多元函数的积分学及其应用94PPT学习教案

1、会计学1多元函数的积分学及其应用多元函数的积分学及其应用94设设),(zyxf是空间有界闭区域是空间有界闭区域 上上的有界函数， 将闭区域的有界函数， 将闭区域 任意分成任意分成 n个小个小闭区域闭区域1v ，2v , ,nv ，其中，其中iv 表示第表示第 i个小闭区域，也表示它的体积个小闭区域，也表示它的体积, , 在每个在每个iv上任取一点上任取一点),(iii 作乘积作乘积iiiivf ),( ，), 2 , 1(ni ，并作和，并作和iiiniivf),(1, , 如果当各小闭区域的直径如果当各小闭区域的直径中的最大值中的最大值趋近于零时，这和式的极限趋近于零时，这和式的极限存在，

2、则称此极限为函数存在， 则称此极限为函数),(zyxf在闭区在闭区域域 上的上的三重积分三重积分，记为，记为( , , )df x y zv , , 第1页/共44页即即 ( , , )df x y zv iiiniivf),(lim10. d.v其其中中叫叫做做体体积积元元素素, 在在直直角角坐坐标标系系中中，如如果果用用平平行行于于坐坐标标面面的的平平面面来来划划分分.ijklvxyz 则则三重积记为三重积记为 ( , , )d d df x y zx y z iiiniivf ),(lim10 . d d d.x y z其其中中叫叫做做直直角角坐坐标标系系中中的的体体积积元元素素第2页/

3、共44页直角坐标系中将三重积分化为三次积分xyzo D1z2z2S1S),(1yxzz ),(2yxzz ab)(1xyy )(2xyy ),(yx如图，,xoyD 闭闭区区域域在在面面上上的的投投影影为为闭闭区区域域),(:),(:2211yxzzSyxzzS ( , ),x yDz 过过点点作作平平行行于于 轴轴的的直直线线穿出穿出穿入，从穿入，从从从21zz第3页/共44页函数，则函数，则的的只看作只看作看作定值，将看作定值，将先将先将zzyxfyx),(,21( , )( , )( , )( , , )dzx yzx yF x yf x y zz 上的二重积分上的二重积分在闭区间在闭区

4、间计算计算DyxF),(21( , )( , )( , )d( , , )d d .zx yzx yDDF x yf x y zz 得第4页/共44页( , , )df x y zv 2211( )( , )( )( , )dd( , , )d .byxzx yayxzx yxyf x y zz注意zS 这这是是平平行行于于轴轴且且穿穿过过闭闭区区域域内内部部的的直直线线与与闭闭区区域域的的边边界界曲曲面面相相交交不不多多于于两两点点情情形形第5页/共44页例例 1 1 化三重积分化三重积分 ( , , )d d dIf x y zx y z 为三次为三次积分，其中积分区域积分，其中积分区域

5、为由曲面为由曲面 222yxz 及及22xz 所围成的闭区域所围成的闭区域. 解由由 22222xzyxz, 得得交交线线投投影影区区域域, 122 yx第6页/共44页故故 ： 22222221111xzyxxyxx, .),(11221122222 xyxxxdzzyxfdydxI第7页/共44页例例2 2 化三重积分化三重积分 ( , , )d d dIf x y zx y z 为三为三 次积分，其中次积分，其中 积分区域积分区域 为由曲面为由曲面22yxz , 2xy ,1 y, 0 z所围所围 成的空间闭区域成的空间闭区域. 2221110dd( , , )dxyxIxyf x y

6、zz . 解222:0,1,11.zxyxyx 如图，第8页/共44页例例 3 计算三重积分计算三重积分d d dx x y z， 其中， 其中为三个坐标面及平面为三个坐标面及平面21xyz所围所围成的闭区域成的闭区域 解：作出闭区域解：作出闭区域的图形如图所示的图形如图所示, 将将投影到投影到 xOy 平面上，所得投影平面上，所得投影区域区域xyD为三角形闭区域为三角形闭区域 OAB， 直线直线 OA,OB 及及 AB 的方程的方程 依次为依次为0,0yx及及21xy, 所以所以 第9页/共44页1( , )|0(1),012xyDx yyxx 在在xyD内任取一点内任取一点(x,y)，过该

7、点作平行于，过该点作平行于 z 轴轴的直线，该直线通过平面的直线，该直线通过平面 z=0 穿入穿入内部，然后内部，然后通过平面通过平面12zxy 穿出穿出外，即外，即可表示为可表示为 ( , , )|012 ,( , )xyx y zzxy x yD 于是得到于是得到： 11(1)(12 )2000d d ddddxxyx x y zxyx z 11(1)200d(12 )dxx xxyy 12011(1) d448xxx 第10页/共44页截面法的一般步骤：截面法的一般步骤： (1) 把积分区域把积分区域 向某轴（例如向某轴（例如z 轴）投影，得投轴）投影，得投影区间影区间,21cc； (2

8、) 对对,21ccz 用过用过z轴且平行轴且平行xoy平面的平面去平面的平面去截截 ，得截面，得截面zD; (3) 计算二重积分计算二重积分( , , )d dzDf x y zx y 其结果为其结果为z的函数的函数)(zF； (4)最后计算单积分最后计算单积分21( )dccF zz 即得三重积分值即得三重积分值. z 第11页/共44页例例 4 4 计计算算三三重重积积分分d d dz x y z ，其其中中 为为三三个个坐坐标标面面及及平平面面1 zyx所所围围成成的的闭闭区区域域. 解解 d d dz x y z 10dd d ,zDz zx y 1, 0, 0| ),(zyxyxyx

9、Dz1d d(1)(1)2zDx yzz 原式原式1201(1) d2zzz 241 . xozy111第12页/共44页例例 5 5 计算三重积分计算三重积分2d d dzx y z ，其中，其中 是由是由 椭球面椭球面1222222 czbyax所成的空间闭区域所成的空间闭区域. : ,| ),(czczyx 1222222czbyax 原原式式2dd d ,zccDzzx y xyzozD解第13页/共44页222222d d(1)(1)zDzzx yabcc 22(1),zabc222(1)dcczabzzc 34.15abc 原式第14页/共44页例例 6 6 计算三重积分计算三重积

10、分21d d dyxx y z ，其中，其中 由曲面由曲面221zxy ，122 zx，1 y所所围成围成. 解如图,y yzOx投影到平面22:1xzDxz先先对对 y 积积分分， 再再求求xzD上上二二重重积积分分 第15页/共44页222211211d1d2xxxzxxz 2231221111d3()|xxzxx zx 1241112d3()xxx.4528 221211d ddxzxzDyxx zy 原式第16页/共44页,0 r02, . z的柱面坐标的柱面坐标就叫点就叫点个数个数，则这样的三，则这样的三的极坐标为的极坐标为面上的投影面上的投影在在为空间内一点，并设点为空间内一点，并

11、设点设设MzrrPxoyMzyxM,),( 规定：xyzo),(zyxM),(rPr第17页/共44页 .,sin,coszzryrx 柱面坐标与直角坐标的关系为为常数为常数r为常数为常数z为常数为常数 如图，三坐标面分别为圆柱面；半平面；平 面),(zyxM),(rPrzxyzo第18页/共44页( , , )d d df x y zx y z ( cos , sin , ) d d d .f rrz r rz d rxyzodzdrdr 如图，柱面坐标系中的体积元素为dd d d ,vr rz 第19页/共44页例例 7 计算计算d d dIz x y z ，其中，其中 是球面是球面 42

12、22 zyx与抛物面与抛物面zyx322 所围的立体所围的立体. 解 zrzr34222, 3, 1 rz知交线为第20页/共44页22323400dddrrIrr z z 13.4 xoy 把把闭闭区区域域投投影影到到面面上上，如如图图，22:4303,02.rzrr ，第21页/共44页例例 8 计算计算 22()d d dIxyx y z ， 其中其中 是是曲线曲线 zy22 ，0 x 绕绕oz轴旋转一周而成的轴旋转一周而成的曲面与两平面曲面与两平面, 2 z8 z所围的立体所围的立体. 解由由 022xzy 绕绕 oz 轴旋转得，轴旋转得，旋旋转转面面方方程程为为,222zyx 所围成

13、的立体如图， 第22页/共44页:2D, 422 yx220202:.22rrz :1D2216,xy120204:,82rrz 所围成立体的投影区域如图， 2D1D第23页/共44页12122222()d d d()d d d ,IIIxyx y zxyx y z 21812d ddrDIr rf z 54,3 22222d ddrDIr rf z 52,6 原式原式 I543526 336 . 22248200dddrrr rz 22222200dddrrr rz 第24页/共44页例例 9 9 计算计算 22()d d dIxyx y z ，其中，其中 是锥是锥面面222zyx ， 与平

14、面与平面az )0( a所围的立体所围的立体. ,:222ayxD 222zyx , rz :,0,02 ,rzara第25页/共44页22()d d dIxyx y z 2200dddaarr rrz 302()dararr 45245aaa第26页/共44页补充：利用对称性化简三重积分计算使用对称性时应注意：.积分区域关于坐标面的对称性；.被积函数在积分区域上的关于三个积分变量的奇偶性 一般地，当积分区域一般地，当积分区域 关于关于xoy平面对称，且平面对称，且被积函数被积函数),(zyxf是关于是关于z的奇函数， 则三重积分为的奇函数， 则三重积分为零， 若被积函数零， 若被积函数),(

15、zyxf是关于是关于z的偶函数， 则三重的偶函数， 则三重积分为积分为 在在xoy平面上方的半个闭区平面上方的半个闭区域的三重积域的三重积分的两倍分的两倍. 第27页/共44页例例 10 利用对称性简化计算利用对称性简化计算 222222ln(1)d d d1zxyzx y zxyz 其中积分区域其中积分区域222( , , )|1x y zxyz . 解积分域关于三个坐标面都对称，被积函数是 的奇函数,z222222ln(1)d d d0.1zxyzx y zxyz 第28页/共44页解2)(zyx )(2222zxyzxyzyx 例例 1 11 1 计计算算2() d d dxyzx y

16、z 其其中中 是是由由抛抛物物面面 22yxz 和和球球面面2222 zyx所所围围成成的的空空间间闭闭区区域域. 其其中中yzxy 是是关关于于y的的奇奇函函数数, 且且 关关于于zox面面对对称称, ()d0 xyyzv , 第29页/共44页同同理理 zx是是关关于于x的的奇奇函函数数, 且且 关于关于yoz面对称面对称, d0,xz v 则则2() d d dIxyzx y z 222()d d d ,xyzx y z 第30页/共44页在柱面坐标下：在柱面坐标下：02, , 10 r,222rzr , 122 yx投影区域投影区域 xyD：222122200dd()drrIrr rz

17、z (90 289).60第31页/共44页三重积分的定义和计算（1）在直角坐标系下的体积元素ddd dvxyz （计算时将三重积分化为三次积分）（2） 柱面坐标的体积元素（3） 对称性简化运算第32页/共44页思考题1 为六个平面为六个平面0 x，2 x，1 y，42 yx，xz ，2 z围成的区域，围成的区域，),(zyxf在在 上连上连续，则累次积分续，则累次积分_ ( , , )df x y zv . 选择题:第33页/共44页210222( )dd( , , )d ;xxAxyf x y zz 222012( )dd( , , )d ;xxBxyf x y zz 212022( )d

18、d( , , )d ;xxCxyf x y zz 222201()dd( , , )d .xxDxyf x y zz 第34页/共44页思考题23( , , ),Rxyf x y z 若若为为中中关关于于面面对对称称的的有有界界闭闭区区域域，为为上上的的连连续续函函数数 则则( , , )_,( , , )d0;f x y zf x y zv 当当关关于于为为奇奇函函数数时时1( , , )_,( , , )d_( , , )df x y zf x y zvf x y zv 当当关关于于为为偶偶函函数数时时1.xy其其中中为为在在面面上上方方的的部部分分zz2第35页/共44页一、一、 填空题

19、填空题: : 1.1.若若 由曲面由曲面22yxz 及平面及平面1 z所围成所围成, , 则三重积分则三重积分( , , )d d df x y zx y z 化为三次积分是化为三次积分是 _. . 2.2.若若 是由曲面是由曲面0( cxycz),),12222 byax, ,0 z所所围 成 的 在 第 一 卦 限 内 的 闭 区 域围 成 的 在 第 一 卦 限 内 的 闭 区 域 , , 则 三 重 积 分则 三 重 积 分( , , )d d df x y zx y z 可化为三次积分为可化为三次积分为_._. 3.3.若若:01,01,01xyz , ,则则 ()d d dxyzx

20、 y z 可 化 为 三 次 积 分可 化 为 三 次 积 分_,_,其值为其值为_._. 练 习 题第36页/共44页 4 4、若、若 : :是由是由),0(, 0, 0 hhzzx )0(2222 aayxayx及及所围成所围成, ,则三重积则三重积 分分 dvzyxf),(可化为：可化为： (1)(1) 次序为次序为xyz的三次积分的三次积分_._. (2)(2)次序为次序为zxy的三次积分的三次积分_._. (3) (3)次序为次序为yzx的的三次积分三次积分_._. 5 5、若、若 由曲面由曲面和和)(3222yxz 16222 zyx所围所围, ,则三重积分则三重积分 dvzyxf

21、),(表示成直角坐标下的三次积分表示成直角坐标下的三次积分是是_; ; 在柱面坐标下的三次积分 是在柱面坐标下的三次积分 是_. . 第37页/共44页6 6. .若若 由曲面由曲面及及222yxz 22yxz 所所围围 , , 将将dz v 表 为 柱 面 坐 标 下 的 三 次 积 分表 为 柱 面 坐 标 下 的 三 次 积 分_,_,其值为其值为_._. 7 7. .若空间区域若空间区域 为二曲面为二曲面azyx 22及及 222yxaz 所围所围, ,则其体积可表为三重积则其体积可表为三重积分分_; ;或二重积分或二重积分_ _; ;或柱面坐标下的三次积分或柱面坐标下的三次积分_.

22、. 第38页/共44页二、计算二、计算23d d dxy zx y z , ,其中其中 是由曲面是由曲面xyz , ,与与平平 面面01, zxxy和和所围成的闭区域所围成的闭区域 . . 三、 计算三、 计算d d dxz x y z , ,其中其中 是曲面是曲面1, 0 yyzz, ,以及抛物柱面以及抛物柱面2xy 所围成的闭区域所围成的闭区域. . 四、计算四、计算221dvxy , ,其中其中 是由六个顶点是由六个顶点 ),0 , 0 , 2(),2 . 1 . 1(),0 , 1 , 1(),0 , 0 , 1(DCBA )4 , 2 , 2(),0 , 2 , 2(FE组成的三棱锥台组成的三棱锥台. . 五五、计计算算下下列列三三重重积积分分: : 22()dxyv , ,其其中中 是是由由曲曲面面 24z)(2522yx 及及平平面面5 z所所围围成成的的闭闭区区域域. . 第39页/共44页六六、求求曲曲面面225yxz 及及zyx422 所所围围成成的的立立体体的的体体积积. . 七七、求求由由曲曲面面, 0,22 xayxyxz0, 0 zy 所所围围成成立立体体的的重重心心( (设设密密度度1 ) ). . 八八、求求半半径径为