341-相似三角形的判定(1)

1、第第3 3章章 图形的相似图形的相似3.4.13.4.1相似三角形的判定相似三角形的判定(1)(1)湘教版湘教版九年级上册九年级上册 对应角对应角_, 对应边对应边的两个三角形的两个三角形, 叫做相似三角形叫做相似三角形 .相等相等成比例成比例相似三角形的相似三角形的 , 各对应边各对应边。对应角相等对应角相等成比例成比例A=D, B=E, C=FEFBCDFACDEAB ABC DEFABCDFE 即即: =kDFACEFBCDEABk 1 两三角形相似两三角形相似 k=1 两三角形全等两三角形全等1.相似三角形的定义：相似三角形的定义：2.相似三角形的性质：相似三角形的性质：3.相似比：相

2、似比：相似三角形的相似三角形的 _ 叫作相似比叫作相似比。对应边的比对应边的比判定判定判定判定性质性质如图如图3-14，在，在ABC中，中，D为为AB上任意一点，过点上任意一点，过点D作作BC的平行线的平行线DE，交，交AC于点于点E（1）ADE与与ABC的三个角分别相等吗？的三个角分别相等吗？（2）分别度量各边长，它们的边长是否对应成比例？）分别度量各边长，它们的边长是否对应成比例？（3） ADE与与ABC之间的什么关系？平行移动之间的什么关系？平行移动DE的位置，你的位置，你的结论还成立吗？的结论还成立吗？动脑筋动脑筋AECBD图图3-14我发现只要我发现只要DE/BC，那么那么ABCDE

3、F.下面我们来证明：下面我们来证明： 在在ADE与与ABC中，中，A=A,DEBCADE=B, AED=C如图如图3-15，过点，过点D作作DFAC,交交BC于于F.DEBC, DFAC.CBCFABADACAEABAD,四边形四边形DFCE为平行四边形为平行四边形DE=FCBCDEACAEABAD ADEABC探究探究AECBD图图3-15FBCDEABAD由此得到如下结论：由此得到如下结论： 平行于三角形一边的直线与其它两边相交，截得的平行于三角形一边的直线与其它两边相交，截得的三角形与原三角形相似三角形与原三角形相似. 如图，在如图，在ABC中，若中，若D为为AB的延长线上任意一点，过点

4、的延长线上任意一点，过点D作作BC的平行线的平行线DE，交，交AC于点于点E，ADE与与ABC相似吗？相似吗？DECBA(1)(1)(2)(2) 分析分析：BC/DE,BC/DE, ABCABCADE.ADE.即即ADEADEABC.ABC. 分析分析：在：在AB上截取上截取AD1 1=AD,AD,过点过点 D1 1作作D1 1E1 1/DE/DE交交ACAC于点于点E1 1， 则则ADEADEADAD1 1E E1 1. . 又又DE/BC, DDE/BC, D1 1E E1 1/BC ,/BC , ADAD1 1E E1 1ABCABC ADEADEABC. ABC. D D1 1E E1

5、 1由此得到如下结论：由此得到如下结论： 平行于三角形一边的直线与其它两边的延长线相交，平行于三角形一边的直线与其它两边的延长线相交，截得的三角形与原三角形相似截得的三角形与原三角形相似. 平平行于三角形一边的直线与其他行于三角形一边的直线与其他两边两边( (或两边的延长线或两边的延长线) )相相交，截得的三角形与原三角形交，截得的三角形与原三角形相相似似. . DEBC ADE ABC用几何语言表示：用几何语言表示：平行线截三角形相似定理平行线截三角形相似定理结论结论DECBAAECBD注意：在三角形中，见平行得相似注意：在三角形中，见平行得相似.例例1 如图，在如图，在ABC中，已知中，已

6、知D,E分别是分别是AB,AC边的中点。边的中点。求证：求证：(1) ABCADE;(2)AD.AC=AE.AB证明证明(1) D,E分别是分别是AB,AC边的中点，边的中点，DEBCDEBCABCABCADEADE举举例例AECBDDEDE是是ABCABC的中位线，的中位线，,ACAEABAD(2)(2)ABCABCADEADE.ABAEACAD注意：要证明两条线段的比或乘积相等，一般先证明它注意：要证明两条线段的比或乘积相等，一般先证明它们所在的两个三角形相似，再利用根据相似三角形的对们所在的两个三角形相似，再利用根据相似三角形的对应边成比例得出结论应边成比例得出结论.例例2 如图，如图，

7、D为为ABC的边的边AB的中点，过点的中点，过点D作作DEBC,交交AC于点于点E，延长，延长DE至点至点F，使，使DE=EF,求证：求证：CFEABC证明：证明：DEBC,点点D为为AB的中点的中点, AE=CE.又又 DE=FE, AED=CEF ADE CFEDEBC ADEABC CFEABCAECBDF相似的传递性相似的传递性(平行线等分线段定理平行线等分线段定理)1.如图，在如图，在RtABC中，中，C=90,正方形正方形EFCD的三个的三个顶点，顶点，E,F,D分别在边分别在边AB,BC,AC上，已知上，已知AC=7.5,BC=5.求正方形的边长。求正方形的边长。练习练习解解:

8、:ADEACB.C=90C=900 0, ,四边形四边形EFCDEFCD为正方形，为正方形，EDBC,ADED.ACBC设设正方形正方形EFCD的边长的边长为为x,则有则有:7 57 55.xx.答：答：正方形正方形EFCD的边长的边长为为3. 3x.解得解得xx2. 如图，已知点如图，已知点O在四边形在四边形ABCD的对角线的对角线AC上，上，OE/CB,OF/CD.试判断四边形试判断四边形AEOF与四边形与四边形ABCD是否相似，并说明理由是否相似，并说明理由. AEOABC ，AEO=B,AEO=B, AOE=ACBAOE=ACB 四边形四边形AEOF四边形四边形ABCD.OEBC，解解：,ACAOBCEOABAE又又OFDC， AFOADC ，,ACAODCFOADAFAFO=D,AFO=D, AOF=ACDAOF=ACD,ADAFDCFOBCEOABA