4最值系列之胡不归问题

1、最值系列之“胡不归 ”问题在前面的最值问题中往往都是求某个线段最值或者形如PA+PB 最值，除此之外我们还可能会遇上形如“PA+kPB”这样的式子的最值，此类式子一般可以分为两类问题：（ 1）胡不归问题； （ 2）阿氏圆本文简单介绍“胡不归 ”模型【故事介绍】从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家 B 之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？” （ “胡 ”同 “何 ”）而如果先沿着驿道AC 先走一段，再走砂石地，

2、会不会更早些到家？驿道如图， 一动点 P 在直线 MN 外的运动速度为V1， 在直线 MN 上运动的速度为V2， 且 V1<V2，A、 B 为定点，点AC BCC 在直线 MN 上，确定点C 的位置使AC BC 的值最小AC BC 1V1V1= BC 1 AC ，记 k 1 ，V2 V1 V1V2V2即求 BC+kAC 的最小值【问题解决】构造射线AD 使得sin DAN=k， CH/AC=k， CH=kACB将问题转化为求BC+CH 最小值，过B 点作BH AD 交 MN 于点C，交AD 于 H 点，此时BC+CH 取到最小值，即BC+kAC 最小【模型总结】在求形如“PA+kPB”的

3、式子的最值问题中，关键是构造与kPB 相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型而这里的PB 必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到kPB 的等线段【 2019 长沙中考】如图， ABC 中， AB=AC=10， tanA=2， BE AC 于点E， D 是线段 BE 上5的一个动点，则CD 5 BD 的最小值是5分 析 】本 题 关键 在 于处 理 “ 5BD ”， 考 虑 tanA=2， ABE 三 边 之比 为 1: 2: 5 ， 55sin ABE 5 ，故作 DH AB 交 AB 于 H 点，则 DH 5 BD 55CD+DH 最小值，故C、 D、 H

4、 共线时值最小，此时CD DH CH BE 4 5 BA 线作出来，只需分析角度的三角函数值，作出垂线DH ，即可解决问题，若稍作改变，将图形改造如下：则需自行构造，如下图，这一步正是解决“胡不归 ”问题关键所在2019 南通中考】如图，平行四边形ABCD 中，DAB=60°， AB=6， BC=2， P 为边 CD 上PB 3 PD 的最小值等于2“ 3 PD ”，已知A=60°，且 sin60 =° 3 ，故延长AD，作 PH AD22延长线于H 点，即可得PH 3 PD ，将问题转化为：求PB+PH 最小值2996当 B、 P、 H 三点共线时，可得PB+P

5、H 取到最小值，即BH 的长，解直角 ABH 即可得 BH长k【 2014 成都中考】如图，已知抛物线y k x 2 x 4 （ k 为常数，且k>0）与x 轴从左至83右依次交于A， B 两点，与y 轴交于点C，经过点B 的直线 y 3 x b与抛物线的另一交3点为D（ 1 ）若点 D 的横坐标为-5，求抛物线的函数表达式；（ 2）在（1）的条件下，设F 为线段 BD 上一点（不含端点），连接AF，一动点M 从点 A出发， 沿线段 AF 以每秒 1 个单位的速度运动到F， 再沿线段FD 以每秒 2 个单位的速度运动到D 后停止，当点F 的坐标是多少时，点M 在整个运动过程中用时最少？直

6、线解析式为 y3x 43D点坐 标为5,3 3A（ -2,0） ，B（ 4,0） ，故抛物线解析式为y 3x2x4923x8 3 另外为了突出问题，此处略去了该题的第二小问11点 M 运动的时间为AF 1 DF ，即求 AF 1 DF 的最小值229接下来问题便是如何构造DF ，考虑 BD 与 x 轴夹角为30°，且 DF 方向不变，故过点D 作2DM x 轴，过点F 作 FH DM 交 DM 于 H 点，则任意位置均有FH= DF 2当 A、 F、 H 共线时取到最小值，根据A、 D 两点坐标可得结果【 2018 重庆中考】抛物线 y6 x2 2 3 x 6 与 x 轴交于点A，

7、B（点A在点B 的左边） ，63与 y轴交于点C 点 P 是直线 AC 上方抛物线上一点，PF x轴于点F， PF 与线段 AC 交于1点 E； 将线段 OB 沿 x轴左右平移，线段 OB 的对应线段是O1B1， 当 PE 1 EC 的值最大时，2求四边形PO1B1C 周长的最小值，并求出对应的点O1 的坐标 （为突出问题，删去了两个小问）【分析】根据抛物线解析式得A 3 2,0 、 B 2,0 、 C 0, 6 ，直线 AC 的解析式为：3y x 6 ，可知 AC 与 x 轴夹角为30 °3根据题意考虑，P 在何处时，PE+ EC 取到最大值过点E 作 EH y轴交 y轴于 H 点，则2 CEH=30°，故CH= EC ，问题转化为PE +CH 何时取到最小值3E m, m36 ， H 0, 3m36 ， PE6 m2 3m， CH3 m，63PE CH6 2 43mm=636m2