42直线与圆的位置关系

1、问题 一艘轮船在沿直线返回港口途中,接到气象台的台风预报:台风中心位于轮船正西70km处,受影响的范围是半径长为30km的圆形区域.已知港口位于台风中心正北40km处,如果这艘轮船不改变航线,那么它是否会受到台风的影响? 以台风中心为原点O,东西方向为x轴,建立直角坐标系,取10km为单位长度.xyo港口轮船圆O的方程为:; 922 yx轮船航线所直线的方程为; 02874 yx问题归结为圆心为O的圆与直线有无公共点.我们一起来回忆直线与圆的位置关系:(1) 直线与圆相交,有两个公共点;(2) 直线与圆相切,只有一个公共点;(3) 直线与圆相离,没有公共点.例例1 已知直线 和圆心为C的圆 ,

2、判断直线l与圆的位置关系;如果相交,求它们交点的坐标.063: yxl22yx 042 y分析分析: 1、看由它们的方程组成的方程组有无实数解; 2、依据圆心到直线的距离与半径长的关系,判断直线与圆的位置关系.解法一解法一: 由直线与圆的方程由直线与圆的方程,得得, 063 yx. 04222yyx消去y,得, 0232 xx因为, 01214) 3(2所以,直线l与圆相交,有两个公共点.解法二解法二: 将圆 化成标准方程,得04222yyx, 5) 1(22 yx圆心坐标为( 0, 1 ),半径长为 . 5圆心到直线l的距离是. 5105123| 6103|2d所以,直线l与圆相交,有两个公

3、共点. 1, 221xx0232 xx由 ,解得把 代入方程,得 ;21x01y把 代入方程,得 ;12x32y所以,直线l与圆有两个交点,它们的坐标分别是).3,1(),0,2(BAM(-3,-3)xyo例例2 已知过点M(-3,-3)的直线 l被圆 所截得的弦长为 ,求直线l的方程. 54021422yyxM(-3,-3)xyo解解: 将圆的方程写成标准形式,得,25) 2(22 yx所以,圆心的坐标是(0,-2),半径长r = 5. 直线 l 被圆所截得的弦长是 ,所以弦心距为54, 5)254(522即圆心到所求直线 l 的距离为 .5 因为直线 l 过点M(-3,-3),所以可设所求

4、直线 l 的方程为),3()3(xky即. 033kykx 根据点到直线的距离公式,得到圆心到直线 l的距离.1| 332|2kkd即,55| 13|2kk两边平方,并整理得到, 02322 kk解得. 2,21kk或所以,所求直线 l 有两条,它们的方程分别为),3(213xy),3(23xy或. 032, 092yxyx或即判断直线 l 与圆C的位置关系有两种方法.方法一:判断直线l与圆C的方程组成的方程是否有解. (代数方法代数方法)两组实数解相交一组实数解相切无实数解相离把直线方程与圆的方程联立成方程组把直线方程与圆的方程联立成方程组求出其求出其的值的值比较比较与与0 0的大小的大小:

5、 : 当当000时时, ,直线与圆相交。直线与圆相交。主要步骤：主要步骤：利用消元法，得到关于另一个元的一元二次方程利用消元法，得到关于另一个元的一元二次方程 方法二:判断圆C的圆心到直线l的距离d与圆的半径 r 的关系.(几何方法几何方法)d r 直线 l 与圆C相交;d = r 直线 l 与圆C相切;d r 直线 l 与圆C相离;主要步骤：主要步骤：利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离作判断: 当dr时，直线与圆相离；当d=r时，直线与圆相切;当dr时，直线与圆相交把直线方程化为一般式,利用圆的方程求出圆心和半径课堂练习课堂练习1直线x2y30被圆 截得的弦为AB，则AB的弦心距是_，弦长|AB| 4) 1()2(22yx答案:5535552, .课堂练习课堂练习2.已知直线l：yk(x5)及圆 622 yx(1)若直线l与圆相切，求k值； (2)若直线l与圆交于A、B两点，求当k变动时，弦AB的中点的轨迹答案:(1) k ；34425)25(22yx(2) 圆 的一段弧( 0 x ). 516巩固练习：（教材P136 练习1、2、3、4） 解直线与圆的位置关系问题一般可从代数特征或几何特征去考虑