线性代数n维向量空间小结PPT课件

1、2021/7/231第四章第四章 n维向量空间小结维向量空间小结n维向量空间维向量空间线性方程组线性方程组2021/7/232主要内容：主要内容：一两个重要概念：一两个重要概念： 1122100nnnxxxxx 线性相关性：本质上考察 是否“只有” 时成立；线性表出：11000,+ + + nn 例如:任意向量组，线性无关。2021/7/23312,n (1) 二、 向量组线性相关10(,)( )nAXAR An有非零解，: n 未知量个数， 向量个数。矩阵的秩就是向量组的秩。向量组线性相关向量组的秩 向量维数相关关至少有一个向量部分相关整体相关，整体无关部分无可由其余个关线性表出11,nn线

2、性表出，则表达式唯一线可由性无关。2021/7/235(2) (2) 线性表出：线性表出：1122,nnxxx“有数”就行1111,(,)( )( )(,)(, )nnnnAXAR AR A 线性表出有解，秩秩可由. .“向量组的秩”即为“矩阵的秩”1,( ).nR An 对于非齐次线性方程组,首先有没有解，有唯一解线性无关，2021/7/236三、最大无关组，向量组的秩三、最大无关组，向量组的秩最大无关组的两个等价命题：最大无关组的两个等价命题：命题命题1 1：(1)(1)线性无关；线性无关； (2) (2) 向量组中任何一个可由它们线性表出；向量组中任何一个可由它们线性表出；命题命题2 2

3、：有：有r 个线性无关，任意个线性无关，任意r+1个则相关；个则相关；判断是最大无关组：任意判断是最大无关组：任意“n个个” “线性无关线性无关”的的“n维维 向量向量”都是都是 的最大无关组。的最大无关组。和矩阵的秩类似：和矩阵的秩类似：有有r阶子式阶子式0，任意，任意r+1阶子式阶子式0.n2021/7/2371,nn例：无关1,nn任一 维向量可由线性表出；111):):nnn 证：是最大无关组，显然。， ,可由其表出；， ,可由 ， ,表出； 等价。所以秩相等。结结论论: :设设向向量量组组T T的的秩秩为为r r，则则T T中中任任意意r r个个线线性性无无关关 的的向向量量均均为为

4、T T的的最最大大无无关关组组。组组(I)(I)无关，组无关，组(I)(I)可由可由(II)(II)表出，表出，则组则组(I)(I)的个数的个数 组组(II)(II)的个数。的个数。关于向量空间和子空间关于向量空间和子空间: : 基，维数。基，维数。2021/7/2380-( )X AXn R A 四、解空间，维数：( )00nR AAXAX任个线性无关的的解向量均为的基解系。1 122rtxkkk 12,.tk kk其其中中是是任任意意常常数数2021/7/2391.R ,0 nn nbAXbA 有解bA任意向量 都可以由 的列向量组线性表出,1,Rnnn，线性无关任一 维向量均可由 其线性

5、表出.11 112211 1221 12202.11,2,00 nniiinnnnnnna xa xa xa xa xa xina xa xa xA 对都有解 2021/7/231012121212nnnn证： ， ， 可由，线性表出，又，可由 ， ， 线性表出，向量组等价，秩相等。1223111., nnn ， ， 相关性？12(1)(2)nnn为偶数：必相关。为奇数：线性无关，线性无关。2021/7/2311 1223311233101,110011n 例如时，P0P 当， 1123122331,P 122331123, 所以向量组 与 ，等价。 1223311230(,)min, ( )

6、3 PRRR P 当 时，2021/7/2312此方法对很多问题都有效：此方法对很多问题都有效：1232132133., l mlm 线性无关，问满足什么条件时， 线性无关。方法类似：方法类似： 213213123101,1001lmlm P10Plm 当，可逆时，两向量组等价，无关。2021/7/23131232131214., mmmm ，判定两向量组秩的关系。 12121201111011,11011110, mmmP 解: 0P ，等价，秩相等。 2021/7/2314一、向量组线性关系的判定一、向量组线性关系的判定二、求向量组的秩二、求向量组的秩三、向量空间的判定三、向量空间的判定四

7、、基础解系的证法四、基础解系的证法五、解向量的证法五、解向量的证法典型例题2021/7/2315研究这类问题一般有两个方法研究这类问题一般有两个方法方法方法1 1从定义出发从定义出发 000, 0212222121121112211aaakaaakaaakkkkmnmmmnnmm 令令整理得线性方程组整理得线性方程组一、向量组线性关系的判定2021/7/2316)(, 0, 0, 0221122221121221111 kakakakakakakakakammnnnmmmm.,)(.,)(2121线线性性相相关关则则有有非非零零解解若若线线性性方方程程组组线线性性无无关关则则只只有有唯唯一一零

8、零解解若若线线性性方方程程组组 mm 2021/7/2317方法利用矩阵的秩与向量组的秩之间关方法利用矩阵的秩与向量组的秩之间关系判定系判定.,)(,)().(),(,21212121线线性性相相关关则则若若线线性性无无关关则则若若首首先先求求出出相相应应的的矩矩阵阵就就得得到到一一个个维维向向量量给给出出一一组组 mmmmmARmARARAn 2021/7/2318例研究下列向量组的线性相关性例研究下列向量组的线性相关性.201,520,321321 解一解一 000201520321, 0321332211kkkkkk即即令令 2021/7/2319整理得到整理得到)(. 0253, 02

9、2, 03212131 kkkkkkk.,)(, 0253022101)(321线线性性相相关关从从而而必必有有非非零零解解线线性性方方程程组组的的系系数数行行列列式式线线性性方方程程组组 2021/7/2320解二解二,201,520,321321 ,253022101),(321 A矩阵矩阵2021/7/2321 000220101253022101初初等等行行变变换换A., 32)(321线线性性相相关关故故向向量量组组 AR2021/7/2322.)2(, ,:,22112121线线性性相相关关都都有有使使对对任任何何向向量量为为零零的的数数存存在在不不全全证证明明线线性性相相关关设设

10、 rttttttrrrr 例例2 2分析分析考考察察向向量量方方程程我我们们从从定定义义出出发发 ,0)(22112211 tktktkkkkrrrr即即向向量量方方程程0)()()(222111 tktktkrrr2021/7/2323.,21因因此此可可得得如如下下证证明明恒恒有有非非零零解解每每个个而而使使得得对对数数是是否否有有某某组组不不全全为为零零的的 kkkr证明证明0,22112121 rrrrkkkkkk使使为为零零的的数数所所以以存存在在不不全全线线性性相相关关因因为为02211 xkxkxkrr考考虑虑线线性性方方程程都都有有则则对对任任意意向向量量零零解解为为任任一一非

11、非设设它它必必有有非非零零解解因因为为,),(, 221 tttrr 2021/7/23240)(22112211 tktktkkkkrrrr., :,221121线线性性相相关关不不全全为为零零得得知知由由 tttkkkrrr 2021/7/2325.,:,2121一一个个最最大大线线性性无无关关组组成成它它的的个个线线性性无无关关的的向向量量均均构构中中任任意意证证明明的的秩秩是是已已知知向向量量组组rrss 例例3 3证明向量组的一个部分组构成最大线性无证明向量组的一个部分组构成最大线性无关组的基本方法就是：关组的基本方法就是：分析分析根据最大线性无关组的定义来证，它往往还根据最大线性无

12、关组的定义来证，它往往还与向量组的秩相联系与向量组的秩相联系2021/7/2326证明证明.,), 2 , 1(,212121rskrkiiiksiiirr否否则则这这向向量量组组的的秩秩大大于于相相关关线线性性向向量量组组的的于于是是对对于于任任意意个个线线性性无无关关的的向向量量中中的的任任意意是是设设不不失失一一般般性性 ., 2121线线性性表表出出以以由由可可所所以以线线性性无无关关又又向向量量组组 iiikiiirr., 2121的的一一个个最最大大线线性性无无关关组组是是这这就就证证明明了了由由定定义义 siiir2021/7/2327求一个向量组的秩，可以把它转化为矩阵的求一个

13、向量组的秩，可以把它转化为矩阵的秩来求，这个矩阵是由这组向量为列向量所排成的秩来求，这个矩阵是由这组向量为列向量所排成的二、求向量组的秩2021/7/2328.)1, 4, 6, 2(),1, 2, 3, 1( ),1, 1, 1, 0(),1, 1, 2, 1( ),0, 0, 1, 1(54321的秩的秩求向量组求向量组 TTTTT例4例4解解 为为阶阶梯梯形形化化行行变变换换作作初初等等对对作作矩矩阵阵AAA, 54321 2021/7/2329 1111042110631212101154321 A11012011240003500000 .54321U 记记作作2021/7/2330

14、, 3)( ARA的的列列秩秩. 3,54321的的秩秩为为故故向向量量组组 00000530004211021011 ) (54321 U, 421无无关关组组线线性性的的列列向向量量组组的的一一个个最最大大是是又又U ., 421线线性性无无关关组组的的列列向向量量组组的的一一个个最最大大也也是是所所以以A 2021/7/2331判断向量的集合是否构成向量空间，需看集合判断向量的集合是否构成向量空间，需看集合是否对于加法和数乘两种运算封闭若封闭，则构是否对于加法和数乘两种运算封闭若封闭，则构成向量空间；否则，不构成向量空间成向量空间；否则，不构成向量空间.)1 , 0 , 0(3向向量量空

15、空间间所所组组成成的的集集合合是是否否构构成成不不平平行行的的全全体体向向量量中中与与向向量量判判断断R例例5 5解解三、向量空间的判定),0)(1 , 0(),0 , 0( 21 kkk 对对向向量量),1 , 0 , 0(,21均均不不平平行行于于 ).1 , 0 , 0(21 2021/7/2332例证明与基础解系等价的线性无关的向量组例证明与基础解系等价的线性无关的向量组也是基础解系也是基础解系四、基础解系的证法分析分析(3)方程组的任一解均可由该向量组线性表示方程组的任一解均可由该向量组线性表示(1)该组向量都是方程组的解；该组向量都是方程组的解；(2)该组向量线性无关；该组向量线性

16、无关；要证明某一向量组是方程组的基础解要证明某一向量组是方程组的基础解系，需要证明三个结论系，需要证明三个结论:0 AX2021/7/2333111,.:(1),;(2),1.(3),1,1. n rn rn rAXbAXbnrAXbXnr 设是非齐次线性方程组的一个解是其导出组的一个基础 解系证明线性无关是方程组的个线性无关的解方程组的任一解都可以表示为这个解的线性组合 而且组合系数之和为例例7 7五、解向量的证法2021/7/2334. 0)(, 0)1(0110 kkkkrnrn其其中中必必有有令令 证明证明10100,0. n rn rkkkkk 否则 有矛盾 所以, 0,)(0221

17、10 rnrnkkkk则有则有式式代入代入将将12120,.n rn rkkk 于是线性无关2021/7/2335.,), 2 , 1()2(再再证证它它们们线线性性无无关关的的解解都都是是知知由由线线性性方方程程组组解解的的性性质质BAXrnii 所所以以线线性性无无关关的的证证明明知知由由则则令令,)1(, 0)(, 0)()(211110110 rnrnrnrnrnrnkkkkkkkk ., 0,21210线性无关线性无关故故得得解之解之 rnrnkkkk 2021/7/2336可可表表为为则则的的任任一一解解为为方方程程组组设设XBAXX,)3( rnrntttX 2211)()(11

18、 rnrntt)()()1(111 rnrnrntttt 2021/7/2337第四章测试题一、填空题一、填空题( (每小题每小题5 5分，共分，共4040分分) ) .,1 , 2 , 0 , 1, 1 , 0 , 10 , 3 , 2, 4,5 , 0 , 1, 2 . 14321线线性性相相关关时时则则设设 kk .,0 , 3 , 1,4 , 3 , 5, 0,2, 0 , 2 , 1,0 , 3 , 1, 2 . 24321线线性性无无关关时时则则设设 tt 则则该该向向量量组组的的秩秩是是已已知知向向量量组组,7 , 6 , 5 , 4,6 , 5 , 4 , 3,5 , 4 , 3 , 2,4 , 3 , 2 , 1 . 34321 2021/7/2338则向量个数则向量个数线性表出线性表出均可由向量组均可由向量组维单位向量组维单位向量组, . 42121snn 10100110005.01100001