二元线性回归模型及参数估计PPT课件

1、2021/7/231二元线性回归模型的估计二元线性回归模型的估计 最简单的多元线性回归模型是最简单的多元线性回归模型是二元线性回归模型二元线性回归模型，即具有一个被解释变量和两个解释变量的线性回归模即具有一个被解释变量和两个解释变量的线性回归模型：型： iiXiXiY22110， i=1，2，n 。 2021/7/232一、一、二元线性回归模型的参数估计二元线性回归模型的参数估计 1偏回归系数的估计偏回归系数的估计 对于二元线性回归模型： iiXiXiY22110，i=1，2，n ， 其中的参数0、1、2称为偏回归系数。 所谓所谓偏回归系数偏回归系数，是指多元线性回归模型中解释变量前，是指多元

2、线性回归模型中解释变量前的系数。的系数。其含义是：当其他解释变量保持不变时，某一解释变其含义是：当其他解释变量保持不变时，某一解释变量变化一个单位而使被解释变量量变化一个单位而使被解释变量Y平均改变的数值，即某一解平均改变的数值，即某一解释变量对被解释变量释变量对被解释变量Y的影响程度。的影响程度。 2021/7/233niiXiiXiYniiYiYniie12)22110(12)(12达到最小达到最小。 要估计二元线性回归模型要估计二元线性回归模型iiXiXiY22110中的中的参数参数0、1、2，常用的方法仍然是常用的方法仍然是普通最小二乘法普通最小二乘法。 设根据给定一组样本数据设根据给

3、定一组样本数据（ Yi，X1i，X2i）， i=1，2，n ，采用普通最小二乘法估计得到的样本回归模型为采用普通最小二乘法估计得到的样本回归模型为ieiXiXiY22110，则则参数估计量参数估计量0、1、2应应该使该使残差平方和残差平方和 2021/7/234根据极值存在的必要条件，应该有 02)22110(22201)22110(2120)22110(202iXiXiXiYieiXiXiXiYieiXiXiYie从而得到正规方程组 02)22110(01)22110(0)22110(iXiXiXiYiXiXiXiYiXiXiY02010iXieiXieie2021/7/235如果 X1与

4、X2之间不存在线性关系，那么，由上述正规方程组可以解出0、1、2： 其中，XiXix，YiYiy，iXnX1，iYnY1。 如果 X1与 X2之间存在线性关系，那么，上述计算1、2的公式的分子、分母将变为 0，从而无法求解。 221222121121222212221212221122110)()()()()()()()(iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiixxxxxxxyxxyxxxxxxxyxxyXXY2021/7/2362随机误差项i的方差2的无偏估计 322nie其中，2ie的简捷计算公式为 iiiiiixyxyye2211222021/7/2373偏回归系数1、2的方差和标准

5、误差 偏回归系数1、2的方差计算公式为： 偏回归系数1、2的标准误差计算公式为： )1()1(VarSe)2()2(VarSe2212221221222122212221)()()()()()()()(iiiiiiiiiixxxxxVarxxxxxVar2021/7/238 二、二、Beta系数和弹性系数系数和弹性系数 在多元回归分析中，需要说明各个解释变量在多元回归分析中，需要说明各个解释变量的相对重要性，或者的相对重要性，或者比较被解释变量对各个解释比较被解释变量对各个解释变量的敏感性变量的敏感性。 然而，偏回归系数与变量的原有计量单然而，偏回归系数与变量的原有计量单位有直接联系，计量单位

6、不同，彼此不能直位有直接联系，计量单位不同，彼此不能直接比较。接比较。为此，需要引进为此，需要引进Beta系数系数和和弹性系数弹性系数。 2021/7/2391Beta系数 Beta系数是由偏回归系数转换来的。 用j表示Beta 系数，则 22iyjixjYSXjSjj其中 12)(12niXjiXnjixXjS12)(12nYiYniyYS可见，可见，Beta系数是用解释变量标准差（系数是用解释变量标准差（SXj）和被解释变）和被解释变量标准差（量标准差（SY）的比例对估计的偏回归系数进行调整后）的比例对估计的偏回归系数进行调整后得到的，其数值与变量的单位无关，因而可以直接比较，得到的，其数

7、值与变量的单位无关，因而可以直接比较，用于说明多元回归模型中解释变量的相对重要性。用于说明多元回归模型中解释变量的相对重要性。 2021/7/2310对于二元线性回归模型，可以按下列公式计算Beta系数： 22111iyix22222iyix由于jXjYXjSjYSj所以，Beta 系数j的含义是：若解释变量Xj变化1 个标准差（即XjSjX ） ，则被解释变量 Y 变化j个标准差（即YSjY） 。 2021/7/2311例如 02. 11，24. 02，则表示：解释变量 X1变化 1 个标准差，将引起被解释变量 Y 变化 1.02 个标准差；解释变量X2变化1 个标准差，将引起被解释变量Y变

8、化0.24 个标准差。因此，可以说，Y 对于 X1变化的敏感程度远大于 Y对于X2变化的敏感程度。 2021/7/23122弹性系数 弹性系数是某一变量的相对变化引起另一变量的相对变化的度量，即变量的变化率之比。 用j表示弹性系数，则 YjXjYjXjdXdYjXjdXYdYj平均弹性是指在样本均值附近的弹性，即 YjXjj弹性系数与原解释变量的计量单位没有任何关系，因此很适宜用来说明被解释变量对解释变量变化的敏感程度。 2021/7/2313例如 78. 11，45. 02，则表示：在样本均值附近，X1每增加1%，将使被解释变量Y增加1.78%；而X2每增加1%，将使被解释变量 Y 增加 0.45%，所以，被解释变量 Y 对于解释变量 X1变化的敏感程度远大于对解释变量 X2变化的敏感程度。 2021/7/23143偏相关系数 在二元线性回归分析中，也可以用偏相关系数来分析被解释变量Y对于哪一个解释变量（X1和X2）的变化更敏感。 偏相关系数：是指在控制或消除其他变量影响的情况下，衡量多个变量中的某两个变量之间线性相关程度的指标。 2021/7/2315)1)(1 (22212212121XXYXXXYXYXXYXrrrrrr如果21XYXr12XYXr，则表示被解释变量