复变函数论PPT学习教案

1、会计学1复变函数论复变函数论2 2021-12-13存在. )( ,0可导在那么就称zzf , )( 1 . 20如果极限内有定义的区域在包含设函数定义Dzzfw , )( 0的导数在这个极限值称为zzf.)()(limdd)(00000zzfzzfzwzfzzz )()(lim 000zzfzzfz第一节 解析函数的概念与柯西-黎曼方程在定义中应注意:记作.)0(00的方式是任意的的方式是任意的即即 zzzzd( )dw= f(z)wfzz类似实变函数,可以定义的微分. )( , )( 可导在区域内称内处处可导在区域如果函数DzfDzf第1页/共27页3 2021-12-13由于求导数本质上

2、是求极限的过程,由此,可以用求极限的方法来求导数:2.1z例证明:f(z)= 处处不可导0: limzfz 证明0limzzzzz ,0()i(y+)ilimixyxxyxyxy ,0ilimixyxyxy 2222,0,0(0)xyxyxy 由于令实际上是要求0,000,0 xyxy 可以选择趋于 的方式0,0i, limlim1izxyfxyzxy 此时0,0i, limlim1izxyfxyzxy 此时z所以f(z)= 处处不可导第2页/共27页4 2021-12-13例2.2 .)(的导数求nzzfzzfzzfzfz)()(lim)(0解zzzznnz)(lim000limkkn kn

3、nnkzzC zzz 100limkkn knnkzC zzz 0011limkknzkn knC zz 0 11 1001 1002(2) 1(11100)21limlim.limlimzznnnnznnnnnnnnnznzC zC zCzzzzzC 111nnnnCznz1()nnznz第3页/共27页5 2021-12-13zifzififz)1 ()1 (lim)1 (0练习: .12)(22处的导数在点求iziyxzf解yixyixyixyx2200)(2)(42limimimyixyixyixxxmy142)(2)(42lim220于是以上极限为则沿直线令,),1(11xmyxmy

4、iz处不可导。故函数在存在。的路径，从而原极限不极限结果依赖于iziz11第4页/共27页6 2021-12-13,0)0(时时而使而使向向当点沿平行于虚轴的方当点沿平行于虚轴的方 zxzzfzzfzfzz )()(limlim00,1lim00iyixyxy ,0极限值不同时向使当点沿这两个不同的方z.Im)(在复平面上处处不可导在复平面上处处不可导故故zzf 练习 .Im)(的可导性的可导性讨论讨论zzf zzfzzfzf )()(解zzzz Im)Im(zzzz ImImImzz Imyixyix )Im(,yixy ,0)0(时时而使而使向向当点沿平行于实轴的方当点沿平行于实轴的方 z

5、yzzfzzfzfzz )()(limlim00, 0lim00 yixyyx第5页/共27页7 2021-12-13xyoz0 y ，轴的直线趋向于轴的直线趋向于沿着平行于沿着平行于设设zyzz 0 xyixyixz 2lim0, 22lim0 yiyiy不存在不存在的导数的导数所以所以.2)(yixzf 练习: 是否可导？是否可导？问问yixzf2)( zzfzzfzfzz )()(limlim00解zyixiyyxxz 2)( 2)(lim0yixyixz 2lim0 ，轴的直线趋向于轴的直线趋向于沿着平行于沿着平行于设设zxzz xyoz0 yyixyixz 2lim0, 1lim0

6、xxx第6页/共27页8 2021-12-132.可导与连续: 函数 f (z) 在 z0 处可导,则在 z0 处一定连续, 但函数 f(z) 在 z0 处连续不一定在 z0 处可导.3.求导法则: . , 0)()1(为复常数为复常数其中其中cc .,)()2(1为正整数为正整数其中其中nnzznn ).()()()()3(zgzfzgzf ).()()()()()()4(zgzfzgzfzgzf )0)(.)()()()()()()()5(2 zgzgzgzfzgzfzgzf )( ).()()()6(zgwzgwfzgf 其中其中0)( ,)()( ,)(1)()7( wwzzfwwzf

7、 且且函函数数两两个个互互为为反反函函数数的的单单值值是是与与其其中中第7页/共27页9 2021-12-13二、解析函数的概念1. 解析函数的定义).( )( .)( ,)(全纯函数或正则函数个解析函数内的一区域是或称内解析区域在则称内每一点可导区域在如果函数DzfDzfDzf. )(0解析在则称zzf00 ( ), zfzz及的某邻域内处处如果函数在可导函数在区域内解析与在区域内可导是等价的.但是,函数在一点处解析与在一点处可导是不等价的概念. 即函数在一点处可导, 不一定在该点处解析.函数在一点处解析比在该点处可导的要求要高得多. , 0 )( 02处可导处可导在在例如例如 zzzf .

8、 0 0处不解析处不解析但在但在 z根据定义可知:第8页/共27页102021-12-132. 奇点的定义.)()(, )(000的奇点为则称解析点的的任何一个邻域内总有但在不解析在若函数zfz，zfzzzf3.求导法则; (例2.3-2.5) . , 0)()1(为复常数为复常数其中其中cc .,)()2(1为正整数为正整数其中其中nnzznn ).()()()()3(zgzfzgzf ).()()()()()()4(zgzfzgzfzgzf )0)(.)()()()()()()()5(2 zgzgzgzfzgzfzgzf )( ).()()()6(zgwzgwfzgf 其中其中第9页/共2

9、7页112021-12-13例1.1 的解析性的解析性研究函数研究函数zw 解 , 0 1 处处处处可可导导在在复复平平面面内内除除因因为为 zzw ,1dd 2zzw 且且 , 0 外外处处处处解解析析在在复复平平面面内内除除所所以以 zw . 0 为它的奇点为它的奇点 z例2.)Re()( 的的可可导导性性与与解解析析性性研研究究函函数数zzzf 解, 0)1( zzfzfz ) 0()0(lim0, 0)Re(lim0 zzzz . 0 )Re()( 处可导处可导在在故故 zzzzf课后思考题：.1 的的解解析析性性研研究究函函数数zw 答案处处不可导,处处不解析.第10页/共27页12

10、2021-12-13, 0)2( zzzfzzf )()(zzzzzzz )Re()Re()()Re()Re()Re(zzzzzzz , yixz 令令zzfzzf )()( , xxyixxz ,)()(lim 00 xzzfzzfyx 因为因为,)()(lim 00 xzzzfzzfxy . )()(lim 0不存在不存在所以所以zzfzzfz . , , 0 )( 析析它它在在复复平平面面内内处处处处不不解解根根据据定定义义可可导导而而在在其其他他点点都都不不处处可可导导仅仅在在因因此此 zzf , )( , 0 不可导不可导时时即当即当zfz 第11页/共27页132021-12-13

11、定理 . )( )( )( )1(内内解解析析在在除除去去分分母母为为零零的的点点和和、差差、积积、商商的的与与内内解解析析的的两两个个函函数数在在区区域域DzgzfD. )( , )( , . )( , )( )2(内解析内解析在在那末复合函数那末复合函数于于都属都属的对应值的对应值函数函数内的每一个点内的每一个点对对如果如果内解析内解析平面上的区域平面上的区域在在函数函数内解析内解析平面上的区域平面上的区域在在设函数设函数DzgfwGhzgzDGhhfwDzzgh 以上定理的证明, 可利用求导法则.根据定理可知:(1) 所有多项式在复平面内是处处解析的.( )(2) ( ), .P zQ

12、z任何一个有理分式函数在不含分母为零的点的区域内是解析的 使分母为零的点是它的奇点第12页/共27页142021-12-133.柯西黎曼方程(C-R方程)i ( , )( )( , ),iw= f zu x yDz=v x yx+ y设区域内有定义 且在点处可导0lim()( )zf zzf zz因为存在,所以0000(liml)( )()(im)xyyxf zzf zf zzf zzz 00( ,lim)i ( ,)( , )i ( , )ixyu x yyv x yyu x yv x yy 00(, )i (, )( , )ilim( , )yxu xx yv xxxxyu x yvy 即

13、0000limlim( ,)( , )(, )( , )( ,)( , )i (, )il(mimi,il)yxyxv x yyv x yu xx yu x yyu x yyu x yv xx yvxxx yy 第13页/共27页152021-12-130000limlim( ,)( , )(, )( , )( ,)( , )i (, )il(mimi,il)yxyxv x yyv x yu xx yu x yyu x yyu x yv xx yvxxx yy 即vuyx,uvyx 整理一下:C,()-Ruvuvxyyx 方程 ( )( , )( , ) ,( ) (,1)( , ), ( ,

14、 )( , )xyxyf zu x yiv x yDf zDzxyiuu x y v x yx yuv v可微的必要条定理2.1()设函数在区域内有定义在内一点可微,则偏导数存在;(2)在处满件足C-R方程.第14页/共27页162021-12-13)|00(f zxyzz在处满足定理2.1的条件例2.在6,但不可微0(,0)(0,0)lim(0,0)xxuuxux0|00lim|xxx 0(0,0)yv0(0,)(0,0)lim(0,0)yyuuyuy0|00l|imyyy0(0,0)xv ),(0(0fzfz但是0lim|ixy k xxyxy 0, lim(0)(0)xy k xfzfz

15、 所以0|mi()lixy k xx k xxk x 0|(1)limixy k xkxxk 但是这个极限不存在,所以不可导因此,定理2.1是必要不充分的第15页/共27页172021-12-13定理2.2(在一点处可微的充要条件) ( )( , )( , ) , f zu x yiv x yD设函数在区域内有定义( : ) zxf zyDi则在内一点可导的充要条件是(1) ( , ) ( , (), ) ,u x yvyx yx与在可微点(2) ( , ) ( , ) ( , , . )u x yv x yuvuvxx yyyx 与在满足柯西点黎曼方程证明略,202(,)( ,( , ) (

16、 , )lim)x yg xg xx yyxyyyxxgy 二元实函数在可微是指存在 : ),(),()( 处的导数公式点在且可得函数yixzyxivyxuzf)7 . 2(.1)(式yvyuixvixuzf第16页/共27页182021-12-13由于二元函数可微性的判断比较麻烦,因此有 ( )( , )( , ) ,(,) (1)( , ), ( , )( ( , )( , ), )xyxyf zu x yiv x yDf zDuu x yzxyix yx yzxv x yf zuDvyvi推论2.3()设函数在区域内有定义 若在内满足:偏导数在处存在且连续;(2)在处满足C-R方程,则在

17、内一点在一点处可微的充分条件一点点处可微例.i 2)(222的可导性函数研究定义于复平面内的xyyxzzf解.2,2,2,2 ,2, 22xvyvyuxuxyvyxuyxyx因为令方程，在复平面内满足连续，且四个偏导数在复平面内RCzf)( 在复平面内处处可导。故2)(zzf第17页/共27页192021-12-13根据解析和可导的关系,可以得到 ( )( , )( , ) , ( ):(1) ( , ) ( , ) , (2) ( , ) ( , ) , .f zu x yiv x yDf zDu x yv x yuvuvu x yv x yxyDxDDy 函数在区域内解析的充要条件在内定理

18、2.4()设函数在区域内有定义 则在 内解析的充要条件是与可微在与满足柯西黎曼方程:内 ( )( , )( , ) ,( ) (1),( , ), ( , )( ), xyxyu vf zu x yiv x yDf zDvuu x y v x yf zDDDD定理2.5()设函数在区域内有定义 若在内满足:偏导数内在区域内解析的充分条件在区域区域内存在且连续;(2)在满足C-R方程,则在内解析 : ),(),()( 处的导数公式在点且可得解析函数yixzyxivyxuzf)7 . 2(.1)(式yvyuixvixuzf第18页/共27页202021-12-1322.7( ) |f zz例讨论的

19、解析性222( )|fzzyx解:22( , ), ( , )0yu x yxv x y2 ,2 ,0 xyxyx uyuvv这 四 个 偏 导 数 在 平 面 上 处 处 连 续 ,(0, 0)但 只 在 点处 满 足 C-R方 程(0,0( )f z只在点可微()fz在 复 平 面 上 处 处 不 解 析在一点处解析是该点周围处处可微在区域内解析是区域内处处可微第19页/共27页212021-12-1322.8(i)f zxy例讨论的可微性和解析性解:2( , ), ( , )u x yx v x yy 2 ,0,0,1xyxyx uvvu 这 四 个 偏 导 数 在 平 面 上 处 处

20、连 续 ,要满足C-R方程,则有2()1fzx在 复 平 面 上= -上 处 处 可 微 ,但 在 复 平 面 上 处 处 不 解 析,xyxyuv uv 21x 第20页/共27页222021-12-13(cosi sin2.9( )zxyyf zee例讨论的可微性和解析性解:( , )cos , ( , )sinxxu x yey v x yeycossinsinc,o,sxxxxxyxyueyeyeyeyuvv 这 四 个 偏 导 数 在 平 面 上 处 处 连 续 ,且在复平面上处处满足C-R方程,()fz在 复 平 面 上 处 处 解 析第21页/共27页232021-12-13总结

21、:解析函数的判定方法:. )( , )( ) 1 (内是解析的在义断定则可根据解析函数的定内处处存在的导数在区域导法则证实复变函数如果能用求导公式与求DzfDzf. )(, RC ) , ( , )( 2)(内解析在件可以断定则由解析函数的充要条方程并满足可微因而偏导数都存在、连续内的各一阶在中如果复变函数DzfvuDvuivuzf第22页/共27页242021-12-13 : ),(),()( 处的导数公式在点解析函数证明yixzyxivyxuzf：)7 . 2 (.1)(式yvyuixvixuzf证明:( )f z可导0()( )lim0zf zzf zzz 存在且与方式无关00,0,zyx 取的方式为:得00(,i (, )( , )i ()li,m)yxx yv xx yu x yuv x yxx 0000(,( , )(, )( , )i)limlimyyxxx yu x yu xv xx yv x yxx ixxvu再由C-R公式即得证第23页/共27页252021-12-13解,)1(zw ,yvxu . 1, 0, 0, 1 yvxvyuxu不满足柯西黎曼方程, .