( ) j j 第个生成数据与其模拟值的偏差。(0)(0)(0)(0)00() ,(1) ,( )kkn注意： (0)0( ),jjk 符号一致；04nk(0) 必须

18、满足将上述的残差尾段仍记为(0)(0)(0)(0)00(),(1),( )kkn 的的一次累加生成数列(1) 为。(1)(1)(1)(1)00(),(1),( )kkn对1 （ ）建立GM（1，1）模型有： 0()(1)(0)00(1)(),ak kbbkkekkaa 对上式求导数得残差尾段 的模拟序列 0()(0)(0)00(1)()(),ak kbkakekka (0) (0) (0)(0)(0)(0)00(),(1),( )kkn其中则得 的残差修正GM（1，1）模型， (1)X用 修正累加序列 的模拟序列 则得(0) (0)0(1)(0)(0)0(1),(1)(1)(1),akakbb

19、xekkaaxkbbxekkkaa 式中的正负号应与残差尾段 的符号保持一致。(0) (1)X(1)X二、对二、对GM(1,1)模型的其它改进方法模型的其它改进方法 （1）新信息GM（1，1）模型不断地补充新出现的信息，即在预测下一时刻的值时，将最新的信息加入。此模型随着时间推移，序列长度会越来越长；（2）新陈代谢GM（1，1）模型即新信息出现后，将老信息去掉，加入新信息，保持序列长度不变；（3）GM（1，1）模型群法 用原始时间序列数据建立多个GM（1，1）模型，给出预测值的区间；一、数列的预测实例原始数据 (1)求原始序列的一届累加生成4 灰灰 色色 预预 测测 实例实例(0)(0)(0)

20、(0)(0)(1),(2),(3),(4)(27260,29547,32411,35388)Xxxxx (1)(1)(1)(1)(1)(1),(2),(3),(4)(27260,56806,89218,124606)Xxxxx (1)(1)(1)( )0.5( )(1)zkxkxk (2)对 作准光滑性检验(0)X(0)(1)( )( )(1)xkkxk (3)对 作准指数规律性检验(1)X(1)(1)(0)( )( )(1)xkkxk (4)作 的紧邻均值生成序列 并且确定B,Y(1)X(1)Z(1)(0)(1)(0)(1)(0)(2)142033.51(2)29547B(3)173012.

21、51(3)32411(4)11066121(4)35388zxzYxzx (5)按最小二乘法确定a,b的估计值T1T0.089995 a(B B) B25790.28aYb (6)确定模型(1)(1)0.089995( )25790.28dxxtdt 其时间响应式(1)0.089995(0)(1)(1)(1)313834286574(1)(1)( )kxkexkxkxk (0)(0)(0)(0)(0)(1),(2),(3),(4)(27260,29553,32337,35381)Xxxxx 并得 的模拟值(0)X(0)(0)(0)(0)(0)(1),(2),(3),(4)(0, 6,74,7)

22、 (7) 检验误差 残差序列相对误差序列1234(,)(0,0.0002,0.00228,0.0002) 421|0.067%0.011iin 平平均均相相对对误误差差： 相对误差检验= 关关联联度度检检验验： 0.9970.90, 0.9970.90,关关联联度度为为一一级级。均均方方差差比比检检验验：123115.5,6103.48,18.75,64.46xSS 10.67454116.8S 小小误误差差概概率率： ，40.02%0.01 模模拟拟误误差差：，精精度度为为一一级级。210.010.35SCS，均均方方差差比比值值为为一一级级。1| ( )| 0.674510.95pPiS，小小误误差差概概率率为为一一级级。 (8) 预测(1)0.089995(0)(1)(1)(1)313834286574(1)(1)( )kxkexkxkxk 应应用用 (0)(0)(0)(0)(5),(6)=(38714,42359)XXxx 可可得得的的两两个个预预测测值值如如下下： 二、灾变灰预测方法由异常值构成的序列指序列中有异常值，是异常值可能在未来某时区发生的预测步骤一：原始序列、阈值 给出原始序列，指定阈值 （正常值与异常值的界限）步骤二：构造异常值序列X 12( ( ), ( ), ()mXx tx tx t 步骤三：时分布序列 12( ,)mt