综合法、分析法、反证法PPT课件

1、2021/7/231推推 理理合情推理合情推理演绎推理演绎推理归纳归纳(特殊到一般特殊到一般）类比类比（特殊到特殊特殊到特殊）三段论三段论（一般到特殊一般到特殊）一、复习：一、复习：演绎推理是演绎推理是证明证明数学结论、建立数学体系的数学结论、建立数学体系的重要思维过程重要思维过程. .数学结论、数学结论、证明证明思路的发现思路的发现, ,主要靠合情推理主要靠合情推理. .2021/7/232直接证明2021/7/2332.2.1 2.2.1 综合法综合法2021/7/234例例1.1.已知已知a0,b0,a0,b0,求证求证a(ba(b2 2+c+c2 2)+b(c)+b(c2 2+a+a2

2、 2)4abc)4abc因为因为b b2 2+c+c2 2 2bc,a02bc,a0所以所以a(ba(b2 2+c+c2 2) )2abc.2abc.又因为又因为c c2 2+b+b2 2 2bc,b02bc,b0所以所以b(cb(c2 2+a+a2 2) ) 2abc.2abc.因此因此a(ba(b2 2+c+c2 2)+b(c)+b(c2 2+a+a2 2) )4abc.4abc.证明证明: :2021/7/235从从已知条件已知条件出发，以出发，以已知定义、公理、定理已知定义、公理、定理等等为依据为依据, ,逐步下推，直到推出要证明的结论为逐步下推，直到推出要证明的结论为止，这种证明方法

3、叫做止，这种证明方法叫做综合法综合法(顺推证法顺推证法)用用P P表示已知条件、已有的定义、公理、表示已知条件、已有的定义、公理、定理等定理等,Q,Q表示所要证明的结论表示所要证明的结论. .则则综合法综合法用框图表示为用框图表示为: :1 1P PQ Q1 12 2Q QQ Q2 23 3Q QQ Qn nQ QQ Q特点:“由因导果”二、综合法定义：二、综合法定义：2021/7/236练习为数证. .已已知知a a、b b、c c不不全全相相等等的的正正，b b+ +c c- -a ac c+ +a a- -b ba a+ +b b- -c c求求：+ + + 3 3. .a ab bc

4、c2021/7/237例例2 2在在中，三个内角、对应的中，三个内角、对应的边分别为边分别为a a、b b、c c，且、成等差数列，且、成等差数列，a a、b b、c c成等比数列，求证：成等比数列，求证：为等边三为等边三角形角形0260(?)A CBB 为 什 么? : ?A,B,C成等差数列可得什么由a,b,c成等比数分由列可得什么析2bac?怎样把边,角联系起来符号语言图形语言文字语言点评：点评：解决数学问题时，解决数学问题时，学会语言转换；还要细学会语言转换；还要细致，致，找出隐含条件。找出隐含条件。2021/7/238例例3.3.在锐角三角形中，在锐角三角形中，求证求证sinA+si

5、nB+sinCcosA+cosB+cosCsinA+sinB+sinCcosA+cosB+cosC2021/7/239课堂练习：课堂练习：12 22 22 22 22 22 2. .已已知知a a, ,b b, ,c c 0 0, ,且且不不全全等等，求求证证：a a( (b b + +c c ) )+ +b b( (c c + +a a ) )+ +c c( (a a + +b b ) ) 6 6a ab bc c2021/7/2310回顾基本不等式：回顾基本不等式： (a0,b0)(a0,b0)的证明的证明. .a a + + b ba a b b2 2证法证法2 2要证要证只需证只需证只

6、需证只需证只需证只需证因为因为 成立成立所以所以 成立成立 a a+ +b ba ab b2 2 2a a+ +b ba ab b 20a a+ +b ba ab b()b 20a a()b 20a aa a + + b ba ab b2 2综合法综合法分析法分析法证法证法1 1因为因为所以所以 成立成立()b 20a a a a + + b ba ab b2 22)(222baabbaabbaQ2021/7/2311 一般地，从要一般地，从要证明的结论证明的结论出发，逐步出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的寻求推证过程中，使每一步结论成立的充充分条件分条件，直至最后，把要证明的结论归

7、结，直至最后，把要证明的结论归结为判定为判定一个明显成立一个明显成立的条件（已知条件、的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明的定理、定义、公理等）为止，这种证明的方法叫做方法叫做分析法（分析法（也叫也叫逆推证法或执果逆推证法或执果索因法索因法） 特点：特点：执果索因执果索因. .用框图表示分析法的思考过程、特点用框图表示分析法的思考过程、特点. .1 1QPQP2323PPPP1212PPPP得到一个明显得到一个明显成立的结论成立的结论2021/7/23122736例1.求证：2736证明：因为，都是正数2736所以，要证222736只需证 （） （）1492 18展开得 9+2

8、1418只需证 2736只需证 1418,这显然成立所以成立2021/7/2313例例2 2:如图如图,SA,SA平面平面ABC,ABBC,ABC,ABBC,过过A A作作SBSB的垂线的垂线, ,垂足为垂足为E,E,过过E E作作SCSC的垂线的垂线, ,垂垂足为足为F,F,求证求证 AFSCAFSCF FE ES SC CB BA A证明证明: :要证要证AFAFSCSC只需证只需证:SC:SC平面平面AEFAEF只需证只需证:AE:AESCSC只需证只需证:AE:AE平面平面SBCSBC只需证只需证:AE:AEBCBC只需证只需证:BC:BC平面平面SABSAB只需证只需证:BC:BCS

9、ASA只需证只需证:SA:SA平面平面ABCABC因为因为:SA:SA平面平面ABCABC成立成立所以所以. AF. AFSCSC成立成立2021/7/2314思考：请对综合法与分析法进行比请对综合法与分析法进行比较，说出它们各自的特点。回顾以往较，说出它们各自的特点。回顾以往的数学学习，说说你对这两种证明方的数学学习，说说你对这两种证明方法的新认识。法的新认识。综合法的特点综合法的特点: :由因导果由因导果分析法的特点分析法的特点：执果索因执果索因. .2021/7/2315间接证明之反证法之反证法2021/7/2316思考？思考？ A A、B B、C C三个人，三个人，A A说说B B撒谎

10、，撒谎，B B说说C C撒谎，撒谎，C C说说A A、B B都撒谎。则都撒谎。则C C必定是在撒谎，为必定是在撒谎，为什么？什么？分析分析: :假设假设C C没有撒谎没有撒谎, , 则则C C真真. 那么那么A A假且假且B B假假; ;由由A A假假, , 知知B B真真. . 这与这与B B假矛盾假矛盾. .那么假设那么假设C C没有撒谎不成立没有撒谎不成立; ;则则C C必定是在撒谎必定是在撒谎. .2021/7/2317 反证法：反证法： 假设假设命题结论的命题结论的反面成立反面成立，经过正确的，经过正确的推理推理, ,引出引出矛盾矛盾，因此说明假设错误，因此说明假设错误, ,从从而证

11、明原命题成立而证明原命题成立, ,这样的的证明方法叫这样的的证明方法叫反证法反证法。反证法的思维方法：反证法的思维方法：正难则反正难则反2021/7/2318反证法的基本步骤反证法的基本步骤：（1 1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立（2 2）从这个）从这个假设出发假设出发，经过推理论证，得出，经过推理论证，得出矛盾矛盾； （3 3）从矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论）从矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确正确2021/7/23191 1、用反正法证明时，导出矛盾有那几种可能？、用反正法证明时，导出矛盾有那几种可能？（1）与原命题的

12、条件矛盾；）与原命题的条件矛盾；（2）与定义、公理、定理等矛盾；）与定义、公理、定理等矛盾；（3）与结论的反面成立矛盾。）与结论的反面成立矛盾。（1 1）难于直接难于直接使用已知条件使用已知条件导出结论导出结论的命题；的命题；（2 2）唯一性唯一性命题；命题；（3 3）“至多至多”或或“至少至少”性命题；性命题；（4 4）否定性或肯定性否定性或肯定性命题。命题。2 2、你认为反证法的使用情形有那些？、你认为反证法的使用情形有那些？2021/7/2320121212122222112211221:若p p = 2(q +q ),证明:关于x的方程1:若p p = 2(q +q ),证明:关于x的

13、方程x +p x+q = 0与x +p x+q = 0中至少有一x +p x+q = 0与x +p x+q = 0中至少有一个有实根.个有实根.2 22 22 22 2: :若若a a, ,b b, ,c c均均为为实实数数, ,且且a a = = x x - -2 2y y+ +, ,2 2b b = = y y - -2 2z z+ +, ,c c = = z z - -2 2x x+ +, ,3 36 6求求证证: :a a, ,b b, ,c c中中至至少少有有一一个个大大于于0 0. .小试牛刀：小试牛刀：1 1利用均式利用均式2021/7/2321 例例3 3 求证：求证： 是无理

14、数是无理数。2 2证：假设 2是有理数，证：假设 2是有理数，m m则则 存存 在在 互互 质质 的的 整整 数数 m m， n n使使 得得2 2 = =，n n m m = =2 2n n2 22 2 m m= = 2 2n n2 2m m 是是偶偶数数，从从而而m m必必是是偶偶数数，故故设设m m= =2 2k k（k kN N）2 22 22 22 2从从而而有有4 4k k = = 2 2n n ，即即n n = = 2 2k k2 2n n 也也是是偶偶数数，这这与与m m，n n互互质质矛矛盾盾！假设不成立，故假设不成立，故 是无理数。是无理数。22021/7/2322练一练：

15、练一练： 已知已知a0a0，证明，证明x x的方程的方程ax=bax=b有有且只有一个根。且只有一个根。证：假设方程ax+b = 0(a 0)至少存在两个根，证：假设方程ax+b = 0(a 0)至少存在两个根，1 12 21 12 2不不妨妨设设其其中中的的两两根根分分别别为为x x ，x x 且且x x x x1 12 2则则a ax x = = b b，a ax x = = b b1212ax = axax = ax1 12 2 a ax x - -a ax x = = 0 01212 a（x -x ） = 0 a（x -x ） = 012121212 x x ，x -x 0 x x ，

16、x -x 0 a = 0 a = 0与与已已知知a a 0 0矛矛盾盾, ,故故假假设设不不成成立立，结结论论成成立立。2021/7/2323思考：思考：2021/7/2324唐吉诃德悖论 小说小说唐唐吉诃德吉诃德里描写过一个国家它有一条奇怪的法律：里描写过一个国家它有一条奇怪的法律：每一个旅游者都要回答一个问题。问，你来这里做什么？如果每一个旅游者都要回答一个问题。问，你来这里做什么？如果旅游者回答对了。一切都好办。如果回答错了，他就要被绞死。旅游者回答对了。一切都好办。如果回答错了，他就要被绞死。 一天，有个旅游者回答一天，有个旅游者回答 旅游者：我来这里是要被绞死。旅游者：我来这里是要被绞死。 这时，卫兵慌了神，如果他们不把