北师大初二数学上册勾股定理实用教案

1、会计学1北师大初二数学北师大初二数学(shxu)上册勾股定理上册勾股定理第一页，共45页。 第一节第一节 探索探索(tn su)(tn su)勾股定理勾股定理你知道你知道(zh do)毕达哥毕达哥拉斯想到了什么吗？拉斯想到了什么吗？情境情境(qngjng)引入引入相传两千多年前，古希腊著名的哲学家、数学家毕达哥拉斯去朋相传两千多年前，古希腊著名的哲学家、数学家毕达哥拉斯去朋友家做客。在宴席上，其他的宾客都在尽情欢乐，只有毕达哥拉斯却友家做客。在宴席上，其他的宾客都在尽情欢乐，只有毕达哥拉斯却看着朋友家的方砖地发起呆来。原来，朋友家的地是用一块块直角三看着朋友家的方砖地发起呆来。原来，朋友家的地

2、是用一块块直角三角形形状的砖铺成的，黑白相间，非常美观大方。主人看到毕达哥拉角形形状的砖铺成的，黑白相间，非常美观大方。主人看到毕达哥拉斯的样子非常奇怪，就想过去问他，谁知，毕达哥拉斯突然恍然大悟斯的样子非常奇怪，就想过去问他，谁知，毕达哥拉斯突然恍然大悟的样子，站起来，大笑着跑回家去了。原来，他发现了地砖上的三个的样子，站起来，大笑着跑回家去了。原来，他发现了地砖上的三个正方形存在某种数学关系。正方形存在某种数学关系。（黑白相间的地砖）（黑白相间的地砖）第1页/共44页第二页，共45页。第2页/共44页第三页，共45页。第3页/共44页第四页，共45页。ABCABC（图中每个小方格代表一个单

3、位面积）（图中每个小方格代表一个单位面积）图图1-1图1-2（1）观察）观察(gunch)图图1-1 正方形正方形A中含有中含有 个小个小方格，即方格，即A的面积是的面积是 个单位面积。个单位面积。 正方形正方形B的面积的面积(min j)是是 个单位面积个单位面积(min j)。正方形正方形C的面积的面积(min j)是是 个单位面积个单位面积(min j)。99918数格子：数格子： 第4页/共44页第五页，共45页。ABCABC（图中每个小方格代表一个单位面积）（图中每个小方格代表一个单位面积）图图1-1图1-2cS正方形143 3182 分割成若干个直角分割成若干个直角(zhjio)边

4、为整数的边为整数的三角形三角形（单位（单位(dnwi)面积面积）第5页/共44页第六页，共45页。ABCABC（图中每个小方格代表一个单位面积）（图中每个小方格代表一个单位面积）图图1-1图1-2cS正方形216218（单位（单位(dnwi)面积）面积）把把C看成边长为看成边长为6的的正方形面积正方形面积(min j)的一半的一半第6页/共44页第七页，共45页。（A的面积(min j)B的面积(min j)C的面积(min j)） （A的面积(min j)B的面积(min j)C的面积(min j)）第7页/共44页第八页，共45页。“割割”“补补”“拼拼”方法方法(fngf)一一：方法方法

5、(fngf)二二：方法方法(fngf)三三：分分割割为四个直为四个直角三角形和一角三角形和一个小正方形个小正方形补补成大正方形，用成大正方形，用大正方形的面积减大正方形的面积减去四个直角三角形去四个直角三角形的面积的面积将几个小块将几个小块拼拼成一成一个正方形，如图个正方形，如图中两块红色（或中两块红色（或绿色）可拼成一绿色）可拼成一个小正方形个小正方形正方形C的面积该怎么求？第8页/共44页第九页，共45页。直角直角(zhjio)(zhjio)三角形两直角三角形两直角(zhjio)(zhjio)边的平边的平方和等于斜边的平方方和等于斜边的平方第9页/共44页第十页，共45页。如果直角三角形两

6、直角边长分别为a，b，斜边长为 c ，那么即直角三角形两直角边的平方和等于(dngy)斜边的平方. 222cba 勾股定理勾股定理(u dn l) （gou-gu theorem）第10页/共44页第十一页，共45页。第11页/共44页第十二页，共45页。简单简单(jindn)应用应用 例例 如图所示，一棵大树如图所示，一棵大树(d sh)在一次在一次强烈台风中于离地面强烈台风中于离地面9米处折断倒下，树顶落米处折断倒下，树顶落在离树根在离树根12米处米处. 大树大树(d sh)在折断之前高在折断之前高多少米？多少米？解：设大树解：设大树(d sh)在折断之前高在折断之前高为为xm,由勾股定理

7、得：由勾股定理得： (x-9)2=92+122 解得：解得：x=24 答：大树答：大树(d sh)在折断之前高为在折断之前高为24米。米。第12页/共44页第十三页，共45页。巩固练习：巩固练习：（口答）求下列图形中未知正方形的面积（口答）求下列图形中未知正方形的面积(min j)(min j)或未知边的长度：或未知边的长度： 已知直角三角形两边已知直角三角形两边(lingbin)，求第三边，求第三边.第13页/共44页第十四页，共45页。生活生活(shnghu)(shnghu)中的应用：中的应用：小明妈妈买了一部小明妈妈买了一部2929英寸（英寸（7474厘米）厘米）的电视机的电视机. .

8、小明量了电视机的屏幕后，发小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有现屏幕只有5858厘米长和厘米长和4646厘米宽，他觉得厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了一定是售货员搞错了. . 你同意他的想法吗你同意他的想法吗？你能解释这是为什么吗？你能解释这是为什么吗？ 我们通常所说的我们通常所说的29英寸或英寸或74厘米的电视机，是指其荧厘米的电视机，是指其荧屏对角线的长度屏对角线的长度27454762258465480售货员没搞错售货员没搞错荧屏对角线大约荧屏对角线大约(dyu)为为74厘米厘米第14页/共44页第十五页，共45页。生活(shnghu)中勾股定理的应用ABOCD第15页/共44页第十六页，

9、共45页。生活中勾股定理(u dn l)的应用210 2. 2.有一个水池，水面是一个边长为有一个水池，水面是一个边长为1010尺的正方形，在尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1 1尺，如果把尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好(qiho)(qiho)到达岸到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？多少？ 解：设水深解：设水深为为X X尺，则尺，则 芦苇长为（芦苇长为（X X1 1）尺，）尺， 由勾股定由勾股定理得：理得： （X X

10、1 1）2 2X2X2（ ）2 2 解得解得X X1212 X X1 11313答：水池的深度为答：水池的深度为1212尺，芦苇长为尺，芦苇长为1313尺。尺。210第16页/共44页第十七页，共45页。第17页/共44页第十八页，共45页。 毕达哥拉斯 第18页/共44页第十九页，共45页。 周髀算经第19页/共44页第二十页，共45页。 有不同的拼法有不同的拼法吗吗？ 第20页/共44页第二十一页，共45页。aaaabbbbcccc22)(421baabc a+b =c 验证验证(ynzhng)方法一方法一图图 1你还能用图你还能用图2进行验证吗？进行验证吗？ 方法方法(fngf)小结：我

11、们利用拼图的方法小结：我们利用拼图的方法(fngf)，将形的问题与数的问题结合起来，再，将形的问题与数的问题结合起来，再进行整式运算，从理论上验证了勾股定理进行整式运算，从理论上验证了勾股定理. 第21页/共44页第二十二页，共45页。据传是当年据传是当年(dngnin)(dngnin)毕达哥拉斯发现勾股定理时做出毕达哥拉斯发现勾股定理时做出的证明。的证明。 将将4个全等的直角三角形拼成边长为个全等的直角三角形拼成边长为(ab)的正方形的正方形ABCD，使中间留下边长，使中间留下边长c的一的一个正方形洞画出正方形个正方形洞画出正方形ABCD移动三角移动三角形至图形至图2所示的位置中，于是所示的

12、位置中，于是(ysh)留下了留下了边长分别为边长分别为a与与b的两个正方形洞则图的两个正方形洞则图1和和图图2中的白色部分面积必定相等，所以中的白色部分面积必定相等，所以c2=a2+b2图图1图图2第22页/共44页第二十三页，共45页。cab a22)(421cabab a+b =c 你还有其他的方法吗？下来你还有其他的方法吗？下来继续研究喔！继续研究喔！图图 3第23页/共44页第二十四页，共45页。验证验证(ynzhng)方法三方法三美国第二十任总统伽菲尔德的证法：美国第二十任总统伽菲尔德的证法：bcabcaABCD如图，梯形如图，梯形(txng)(txng)由三个直角三角形组合由三个直

13、角三角形组合而成，利用面积公式，列出代数关系式而成，利用面积公式，列出代数关系式, ,得得化简化简, ,得得2111()()2.222ab baabc 222.abc第24页/共44页第二十五页，共45页。其他验证法：勾股定理其他验证法：勾股定理(u dn (u dn l)l)的无字证明的无字证明以刘徽的以刘徽的“青朱出入图青朱出入图”为代表，证明为代表，证明不需用任何数学符号和文字，更不需进不需用任何数学符号和文字，更不需进行运算，隐含在图中的勾股定理行运算，隐含在图中的勾股定理(u (u dn l) dn l)便清晰地呈现，整个证明便清晰地呈现，整个证明单靠移动几块图形而得出，被称为单靠移

14、动几块图形而得出，被称为“无无字证明字证明”。 约公元约公元 263 年，三国时代魏国的数学家刘徽为年，三国时代魏国的数学家刘徽为古籍九章算术古籍九章算术(ji zhn sun sh)作注作注释时，用释时，用“出入相补法出入相补法”证明了勾股定理。证明了勾股定理。 第25页/共44页第二十六页，共45页。 做法是将一条垂直线和一条水平线做法是将一条垂直线和一条水平线，将较大直角边的正方形分成，将较大直角边的正方形分成 4 分。之分。之后依照图中的颜色后依照图中的颜色,将两个直角边的正方将两个直角边的正方形填入斜边正方形之中，便可完成定理形填入斜边正方形之中，便可完成定理(dngl)的证明。的证

15、明。其他验证法：勾股定理的拼图证明其他验证法：勾股定理的拼图证明在印度、在阿拉伯世界在印度、在阿拉伯世界(shji)(shji)和欧洲出和欧洲出现的一种拼图证明现的一种拼图证明第26页/共44页第二十七页，共45页。第27页/共44页第二十八页，共45页。同学你知道古埃及人用什么方法得到直角同学你知道古埃及人用什么方法得到直角?古埃及人曾用下面古埃及人曾用下面(xi mian)的方法得到直角的方法得到直角:用用13个等距的结个等距的结,把一根绳子分成等长的把一根绳子分成等长的12段段,一个工匠同时握住一个工匠同时握住绳子的第绳子的第1个结和第个结和第13个结个结,两个两个(lin )助手分别握

16、住第助手分别握住第4个结和第个结和第8个个结结,拉紧绳子就得到一个直角三角形拉紧绳子就得到一个直角三角形, 其直角在第其直角在第4个结处个结处.想一想：这个方法得到的是直角三角形吗？是不是只有勾三股四弦五想一想：这个方法得到的是直角三角形吗？是不是只有勾三股四弦五才能得到直角三角形呢？才能得到直角三角形呢？第28页/共44页第二十九页，共45页。第29页/共44页第三十页，共45页。1.如图，在正方形ABCD中，AB=4，AE=2， DF=1， 图中有几个(j )直角三角形，你是如何判断的？4 41 12 22 24 43 3易知易知: :ABEABE，DEFDEF，FCBFCB均为均为RtR

17、t 由勾股定理由勾股定理(u dn l)(u dn l)知知 BE2=22+42=20 BE2=22+42=20，EF2=22+12=5EF2=22+12=5， BF2=32+42=25 BF2=32+42=25 BE2+EF2=BF2 BE2+EF2=BF2 BEFBEF是是Rt Rt 第30页/共44页第三十一页，共45页。如图所示的一块如图所示的一块(y kui)地，已知地，已知AD=4m，CD=3m， ADDC，AB=13m，BC=12m，求这块地的面积，求这块地的面积.A DCB解：连接AC ADDC AC=AD2+DC2=42+32=5 AC2+BC2=AB2 ACBC答：这块(z

18、h kui)地的面积是24m2.224)43125(212121mDCADACBCSSSADCABC第31页/共44页第三十二页，共45页。如图，如图，E E、F F分别分别(fnbi)(fnbi)是正方形是正方形ABCDABCD中中BCBC和和CDCD边上的边上的点，且点，且AB=4AB=4，CE= BCCE= BC，F F为为CDCD的中点，连接的中点，连接AFAF、AEAE，问，问AEFAEF是什么三角形？请说明理由是什么三角形？请说明理由. . 41FEACBD第32页/共44页第三十三页，共45页。如图，已知等腰如图，已知等腰ABC的底边的底边(d bin)BC=20cm，D是腰是腰

19、AB上一点，且上一点，且CD=16cm，BD=12cm，求，求ABC的周长的周长.DB CA第33页/共44页第三十四页，共45页。第34页/共44页第三十五页，共45页。BA 蚂蚁怎么走最近蚂蚁怎么走最近? 在一个圆柱石凳上，若小明在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点在吃东西时留下了一点(y din)食物在食物在B处，恰好一只在处，恰好一只在A处的处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从从A 处爬向处爬向B处，你们想一想，处，你们想一想，蚂蚁怎么走最近？蚂蚁怎么走最近？第35页/共44页第三十六页，共45页。ABABAArOh怎样怎样(znyng)计算计算AB？

20、在在RtRtAABAAB中，利用中，利用(lyng)(lyng)勾股定勾股定理可得，理可得，222BAAAAB侧面侧面(cmin)展开图展开图其中其中AA是圆柱体的高是圆柱体的高,AB是底面圆周长的一半是底面圆周长的一半(r)第36页/共44页第三十七页，共45页。小试牛刀小试牛刀练习练习(linx)1练习练习(linx)2 1如图，台阶如图，台阶(tiji)A处的处的蚂蚁要爬到蚂蚁要爬到B处搬运食物，它怎处搬运食物，它怎么走最近？并求出最近距离。么走最近？并求出最近距离。第37页/共44页第三十八页，共45页。小试牛刀小试牛刀练习练习(linx)1练习练习(linx)2 2有一个高为有一个高

21、为1.5米，半径米，半径(bnjng)是是1米的圆米的圆柱形油桶，在靠近边的地方有一小孔，从孔中插入柱形油桶，在靠近边的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分为一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分为0.5米，问这根米，问这根铁棒有多长？铁棒有多长？你能画出示意你能画出示意图吗图吗? ?解解:设伸入油桶中的长度为设伸入油桶中的长度为x x 米米,则最长时则最长时:5 . 225 . 1222xx最短时最短时:最长是最长是2.5+0.5=3(米米)5 . 1x答答:这根铁棒的长应在这根铁棒的长应在23米之间米之间最短是最短是1.5+0.5=2(米米)第38页/共44页第三十九页，共45页。举一反三举一反三练习练习(linx)1练习练习(li