复变函数与积分变换留数在定积分计算上的应用PPT学习教案

1、会计学1复变函数与积分变换留数在定积分计算复变函数与积分变换留数在定积分计算上的应用上的应用1. 形如 的积分, 其中R(cosq,sinq )为 cosq与sinq 的有理函数. 20(cos ,sin )Rdqq q221111sin(ee),cos(ee).2222iiiizziizzqqqqqq令 z = eiq , 则 dz = ieiq dq , 而从而积分化为沿正向单位圆周的积分2022| | 1| | 1(cos ,sin )d11 d,( )d22zzRzzzRf zzzizizqqq02011ii第1页/共20页其中f (z)是z的有理函数, 且在单位圆周|z|=1上分母不

2、为零, 根据留数定理有 其中zk (k=1,2,.,n)为单位圆 |z|=1内的 f (z)的孤立奇点.nkkzzzfizzf11|),(Res2d)(例1 计算 的值.) 10(dcos212cos202pppIqqq解 由于0p1, 被积函数的分母在0q 2内不为零, 因 而积分是有意义的. 由于cos2q = (e2iq + e2iq ) /2= (z2 + z2) /2, 因此第2页/共20页1|1|241|2122d)(d)(1 (21d22112zzzzzfzpzpzizzizzpzzpzzI221244222242112122111122(1)(1)112()(1)zzzzizp

3、pzzizzpzpp zizzpzppzzizzppz第3页/共20页 在被积函数的三个极点z=0, p, 1/p中只有前两个在圆周|z|=1内, 其中z=0为二级极点, z=p为一级极点.422022342222220d1Res ( ),0limd2(1)()()4(1)(12)1lim,2 ()2zzzf zzzizpz zpzpzpp zzzpzppi zpzpp zip 4422211Res ( ), lim (),2(1)()2(1)zpzpf zpzpizpz zpipp2422222112 222(1)1pppIiipippp第4页/共20页例2 计算 的值.0,011cos2d

4、xIx解：令2 ,2;:0,:02x ddx xqq q21201111/121cos2212zzddz izdzIzzizzqq22111iIi第5页/共20页例 3022sin351d计算qqq202sin35122d令122)3()3(2zidzizizziezq令31izz 内只有一个二阶极点：被积函数在6452565223),(Res2iiizfi解：第6页/共20页2. 形如( )dR xx的积分 当被积函数 R(x)是 x 的有理函数, 而分母的次数至少比分子的次数高二次, 并且 R(x)在实轴上没有孤立奇点时, 积分是存在的. 取积分路线如图所示, 其中CR是以原点为中心, R

5、为半径的在上半平面的半圆周. 取R适当大, 使R(z)所有的在上半平面内的极点zk都包在这积分路线内.z1z2z3yCRRROx不失一般性, 设1111( ),2nnnmmmza zaR zmnzb zb为一已约分式.第7页/共20页( )d( )2Res ( ),RRkRCR xxR z dziR z z此等式不因CR的半径R不断增大而有所改变.2( )d|( )|d0RRCCRMR zzR zsRRMR 111111112|1|1|( )|1|1 |1|1 |1(|)|nnm nmmnnm nmmm na za zR zzb zb za za zzb zb zMMzzz当足够大时第8页/共

6、20页0( ),1( )d( )dRes ( ),.2kR xR xxR xxiR z z如果为偶函数( )d2Res ( ),.kR xxiR z z因此例 4dxxxx1242计算在上半平面其中的四个一阶极点为214, 32, 12422222224,2321,2321:1)(0) 1)(1() 1(1zzizizzzzzfzzzzzzzz第9页/共20页3343134312),(Res),(Res221iiiiizzfzzfi例 5 2101(1)ndxx 计算,1) 1(1)(12iznzzfn阶极点在上半平面只有一个21112(1)nIdxx解：1212111( 1) (1)(2)2

7、Res ( ), !(2 )(1)(2)2(21)!22(2 )!nnnnnz indnnnif z iiin dzzininnnnnn 第10页/共20页3. 形如 的积分( )e d(0)aixR xxa 当R(x)是x的有理函数而分母的次数至少比分子的次数高一次, 且R(x)在实数轴上没有奇点时, 积分是存在的. 象2中处理中处理的一样, 由于mn1, 故对充分大的|z|有|( )|MR zz因此, 在半径R充分大的CR上, 有sinsin(2 /)22000ed2ed2edaRaRaRMMMqqq qqqz1z2z3yCRRROxyqOy=sinq2yq21( )e d|( )|e|d

8、edRRRaizaizayCCCMR zzR zssR第11页/共20页2201(1e)0,( )e d2 Res ( )e,.aRaRaRRaixaizkMMMeeaRaRaRR xxiR zzq 因此得也可写为( )cosd( )sind2Res ( ),.aizkR xax xiR xax xiR z ez例6 计算 的值.220sin(0)xxIdx axa22( )zR zza解 这里m=2,n=1,mn=1.R(z)在实轴上无孤立奇点,因而所求的积分是存在的. 在上半平面内有一级极点ai,第12页/共20页22e d2 Res ( )e ,ixizxxiR zaixae2lim2

9、.2izaaziazeiiiezia22220sin11dIm().22ixaxxxxe dxexaxa因此例4 计算积分 的值.0sinxdxx解 因为 是偶函数, 所以sin xx0sin1sin2xxdxdxxx0)(zzezfiz在实轴上有奇点第13页/共20页 为了使积分路线不通过原点, 取如下图所示的路线. 由柯西积分定理, 有0RrizixizixrRCRCreeeedzdxdzdxzxzxCrCRyxOrrRR令xt, 则有ixitixrrRRRreeedxdtdxxtx 0RrixixizizRrCCeeeedxdzdzxzzsin20RrizizRrCCxeeidxdzdz

10、xzz第14页/共20页因此, 要算出所求积分的值, 只需求出极限0limlimRrizizCCRreedzdzzz与下面将证明0lim0, limRrizizCCRreedzdzizz sin2.RrizizRrCCxeeidxdzdzxzz 由于sin0sin(2 /)2200|1|22(1).RRRizizyRCCCRRReedzdse dsedzzRededeRqqq qqq所以lim0.RizCRedzz第15页/共20页 (z)在z=0处解析, 且 (0)=i, 当|z|充分小时可使| (z)|2, 111( )2!iznnezi zizzznz 而0riiCdziredizreqqq ( )rrrizCCCedzdzz dzzz由于( )| ( )|22rrrCCCz dzzdsdsr在r充分小时,0lim( )0rCrz dz0limrizCredziz 0sin2xidxix0sin.2xdxx第16页/共20页例题 2,110nndxxnN计算位于上半平面一阶极点的奇点为：ninkikneznkezzzf0121, 1 , 011)(0z) 1(RCRCOneRzCRxxezCiRniqq20:0:2；第17页/共20页),(Res2)()()(00zzfidzzfdzzfdxxfCCRRniRnRn