二重积分的所有变换PPT课件

1、2021/7/231*三、二重积分的换元法三、二重积分的换元法 第二节第二节一、利用直角坐标计算二重积分一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分二、利用极坐标计算二重积分 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二重积分的计算法二重积分的计算法2021/7/232 二重积分定义为积分和式的极限如果直接用二重积分定义为积分和式的极限如果直接用二重积分的定义去计算它的值，是相当困难的，甚二重积分的定义去计算它的值，是相当困难的，甚至是不可能的至是不可能的. .下面我们根据二重积分的下面我们根据二重积分的几何意义几何意义曲顶柱体的体积来导出二重积分的计算方法曲顶柱体的体积来导出二重积分的

2、计算方法. .这个方这个方法就是把二重积分的计算转化为接连计算两次定积法就是把二重积分的计算转化为接连计算两次定积分，即二次积分分，即二次积分. .一、利用直角坐标计算二重积分一、利用直角坐标计算二重积分 2021/7/23312:,( )( )D axbxyx设函数设函数 在区域在区域 上连续上连续, ,且当且当 时，时， 如果区域如果区域 是由直线是由直线 ， 与曲线与曲线 所围成所围成( (称为称为 型区域型区域),),如下图如下图, ,即即( , )zf x y( , )x yD( , )0f x y Dxaxb12( ),( )yxyxDXxyoba1( )yx2( )yxxxyob

3、a1( )yx2( )yxxxoba1( )yxxy2( )yx 型区域的特点型区域的特点: :在在 内任取一点内任取一点 过过 作平行于作平行于 轴的直线轴的直线, ,则该直线与则该直线与 的边界曲线的交点不多的边界曲线的交点不多于两个于两个X( , )a b, xyDx2021/7/234为确定曲顶柱体的体积为确定曲顶柱体的体积, ,可在可在 处用垂直处用垂直 轴的平面去截曲轴的平面去截曲顶柱体顶柱体, ,设其截面面积为设其截面面积为 x( )A xxD( , )Df x y d( , )zf x y 是区域是区域 上以曲面上以曲面 为顶的为顶的曲顶柱体的曲顶柱体的体积体积. .由二重积分

4、的几何意义知由二重积分的几何意义知: :xzyoabx( )A x2021/7/235( , )( )baDf x y dA x dx从而从而( )A x其中其中是垂直于是垂直于 轴的平面与曲顶柱体相交部分轴的平面与曲顶柱体相交部分的面积的面积. .即即 是一个是一个曲边梯形曲边梯形的面积的面积. .x( )A x( )baVA x dx由由定积分的应用定积分的应用可知：已知可知：已知平行截面面积平行截面面积的立体的体积的立体的体积公式为公式为xzyoabx( )A x2021/7/236从而从而21( )( )( , )( , )( , )bxaxDDf x y df x y dxdyf x

5、 y dy dx (1)(1)x( , )zf x yyy1( )x2( )x( )A x21( )( )( )( , )xxA xf x y dy对固定的对固定的 , ,此曲边梯形此曲边梯形的的曲边曲边是由方程是由方程确定的关于确定的关于 的一元函数的一元函数的曲线的曲线, ,而底边沿着而底边沿着 方方向从向从 变到变到 . .故故其面其面 积为积为xzyoabx( )A x2( )yx1( )yx2021/7/237通常写成通常写成21( )( )( , )( , )bxaxDf x y dxdydxf x y dy(2)(2)这样，我们就把计算二重积分的问题化为计算两次这样，我们就把计算

6、二重积分的问题化为计算两次定积分的问题。第一次计算定积分定积分的问题。第一次计算定积分21( )( )( )( , )xxA xf x y dy时，时， 看作是常量，看作是常量， 是积分变量；第二次积分时，是积分变量；第二次积分时， 是积分变量是积分变量. . xyx这是先对这是先对 ，后对，后对 的两次积分的两次积分( (适合于适合于 型区域型区域). ). yxX2021/7/23812:( )( )D cydyxy类似地类似地，如果，如果D D是是Y Y型区域型区域, ,可用垂直于可用垂直于 轴的平面轴的平面去截曲顶柱体去截曲顶柱体, ,此时此时D D为为y21( )( )( , )(

7、, )dycyDf x y dxdydyf x y dx这是先对这是先对 ，后对，后对 的两次积分的两次积分. .xycdyyox2( )xy1( )xycdyyox2( )xy1( )xy2021/7/239如果去掉以上结论中关于如果去掉以上结论中关于 的限制，则上述结论仍是成立的的限制，则上述结论仍是成立的. .( , )0,( , )zf x yx yD几点说明：几点说明：:,D axb cyd( , )( , )( , )bddbaccaDf x y dxdydxf x y dydyf x y dx则则（）若区域）若区域D D是一个矩形，即是一个矩形，即D D为为:,D axb cyd

8、（）若函数可积，且）若函数可积，且D D为为2021/7/2310（）上面所讨论的积分区域）上面所讨论的积分区域 是是 型或型或 型区域，即平行于型区域，即平行于 轴或轴或 轴轴的直线与区域的直线与区域 边界曲线的交点不多边界曲线的交点不多于两点于两点. .若若 不满足这个条件不满足这个条件, ,可将可将分块分块. .再应用积分的分域性质来计算再应用积分的分域性质来计算. .yxXYDDDD1D2D3Dx0y12( , )( )( )f x yf xfy且且则则12( , )( )( )bdacDf x y dxdyf x dxfy dy111100001 112 24xydxdyxdxydy

9、 例如例如2021/7/2311由于二重积分归结于计算两个定积分由于二重积分归结于计算两个定积分, ,因此计算重因此计算重积分本身没有新困难积分本身没有新困难, ,对于初学者来说对于初学者来说, ,感到困难的感到困难的是如何根据区域是如何根据区域 去确定两次积分的上、下限去确定两次积分的上、下限. .建建议读者先将区域议读者先将区域 的图形画出，再写出区域的图形画出，再写出区域 上的上的点的点的坐标所要满足的不等式坐标所要满足的不等式以确定积分的上、下限以确定积分的上、下限. .DDDxyoba1( )yx2( )yxx定限法则定限法则: :就就 型区域而言型区域而言X后积先定限后积先定限,

10、,域内穿射线域内穿射线, ,先交为下限先交为下限, ,后交为上限后交为上限. .如右图如右图2021/7/2312:22,11.Dxy 143DxydxdyD例例1 1 计算二重积分计算二重积分 , ,其中其中 为矩形：为矩形：21212221122222114343()(2)462(2)84Dxyxydxdydxdyxyyxydxdxxx解解1 1 先积先积 再积再积yx解解2 2 先积先积 再积再积yx2121221212111111()43438342(4)(4)833Dxyxyxxydxdydydxxdyyydyy2021/7/2313例例2 2 计算二重积分计算二重积分 , ,其中区

11、域其中区域 为矩形：为矩形：x yDedxdyD:01, 12Dxyxyxyeee1212010122()()(1)()(1)x yxyxyDedxdye dxe dyeeeeee e解解 因为因为 , ,所以所以或或先积先积 再积再积12121010121211003222()()()()(1)x yx yx yDxxxxedxdydxedyedxeedxeeeeeee eyx2021/7/2314 例例3 3 计算二重积分计算二重积分 . .其中积分区域其中积分区域 分分 别如下图所示：别如下图所示： 三角形；三角形； 四分之一椭圆四分之一椭圆。 DxydxdyD2(1)(1)0000()

12、2xxbabaaaDxyxydxdydxxydydx:0,0(1)xDxayba解解 因为下图所示的三角形因为下图所示的三角形区域的斜边方程是区域的斜边方程是所以所以 可表示为可表示为1xyabDayoxb23422202121()223424axxxba baa2232220012(1)()22aabxxxxdxbxdxaaa2021/7/2315 前图所示的四分之一椭圆区域可表示为前图所示的四分之一椭圆区域可表示为22:0, 01xDxaybaayoxb因此因此22100 xabaDxydxdydxxydy24222211()2248aaba ba22201(1)2axbxdxa24202

13、1()224axxba2021/7/2316例例4 4 计算二重积分计算二重积分 , ,其中其中 是由三条线是由三条线 所围成所围成的区域的区域. .(6 )Dxy dxdyD,5 ,1yx yx x5yxyx1x 解解 易知积分区域可表为易知积分区域可表为:01,5Dxxyx1207676.3x dx于是于是(6 )Dxy dxdy1250(3)xxxyydx150(6 )xxdxxy dy2021/7/2317例例5. 计算,dDyx其中D 是抛物线xy 2所围成的闭区域. 解解: 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分,:Dxyx dDyxd21dy212221d2yyxyy2152d)

14、2(21yyyy12612344216234yyyy845Dxy22 xy214oyxy22yxy21y2y2y2 xy及直线则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/7/2318例例6. 计算,ddsinDyxxx其中D 是直线 ,0,yxy所围成的闭区域.oxyDxxy 解解: 由被积函数可知,因此取D 为X 型域 :xxyD00:Dyxxxddsinxy0d0dsinxx0cosx20dsinxxxx先对 x 积分不行, 说明说明: 有些二次积分为了积分方便, 还需交换积分顺序.机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/7/2319例例7. 交换下列积分顺序228022220

15、20d),(dd),(dxxyyxfxyyxfxI解解: 积分域由两部分组成:,200:2211xxyD822 yx2D22yxo21D221xy 222280:22xxyD21DDD将:D视为Y型区域 , 则282yxy20 yDyxyxfIdd),(282d),(yyxyxf20dy机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/7/2320例例8. 计算,dd)1ln(2yxyyxID其中D 由,42xy1,3xxy所围成.oyx124xyxy32D1D1x解解: 令)1ln(),(2yyxyxf21DDD(如图所示)显然,1上在D),(),(yxfyxf,2上在D),(),(yxfyxf

16、yxyyxIDdd)1ln(120yxyyxDdd)1ln(224机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/7/2321积分的变量代换是计算积分的一个有效方法积分的变量代换是计算积分的一个有效方法, ,对二对二重积分也有类似的方法重积分也有类似的方法. .在这类方法中极坐标变换在这类方法中极坐标变换cos ,sinxryr最为常用最为常用. .下面介绍怎样利用极坐标变换来计算二下面介绍怎样利用极坐标变换来计算二重积分重积分. .在二重积分的计算中在二重积分的计算中, ,如果积分域是圆域或部分圆如果积分域是圆域或部分圆 域域, ,被积函数为被积函数为 形式形式, ,利用极坐利用极坐标变换来计

17、算二重积分会十分方便标变换来计算二重积分会十分方便. .22(),( ),( )yxf xyffxy二、利用极坐标计算二重积分二、利用极坐标计算二重积分机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/7/2322xyokkkrrkkkkkkrrsin,cos对应有在极坐标系下, 用同心圆 r =常数则除包含边界点的小区域外,小区kkkkkkrrrr)(21),2, 1(nkk在k),(kkrkkkkrrkkkr221内取点kkkrr221)(及射线 =常数, 分划区域D 为krkrkkkr机动 目录 上页 下页 返回 结束 域的面积2021/7/2323kkkkkkknkrrrrf)sin,co

18、s(lim10kknkkf),(lim10Dyxfd),(ddrr即Drrf)sin,cos(drrddrd机动 目录 上页 下页 返回 结束 下面考虑如何把极坐标系下的二重积分化为二次积分.分三种情况来讨论:2021/7/2324Do)(1r)(2r)(1ro)(2r)()(21d)sin,cos(rrrrf设,)()(:21rD则Drrrrfdd)sin,cos(d1) 极点在极点在D之外之外2) 极点在极点在D的边界上的边界上0( ):,rD Drrrrfdd)sin,cos( )0( cos , sin ) df rrrr d2021/7/23253)设极点设极点D之内之内20)(0:

19、rDDrrrrfdd)sin,cos()(0d)sin,cos(rrrrf20d)(roD机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/7/2326若 f 1 则可求得D 的面积d)(21202Dd思考思考: 下列各图中域 D 分别与 x , y 轴相切于原点,试答答: ;0) 1 ()(rDoyx)(rDoyx问 的变化范围是什么?(1)(2)22)2(机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/7/23271yx122yx解解 sincosryrx Ddxdyyxf),(.)sin,cos(201cossin1 rdrrrfd机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/7/2328例例

20、10.10.计算,dd22Dyxyxe其中.:222ayxD解解: 在极坐标系下,200:arD原式Drerard02are02212)1(2ae2xe的原函数不是初等函数 , 故本题无法用直角2reddrr20d由于故坐标计算.机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/7/2329注注:利用例6可得到一个在概率论与数理统计及工程上非常有用的反常积分公式2d02xex事实上, 当D 为 R2 时,Dyxyxedd22yexeyxdd2220d42xex利用例6的结果, 得)1 (limd42220aaxexe故式成立 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/7/2330例例11.1

21、1.求球体22224azyx被圆柱面xayx222)0( a所截得的(含在柱面内的)立体的体积. 解解: 设由对称性可知20,cos20:arDdd4422rrraVD20d4cos2022d4arrrad)sin1 (3322033a)322(3323aoxyza2机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/7/2331yyx422xoyyyx22203 yx解解32 61 sin4 r sin2 rdxdyyxD)(22 36sin4sin22 rdrrd).32(15 03 xy机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/7/2332baxxfd)() )(txtttfd)()(定积

22、分换元法*三、二重积分换元法三、二重积分换元法 ),(),(:vuyyvuxxTDDvu),(满足上在Dvuyvux),(, ),() 1 (一阶导数连续;雅可比行列式上在D)2(;0),(),(),(vuyxvuJ(3) 变换DDT:则Dyxyxfdd),(Dvuyvuxf),(),(定理定理:,),(上连续在闭域设Dyxf变换:是一一对应的 ,vuvuJdd),(ovuDoyxDT机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/7/2333oyxDovuD证证: 根据定理条件可知变换 T 可逆. 用平行于坐标轴的 ,坐标面上在vou 直线分割区域 ,D任取其中一个小矩T形, 其顶点为),(,

23、 ),(21vhuMvuM1Mu4M3M2Mhu vkv通过变换T, 在 xoy 面上得到一个四边形, 其对应顶点为)4, 3, 2, 1(),(iyxMiii1M4M3M2M,22kh 令则12xx ),(),(vuxvhux).,(, ),(43kvuMkvhuM)(),(ohvuux机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/7/233414xx ),(),(vuxkvux)(),(okvuvx12yy )(),(ohvuuy同理得14yy )(),(okvuvy当h, k 充分小时,曲边四边形 M1M2M3M4 近似于平行四 边形, 故其面积近似为4121MMMM14141212yy

24、xxyyxxkhkhvyvxuyuxhkvyuyvxuxhkvuJ),(机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/7/2335vuvuJdd),(d因此面积元素的关系为从而得二重积分的换元公式: Dyxyxfdd),(Dvuyvuxf),(),(vuvuJdd),(例如例如, 直角坐标转化为极坐标时, sin,cosryrx),(),(ryxJcossinrsincosrrDyxyxfdd),(Drrrrfdd)sin,cos(机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/7/2336例例13. 计算其中D 是 x 轴 y 轴和直线2 yx所围成的闭域. 解解: 令,xyvxyu则2,2u

25、vyuvx),(),(vuyxJyxeDxyxyddvuevuDdd2120d21vvveed)(211201ee2 yxDxoy2121212121vvvuue dxyxye,ddyx)(DD DD2vvu vuuov机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/7/2337ybx 2yax 2Doyxxqy 2xpy 2,22yxvxyu例例14. 计算由,22xqyxpyybxyax22,)0,0(baqp所围成的闭区域 D 的面积 S .解解: 令Duvopqab则bvaqupD :D),(),(vuyxJ),(),(1yxvu31DyxSddbaqpvudd31vuJDdd)(31a

26、bpq机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/7/2338例例15. 试计算椭球体1222222czbyax解解: yxzVDdd2yxcDbyaxdd122222由对称性, 1:2222byaxD取令,sin,cosrbyrax则D 的原象为20,1: rD),(),(ryxJcossinsincosrbbraaDcV2rrrcbad1d210220cba34rba21rddrrba的体积V.机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/7/2339内容小结内容小结(1) 二重积分化为累次积分的方法直角坐标系情形直角坐标系情形 : 若积分区域为)()(,),(21xyyxybxayxD则)()(21d),(dd),(xyxybaDyyxfxyxf 若积分区域为)()(,),(21yxxyxdycyxD则xy)(1yxx Ddc)(2yxx )()(21d),(dd),(yxyxdcDxyxfyyxf)(1xyy )(2xyy xybaD机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/7/2340)()(,),(21rrDDDrrfyxf)sin,cos(d),(则)()(21d)sin,cos(drrrrf(2) 一般换元公式),(),(vuyyvuxxDyx),(,),(Dvu0),(),(vuyxJ且则DDvuvuyvuxfyxfdd ),(),(d),