线性系统的能控性与能观测性学习教案

1、会计学1第一页，共135页。24.1 能控性和能观测(gunc)性的定义 4.2 线性连续系统(xtng)的能控性判据4.3 线性连续系统(xtng)的能观测性判据4.5 能控规范型和能观测规范型第4章 线性系统的能控性与能观测性4.4 对偶性4.6 连续时间线性时不变系统的结构分解第1页/共135页第二页，共135页。3 系统的可控性和可观性，就是指系统内的所有状态是否可以(ky)由输入影响和是否可由输出反映。p能控性问题:已知某系统的的当前时刻及其状态,试问是否存在一个容许控制,使得系统在该控制的作用下于有限时间后到达某希望的待定状态?p能观性问题:已知某系统及其在某时间段上的输入输出,试

2、问可否依据这一时间段上的输入和输出决定系统这一时间段上的状态?第2页/共135页第三页，共135页。4例4-1：给定系统(xtng)的状态空间描述为1122401052xxuxx 1206xyx结构图表明：通过控制(kngzh)量u可以控制(kngzh)状态x1和x2，所以系统完全能控；但输出y只能反映状态变量x2，不能反映状态变量x1，所以系统不完全能观测。图4-1 系统(xtng)结构图第3页/共135页第四页，共135页。5考虑n维线性时变(sh bin)系统的状态方程00( )( )( )txA t xB t ux txtT如果对取定初始时刻 的一个非零初始状态x(t0) =x0，存在

3、一个时刻 和一个无约束的容许控制u(t)， ，使状态由x(t0)=x0转移到t1时的x(t1)=0 ，则称此x0是在时刻t0可控的.tTt 0011,ttTtt,10ttt 第4页/共135页第五页，共135页。6如果状态空间中的所有非零状态都是在t0（ ）时刻可控的，则称系统在时刻t0是完全(wnqun)可控的，简称系统在时刻t0可控。若系统在所有时刻都是可控的，则称系统是一致可控的。考虑(kol)n维线性时变系统的状态方程00( )( )( )txA t xB t ux txtTtTt 0第5页/共135页第六页，共135页。7 对于线性时变系统取定初始时刻 ，如果状态空间中存在一个或一些

4、非零状态在时刻t0是不可控的，则称系统在时刻t0是不完全(wnqun)可控的，也称为系统是不可控的。 00( )( )( )txA t xB t ux txtTtTt 0第6页/共135页第七页，共135页。8 对于线性时变系统 若存在能将状态x(t0)=0转移到x(tf)=xf的控制作用，则称状态xf是t0时刻可达的。 若xf对所有时刻都是可达的，则称状态xf为完全可达到或一致(yzh)可达。若系统对于状态空间中的每一个状态都是时刻t0可达的，则称该系统是t0时刻完全可达的，或简称系统是t0时刻可达的。 00( )( )( )txA t xB t ux txtT第7页/共135页第八页，共1

5、35页。91系统完全(wnqun)可观测 对于线性时变系统如果取定初始时刻 ，存在一个有限时刻 ,对于所有 ，系统的输出y(t)能唯一确定状态(zhungti)向量的初值x(t0)，则称系统在t0, t1内是完全可观测的，简称可观测。如果对于一切t1t0系统都是可观测的，则称系统在t0, )内是完全可观测的。0ttT110,ttT tt01,tt t000( ) ,( ),( )txA t xx txt tTyC t x第8页/共135页第九页，共135页。102系统(xtng)不可观测 对于线性时变系统如果取定初始时刻 ，存在一个有限时刻 ,对于所有 ，系统的输出y(t)不能唯一确定所有状态

6、的初值xi(t0)，i=0,1,n，即至少有一个状态的初值不能被y(t)确定，则称系统在t0, t1内是不完全(wnqun)可观测的，简称不可观测。 0ttT110,ttT tt01,tt t000,( ) ,( )( )txA t xx txt tTyC t x第9页/共135页第十页，共135页。11 线性定常系统(xtng)为完全能控的充要条件是，存在一个有限时刻 ，使如下定义的格拉姆矩阵非奇异。注意：在应用该判据时需计算eAt，这在A的维数较高时并非易事，所以此判据主要用于理论分析中。 1100, TtAtTA tcWteBB edt-=1t第10页/共135页第十一页，共135页。1

7、2证：充分性：已知W0, t1为非奇异(qy)，欲证系统为完全可控，采用构造法来证明。对任一非零初始状态x0可构造控制u(t)为： 1101( )0, ,0,TTA tcu tB eWt xtt 则u(t)作用(zuyng)下系统状态x(t)在t1时刻的结果:1111111111()1001010010110000( )( )0, 0, 0, 0TtAtA tttAtAtAtTA tcAtAtAtAtnccx texeBu t dtexeeBB edtWt xexe Wt Wt xexexxR这表明(biomng)：对任一取定的初始状态x00 ，都存在有限时刻t10和控制u(t)，使状态由x0

8、转移到t1时刻的状态x(t1)=0 ，根据定义可知系统为完全可控。第11页/共135页第十二页，共135页。13必要性：已知系统完全可控，欲证W(0, t1) 非奇异。反设W(0, t1)为奇异，即存在(cnzi)某个非零向量 ，使0nxR010(0, )0Tx Wt x 1110100000002000(0, )TTTTtTTAtTA tTtTA tTA ttTA tx Wt xx eBB ex dtB exB exdtB exdt 其中(qzhng)|为范数，故其必为非负。欲使上式成立，必有010,0, TTA tB extt 第12页/共135页第十三页，共135页。14因系统完全可控，

9、根据定义(dngy)对此非零向量 应有 0 x111100( )( )0tAtAtAtx texeeBu t dt100( )tAtxeBu t dt 1120000000( )( )TTttTAtTTA txx xeBu t dtxut B ex dt 020000 xx即此结果与假设 相矛盾，即W(0, t1)为奇异的反设不成立。因此，若系统(xtng)完全可控， W(0, t1)必为非奇异。 00 x 第13页/共135页第十四页，共135页。152 秩判据(pn j) 线性定常系统为完全能控的充要条件是：能控判别(pnbi)阵1ncrankQrank B ABABn-=MML M能控性

10、判据(pn j)补充: 秩判据 线性定常系统为完全能控的充要条件是：其中:1n rn rrankQrank BABABn rrankBp，r该方法是秩判据的改进，特别适用于多输入系统，可减少不必要的计算。第14页/共135页第十五页，共135页。16证明(zhngmng)：充分性：已知rankQ=n，欲证系统完全可控，采用反证法。反设系统为不完全可控，则有： 1110(0, ),0TtAtTA tWteBB edtt 为奇异(qy)，这意味着存在某个非零n维常向量使111000(0, )TtTTAtTA ttTTAtTAtWteBB edteBeBdt1,0,TAteBtt 0 将上式求导直到

11、(n-1)次，再在所得(su d)结果中令t=0，则可得到:21,TTTTnBABA BAB0000第15页/共135页第十六页，共135页。1721,TTTTnBABA BAB000021TnTB AB A BABS 0 由于(yuy)0，所以上式意味着S为行线性相关的，即rankSn 。这显然与已知rankS=n相矛盾。因而反设不成立，系统应为完全可控，充分性得证。必要性：已知系统(xtng)完全可控，欲证rankS=n ，采用反证法。反设rankSn ，这意味着S为行线性相关，因此必存在一个非零n维常向量 使成立。1TTnSB ABAB0 第16页/共135页第十七页，共135页。181

12、TTnSB ABAB0;0,1,1TiA Bin0 （由凯莱哈密尔顿定理(dngl)）0,0,1,2,TiA Bi 10t1( 1)0;0,;0,1,2,!i iiAtBttii 第17页/共135页第十八页，共135页。19110(0, )TtTAtTA tTeBB edtWt 因为已知0 ，若上式成立，则格拉姆矩阵W(0, t1)为奇异，即系统为不完全(wnqun)可控，和已知条件相矛盾，所以反设不成立。于是有rankS=n ，必要性得证。 2 23 322331112311230,TAtTTTTeBIAtA tA tBBABtA BtA Bttt ！0第18页/共135页第十九页，共13

13、5页。20例4.4：已知判断(pndun)其能控性。401052xxu 2n 解：系统(xtng)阶次，确定(qudng)出可控判别阵14210cQBAB2crankQn，所以系统为完全可控。 第19页/共135页第二十页，共135页。21例：判断(pndun)下列系统的可控性11122233132210201101311xxuxxuxx解：2213254112244112244cQBABA B矩阵(j zhn)的第二行与第三行线性相关，故rankQ =23，系统不可控。第20页/共135页第二十一页，共135页。22例：用可控性判别(pnbi)矩阵 判别(pnbi)上例所示系统的可控性。 n

14、pU11122233132210201101311xxuxxuxx解：n=3, 系统(xtng)输入向量是2维的列向量，即p = 2。2111211prankBrankp3 2213211221122U显见(xinjin)矩阵S3-2的第二行与第三行线性相关，故 ，系统不可控。23nprankS第21页/共135页第二十二页，共135页。23线性定常系统(xtng) 0( )( )( )(0)0 x tAx tBu txxt完全可控的充分必要条件是：对矩阵(j zhn)A的所有特征值 ， (1,2, )iin1,2,irankIABnin均成立，或等价地表示为,rank sIABnsC 注：当

15、系统矩阵A的维数较高时，应用秩判据可能不太方便，此时可考虑用PBH判据试一下。第22页/共135页第二十三页，共135页。24证明： ，为多项式矩阵(j zhn)，且对复数域上除i以外的所有s都有det(sI-A)0，即ranksI-A=n，进而有ranksI-A B=n，所以只要证明 即可。,rank sIABnsC 1,2,irankIABnin必要性：系统完全可控，欲证上式成立(chngl)，采用反证法。反设对某个i 有rankiI A B n，则意味着 iIA B为行线性相关。由此，必存在(cnzi)一个非零常向量，使iTIAB 0 成立。考虑到问题的一般性，由上式可得到：,0TTTi

16、AB 第23页/共135页第二十四页，共135页。25进而(jn r)可得:1,TTTTniBABBAB000 于是(ysh)有1TnTBABABS 0 因已知0，所以(suy)欲使上式成立，必有rankSn这意味着系统不完全可控，显然与已知条件相矛盾。因此，反设不成立，即rankiI A B=n成立。充分性：已知式r a n k iI A B = n成立，欲证系统完全可控。采用反证法：利用和上述相反的思路，即可证得充分性。第24页/共135页第二十五页，共135页。26例4.7：已知线性定常系统(xtng)状态方程为010001001010000101005020 xxu判断(pndun)系

17、统的可控性。解：根据(gnj)状态方程可写出10001010100010100520sssIABss第25页/共135页第二十六页，共135页。27特征方程： 010001001010rankrank000101005020010001001010rank4000101000030sIAB2det()(5)(5)0sIAsss解得A的特征值为： 12340,5,5 1）当 时，有 120s第26页/共135页第二十七页，共135页。282）当 时，有 35s51010510rank=rank400010020sIAB3）当 时，有 35s 51010510rank=rank400010020s

18、IAB所以(suy)系统是完全可控的。第27页/共135页第二十八页，共135页。29线性定常系统(xtng) 0( )( )( )(0)0 x tAx tBu txxt完全可控的充分(chngfn)必要条件是：A不能有与B的所有列相正交的非零左特征向量。即对A的任一特征值i，使同时满足,TTTiAB 0 的特征向量 。 0 注：PHB特征向量判据主要用于理论分析中，特别是线性系统的复频域分析中。第28页/共135页第二十九页，共135页。30证明：必要性：已知系统完全可控，反设存在(cnzi)一个向量0，使式 成立，则有,TTTiAB01,TTTTniBABBAB0001TnTBABABS0

19、由于(yuy)0 ，所以上式意味着S为行线性相关的，即rankS时， 的全部p个列将线性相关于它的左边各列，此时(c sh) 的秩不再增加，即kQBAkkQ 称为系统(xtng)的能控性指数。=?”krankQn使成立的k的最小正整数第36页/共135页第三十七页，共135页。38 定理(dngl)：能控性指数满足nmin(n,n1)pr 其中， 为矩阵A的最小多项式次数(csh)， ，n为系统的阶次。nrankBr 第37页/共135页第三十八页，共135页。39 定理(dngl)：线性定常系统完全能控的充要条件是：nn1rankQrankB ABABnrr 注：该方法是秩判据的改进，特别适

20、用于多输入(shr) 系统，可减少不必要的计算。其中(qzhng)： rrankBp，r第38页/共135页第三十九页，共135页。40三 线性时变系统(xtng)的能控性判据1 格拉姆矩阵判据 线性时变系统在时刻 为完全能控的充要条件是，存在一个有限时刻 ，使如下(rxi)定义的格拉姆矩阵非奇异。0t)tt , Jt (t011110t0T010) t ,t () t () t () t ,t (,t tTcdtBBtW第39页/共135页第四十页，共135页。412 秩判据 线性时变系统(xtng)在时刻 为完全能控的充分条件是，存在一个有限时刻 ，使下式成立0t)tt , Jt (t01

21、11) t (Mdtd) t (M) t (A) t (M) t (Mdtd) t (M) t (A) t (M) t (B) t (M2-n2-n1 -n0010n)t (M)t (M)t (Mrank11 -n1110能控性判据(pn j)第40页/共135页第四十一页，共135页。42 线性定常系统完全可观测的充分必要条件是，存在有限时刻t10，使如下定义的格拉姆矩阵为非奇异。0(0)0 xAxxxtyCx1T10(0, )eeTtA tAtoWtC Cdt注意：在应用该判据时需计算eAt，这在A的维数较高时并非易事，所以此判据主要用于理论分析中。 第41页/共135页第四十二页，共13

22、5页。43 线性定常系统完全可观测的充分(chngfn)必要条件是:或0(0)0 xAxxxtyCx1onCCArankQranknCA1()TTTTnTrank CA CACn其中：n是系统的维数，称为系统的可观测(gunc)性判别阵，简称可观测(gunc)性阵。1()TTTTnTTVCA CAC第42页/共135页第四十三页，共135页。44例：判断下列(xili)系统的可观性：xAxyCx20,1001AC(1) 解：(1) 101220oCrankQrankranknCA 系统不完全(wnqun)可观测11101111AC，(2) (2)111020112TTTorankQrank C

23、A Crankn系统完全(wnqun)可观测第43页/共135页第四十四页，共135页。45例：证明(zhngmng)如下系统总是完全可观测的。0110011naaxxa001yx证明(zhngmng)：11101100nnaaVnV rank系统(xtng)是完全可观测的。 该题说明：可观测标准型系统是完全可观测的。第44页/共135页第四十五页，共135页。46补充：可观测(gunc)性判别矩阵 （）n qV线性定常连续(linx)系统的状态方程其中：x为n维状态向量(xingling)；y为q维输出向量(xingling)；A和C分别为(nn) 和(qn)常阵。该线性定常连续系统完全可观

24、测的充要条件是：其中： 0(0)0 xAxxxtyCxn qn qCCArankVranknCAqrankCqq，适用于多输出系统第45页/共135页第四十六页，共135页。47例：判断(pndun)系统的可观性。11101111AC，解：系统(xtng)输出向量是2维的列向量，即q = 2。10211qrankCrankq2 21011V2n qrankVn故 ，系统(xtng)完全可观测。第46页/共135页第四十七页，共135页。48 线性定常系统完全可观测的充分必要条件是：对矩阵(j zhn)A的所有特征值 ，均有0(0)0 xAxxxtyCx),2, 1(niirank;1,2,Ii

25、CninA( I)CranknsCsA ，成立。或等价(dngji)地表示为第47页/共135页第四十八页，共135页。49 线性定常系统完全可观测的充分(chngfn)必要条件是：A没有与C的所有行相正交的非零右特征向量。即对A的任一特征值 ，使同时满足0(0)0 xAxxxtyCx),2, 1(nii,iAC0 0 的特征向量 。注：PHB特征向量判据主要(zhyo)用于理论分析中。第48页/共135页第四十九页，共135页。5012,nxxyCx 当矩阵A的特征值 为两两相异时，线性定常连续系统完全可观测的充分(chngfn)必要条件是：其对角线规范型 12,n 中， 不包含元素全为零的

26、。0(0)0 xAxxxtyCxC第49页/共135页第五十页，共135页。51例：已知线性定常系统(xtng)的对角线规范型为800000010,123002xxyx判断系统(xtng)的可观测性。解：由于此规范型中 不包含元素全为零的列，故系统完全(wnqun)可观测。C第50页/共135页第五十一页，共135页。52 当系统(xtng)矩阵A有重特征值时，线性定常连续系统(xtng)完全可观测的充分必要条件是：由其导出的约当规范型中， 中与同一特征值的各约当块对应的各子块的第一列组成的矩阵是列线性无关的。0(0)0 xAxxxtyCxACxxy =xC第51页/共135页第五十二页，共1

27、35页。53例4.15：约当标准型系统(xtng)如下：2100000020000000200000002000000031000000300000003xx试判断(pndun)其可观测性。400020000301010005300yx解： 1400030 ,005C2201130C所以(suy)：系统完全可观测。是列线性无关的；是列线性无关的；第52页/共135页第五十三页，共135页。54 完全可控且完全可观测的子系统组合(zh)后不一定保持原有的可控性或可观测性。例：设完全(wnqun)可控且完全(wnqun)可观测的子系统为11111101021341Sxxuyx ：，222222Sx

28、xuyx ：，求出并联组合系统的状态空间描述，并判断(pndun)并联组合系统的可控性和可观测性。第53页/共135页第五十四页，共135页。55解：子系统并联(bnglin)组合后的系统1111222200ABABxxuxx010034010011xxu 112122CCDDxyux21 1yx 可控性判别(pnbi)矩阵：20141413111cQBABA B第54页/共135页第五十五页，共135页。56可观(kgun)性判别矩阵2211321651oCQCACA轾轾犏犏犏犏= -犏犏犏犏臌臌det4 156 123 100oQ rankoQn该并联组合系统(xtng)不完全可控且不完全

29、可观测。det4 13 16 10cQ crankQn第55页/共135页第五十六页，共135页。57二能观测(gunc)性指数k-1 TkVC CACA ,k0,1, 对线性定常系统，定义(dngy)kq n 矩阵： 能观性指数：矩阵 的秩随着k单调增加(zngji)，直 至k=。在k时， 的秩不再增加(zngji)，即kVkVkrankVnk使的 最小正整数 称为线性定常系统的能观测性指数。第56页/共135页第五十七页，共135页。58 定理：能观测(gunc)性指数满足nmin(n,nm 1)q 其中， 为矩阵A的最小多项式次数(csh)， ，n为系统的阶次。nmrankC第57页/共

30、135页第五十八页，共135页。59 定理(dngl)：线性定常系统完全能观的充要条件是：nn1rankVrankC CACAnm Tm 定理：线性定常系统的能控性指数和能观测性指数在状态的非奇异(qy)变换下保持不变。mrankC第58页/共135页第五十九页，共135页。60三 线性时变系统(xtng)的能观测性判据1 格拉姆矩阵(j zhn)判据 线性时变系统在时刻 为完全能观的充要条件是，存在一个有限时刻 ，使如下定义的格拉姆矩阵(j zhn)非奇异。10t0T0T10o)t , t () t (C) t (C)t , t (,t tdttW0t)tt , Jt (t0111第59页/

31、共135页第六十页，共135页。612 秩判据 线性时变系统在时刻 为完全能观的充分(chngfn)条件是，存在一个有限时刻 ，使下式成立n)t (N)t (N)t (NrankT11 -n11100t)tt , Jt (t0111) t (Ndtd) t (A) t (N) t (N) t (Ndtd) t (A) t (N) t (N) t (C) t (N2-n2-n1 -n0010第60页/共135页第六十一页，共135页。62能控性能观性意义(yy)输入 状态控制状态 输出估计代数(dish)判据rankB AB An-1B=nrankC AC (A)n-1C=n模态判据(pn j)

32、1同一特征值的约旦块对应B的分块的最后一行是否相关同一特征值的约旦块对应C的分块的第一列是否相关rankI-A B=n rankI-A C=n 模态判据2从前面的讨论中可以看出,系统状态能控性和能观性,无论是从定义或判据方面来看,在形式和结构上都极为相似。这种相似关系可以总结成下表:4.4 对偶性第61页/共135页第六十二页，共135页。63一 对偶(du u)系统 考虑线性时变(sh bin)系统x)t(CyB(t)u,A(t)xx: 线性时变系统的对偶系统的状态(zhungti)空间描述为：TTTTTTTTd) t (B(t)C(t)A: 式中：-n维行向量，协态；-输出，p维行向量；

33、-输入，q维行向量。（1）（2） 显然,若系统(A,B,C)是一个p维输入,q维输出的n阶系统,则其对偶系统是一个q维输入,p维输出的n阶系统。第62页/共135页第六十三页，共135页。64下图是对偶(du u)系统和 的结构图。从图中可以看出,两系统(xtng)互为对偶意味着输入端与输出端互换;信号传递方向的相反;信号引出点和相加点的互换,对应矩阵的转置,以及时间的倒转。 u B A C + x y x+ C A B uyxx+ + B第63页/共135页第六十四页，共135页。65二 对偶原理 对偶系统的状态转移矩阵之间满足(mnz)如下关系： 线性时变系统的完全(wnqun)能控等同于

34、其对偶系统的完全(wnqun)能观测，线性时变系统的完全(wnqun)能观测等同于其对偶系统的完全(wnqun)能控。0000( ,)( ,)=( ,)( , )TTdt tt tt tt t-F= FF= F逆的转置第64页/共135页第六十五页，共135页。66补充题：确定使下列系统状态完全能控的待定参数(cnsh)的a，b，c取值范围010001000 xabxuc 2010416012618axxb uc （1） （2）ac0, b任意(rny) 0ac a,b,c为任何(rnh)值都不能控 第65页/共135页第六十六页，共135页。6732( )7148saG ssss设系统状态完

35、全可控且完全可观(kgun), 试求a的范围。解：可控标准型实现(shxin)，检查可观性： 0100001081471xxu；10 yax第66页/共135页第六十七页，共135页。68解得 a1 = 1； a2 = 2； a3 = 4；答案(d n)：只需a1 1 、 a2 2 和 a3 4 。 ；0814723aaa71481001aaaV；814723aaa第67页/共135页第六十八页，共135页。694.5 能控规范(gufn)形和能观测规范(gufn)形 一 单变量系统(xtng)的能控能观规范形1 非奇异(qy)线性变换的不变特性 系统经过非奇异线性变换后，不会改变系统原有特性

36、(包括系统特征值、传递函数矩阵、可控性、可观性、能控性指数和能观性指数等)，这就是所谓的非奇异线性变换的不变特性。第68页/共135页第六十九页，共135页。70 对单输入-单输出(shch)线性定常系统，如果其状态空间描述具有如下形式xcyu,bxAxccc100b,1010Ac1 -n10c 则称此状态空间(kngjin)描述为可控规范形。2 能控规范(gufn)形第69页/共135页第七十页，共135页。71结论(jiln)：对于完全能控的单输入单输出系统Abycxxux设系统(xtng)的特征多项式为1110( )det()nnnssIAsss引入非奇异(qy)线性变换阵P-1：121

37、2111n 1n 11n 1111111AbAb b1nncnPQbAbAb第70页/共135页第七十一页，共135页。72作变换(binhun) ，即可导出可控标准型为：1PxxAbycxxux式中：1012110110100000100;000101nnAPAPbPbccP 其中(qzhng)：121120121nnnnnncbcAbcbcAbcAbcAbcb第71页/共135页第七十二页，共135页。73证明(zhngmng)：1）系统(xtng)完全可控，必有1nrankSrank bAbAbn所以向量(xingling) 是线性无关的。1,nb AbAb1PQS1QP取变换矩阵为式中

38、： ，有121nnQ qqqq121211211111nnnnqqqSbAbAb第72页/共135页第七十三页，共135页。74所以(suy)： nqb111(I)nnnnnAAqqqb23232132()nnnnAAAAqqqI b12121121()nnnnAAAAqqqI b 由于S和都是线性无关的，显然向量也是线性无关的。应用凯莱-哈密顿定理(dngl)得到12,nq qq111100()nnnnAAAA b qbq122121111()nnnnAAAAqbbb = qq2112222()nnnnnnnAAAqbbb = qq1111nnnnnnAAqbbb = qq第73页/共135

39、页第七十四页，共135页。75书写(shxi)成矩阵形式为：0112211nnnnnnnnAQ qqqqqqq101100nnQQAI所以(suy)： 11101100nnAQ AQPAPI第74页/共135页第七十五页，共135页。762）记变换(binhun)矩阵P的行向量为pi，因PQ = I，即10ijijp qij故： 11001nnnnnnPP p qbbqpqp q3）对于(duy)向量 ，由 计算得1011nccP121120121nnnnnncbcAbcbcAbcAbcAbcbc第75页/共135页第七十六页，共135页。77 3 能观测(gunc)规范形 对单输入(shr)

40、-单输出线性定常系统，如果其状态空间描述具有如下形式x cyu,bx Ax ooo01oon-1001A, c0011aaa轾-犏犏-犏=犏犏犏-臌LLOM 则称此状态空间描述为能观测(gunc)规范形。第76页/共135页第七十七页，共135页。78结论：对于完全可观测(gunc)的单输入单输出系统Abycxxux1110( )det()nnnssIAsss引入非奇异(qy)线性变换阵P ：12111121211111111nnnonnnnAAPQAAA ccccccc第77页/共135页第七十八页，共135页。79作变换(binhun) ，即可导出可控标准型为：1PxxAbycxxux式中

41、：其中(qzhng)：121120121nnnnnncbcAbcbcAbcAbcAbcb0011122111000100010;0010001nnnAPAPbPbccP第78页/共135页第七十九页，共135页。801 搜索线性无关(wgun)行或列的方案考虑n维多输入-多输出(shch)线性定常系统xAxu, yxBC其能控判别(pnbi)阵能观判别(pnbi)阵分别为：TnoCACACQ11BAABBQnc 多变量系统的能控规范形和能观规范形二 寻找线性 无关的列 寻找线性 无关的行 第79页/共135页第八十页，共135页。81(1) 列向搜索方案(fng n)搜索步骤： 第1步：对栅格

42、图的左第1列，若 非零，在乘积 格内划。转入下一格，若 和 线性无关，则在其格内划。如此等等，直到(zhdo)首次出现 和 线性相关，在其格内划，并停止第1列的搜索，得到一组线性无关的列向量为： ，长度为 。1b10bA1Ab1b11A b11111b ,Ab ,Ab 11111b ,Ab ,Ab1第80页/共135页第八十一页，共135页。82 第2步：向右转入第2列，若 和 线性无关，则在其格内划。 转入下一格，若 和 线性无关，则在其格内划。如此等等，直到首次(shu c)出现 和 线性相关，在其格内划，并停止第2列的搜索，得到一组线性无关的列向量为： ，长度为 。2b2Ab121111

43、1222b ,Ab ,Ab ;b ,Ab ,Ab 21222b ,Ab ,Ab211111b ,Ab ,Ab 111112b ,Ab ,Ab ;b 22A b第81页/共135页第八十二页，共135页。83 第l步：向右转入第l列，若 和 线性无关，则在其格内划。如此等等，直到首次出现 和 线性相关，在其格内划，并停止(tngzh)第l列的搜索，得到一组线性无关的列向量为： 长度为 。lb1b ,Ab ,Ablllll-11211111221-1b ,Ab ;b ,Ab ;b,Ab lllA bll121111122b ,Ab ;b ,Ab ;b ,Ab lll第82页/共135页第八十三页，

44、共135页。84 第l+1步：若 停止计算(j sun)。并且，上述l组列向量即为按列向搜索方案找到的 中n个线性无关列向量。12nlcQ第83页/共135页第八十四页，共135页。85(2) 行向搜索方案(fng n)搜索步骤： 第1步： ，即B中有r个列是线性无关量。对栅格图的第1行，若 非零，在格内划。由左至右找出r个线性无关(wgun)向量：并在对应格内划。1b10bAr21b,b,bprrankB第84页/共135页第八十五页，共135页。86 第2步：转入(zhun r)第2行，从 格到 由左至右进行搜索。若线性相关则在其格内划，否则划。1AbrAb 第l步：转入第l行，从 格到

45、由左至右进行(jnxng)搜索。若线性相关则在其格内划，否则划。1bAlrbAl第85页/共135页第八十六页，共135页。87 第l+1步：若至此找到n个线性无关列向量，则结束搜索。栅格图中划格对应的列向量组就是(jish)按行向搜索方案找到的 中n个线性无关列向量。cQ第86页/共135页第八十七页，共135页。882 旺纳姆能控规范(gufn)形考虑多输入-多输出(shch)线性定常系统xAxBu, yCx得到 中n个线性无关(wgun)的列向量（列向搜索）：cQ其中lllbA,b;bA,b;bA,b121211121n21l其中n21l第87页/共135页第八十八页，共135页。89进

46、一步可导出：基于(jy)此，定义相应的基组为：11112131, 11212111121, 11111bebbAbAebbAbAe111111110j1j1j111bAbA第88页/共135页第八十九页，共135页。90表示(biosh)：基于此，定义(dngy)相应的基组为：22222231,22222221221,22121bebbAbAebbAbAe2222222 10j11i1jij2ji2j2j22i2ebAbA第89页/共135页第九十页，共135页。91依此类推(y c li tu)，直到：基于此，定义(dngy)相应的基组为：lllllllllllllllllllllbebbA

47、bAebbAbAe231,22121,11 10j11i1jijjijjiebAbAlllllll 在各基组的基础上，得到非奇异(qy)变换阵：e,e,e;e,e,e211121111llllP第90页/共135页第九十一页，共135页。92 结论：对完全(wnqun)能控的多输入-多输出线性定常系统，引入非奇异变换 ，可导出其旺纳姆能控规范形为：Pxx cccxA xB u, yC x11121222cAAAAAAAlllll , 2 , 1i,1010A1, ii1i0)(iiiii第91页/共135页第九十二页，共135页。93ijij1iij()j i00A00j i 1,l -1cC

48、C P100100PBB) p(nc1l第92页/共135页第九十三页，共135页。94 结论：对完全能观的多输入-多输出线性定常系统，利用对偶性原理(yunl)，则可导出其旺纳姆能观规范形为：3 旺纳姆能观规范(gufn)形xCyuBxAxooommm2m1222111oAAAAAAAiiii1i2ii()i,1001A, i 1,m1 第93页/共135页第九十四页，共135页。95ii1ji jij00A00j 1,2,i 1无特殊形式oB100100Co第94页/共135页第九十五页，共135页。964 龙伯格能控规范(gufn)形考虑(kol)完全能控的多输入-多输出线性定常系统Cx

49、yBu,Axx得到 中n个线性无关(wgun)的列向量（行向搜索）：cQ其中bA,b;bA,b;bA,Ab,bPr1r2121111-1r21nr21rrankB第95页/共135页第九十六页，共135页。97TrTr1T1T1111 -r1eeee)(PP令：1TrTr1T1T11rrr111AeeAeeS取P的每个块阵中的末行构成(guchng)变换阵S:第96页/共135页第九十七页，共135页。98 结论：对完全能控的多输入-多输出线性定常系统(xtng)，引入非奇异变换 ，可导出其龙伯格能控规范形为：1xxSxCyu,BxAxccc111rcr1rrAAAAAiiii()0 1A,i

50、 1,r01 ijij00A,i j00 第97页/共135页第九十八页，共135页。99cCCS()无特殊形式1c(n p)001BB001S第98页/共135页第九十九页，共135页。100 结论：对不完全能控的系统，引入线性非奇异变换 ，即可导出系统按能控性结构(jigu)分解的规范表达式Pxx cccccccc12cccxxCCyu0BxxA0AAxx一 线性定常系统(xtng)按能控性的结构分解连续时间线性时不变系统的结构分解4.6P矩阵如何确定？第99页/共135页第一百页，共135页。101nn非奇异(qy)变换矩阵P-1的构造方法：1）从可控性判别阵 中任意的选取k个线性无关的

51、列向量，记为 。2）在n维实数空间中任意选取尽可能简单的(n-k)个列向量记为 ，使它们和 线性无关。 这样就可以构成(guchng)nn非奇异变换矩阵12,kq qq12,kknqqq1121kknPQqqqqqcQ12,kq qq第100页/共135页第一百零一页，共135页。1021200cccccccccccBAACCAxxxu,y = y =xxx展开(zhn ki)写有：12ccccccccccccxA xA xB uxA xyC xC x令 ，则可定义可控子系统动态(dngti)方程为：ccyyy12ccccccccxA xA xB uyC xccccccxA xyC x不可控子

52、系统动态(dngti)方程为：第101页/共135页第一百零二页，共135页。103cA1/scCy+cxcxcycxcxcyu+12AcBcA1/scC图4.6 可控性规范(gufn)分解方框图 第102页/共135页第一百零三页，共135页。1041）由于(yuy)11112112111121( )()()0000()()()00()ccccccrcccn rccrcrcn rcccn rcG sC sIABC sIABBAACCsIABsIAACCsIABsIAsIAAsIACCsIA 11()()0rcccccrccsIABCCCsIAB系统结构可控性分解(fnji)特点第103页/共

53、135页第一百零四页，共135页。1051111000nnncccccncccccrank BABABrank BABABBA BABrankrank BA BABr因而k维系统 是可控的，且和系统具有相同(xin tn)的传递函数矩阵。如果从传递特性的角度分析系统 时，可以等价地用分析子系统 来代替，由于后者维数降低了很多，可能会使分析变得简单。(,)cccA B C, ,A B C, ,A B C(,)cccA B C第104页/共135页第一百零五页，共135页。1062）输入u只能通过可控子系统传递到输出，而与不可控子系统无关，故u至y之间的传递函数矩阵描述(mio sh)不能反映不可

54、控部分的特性。3）由于(yuy)在选取非奇异变换矩阵时，列向量 和 的选取不具有唯一性，虽然可控性规范分解的形式不变，但各系数矩阵因P-1的差异而不同，即可控性规范分解结果不唯一。111kknPqqqq12,kq qq12,kknqqq第105页/共135页第一百零六页，共135页。1074）系统(xtng)的特征多项式可分解为：12det()det()det0det() det()ccccsIAAsIAsIAsIAsIAsIA表明(biomng)不完全可控系统的特征值由两部分组成：一部分为 的特征值，称为系统的可控振型；另一部分为 的特征值，称为系统的不可控振型。外部输入u的引入只能改变可控

55、振型的位置，而不能改变不可控振型的位置。cAcA第106页/共135页第一百零七页，共135页。108例： 已知系统(xtng)（A,b,c），其中1210010011 11431A bc，试将系统(xtng)作可控性规范分解。解：1）可控性判别(pnbi)矩阵2014000138cQbAbA bcrankQ23 ；故系统不完全可控。 第107页/共135页第一百零八页，共135页。1092）从 中选出两个(lin )线性无关的列向量 和 ，附加任意列向量 ，构成非奇异变换矩阵P-1：001T103T010T0311000101P301100010P 则：11042114201210010AP

56、APPP ，b =bc = ccQ第108页/共135页第一百零九页，共135页。110即可得到(d do)系统按可控性分解的规范表达式为：042114201210010cccccc xxxu,y =xxx0421142012ccccc xxxuyxcccc xxyx故可控子系统动态(dngti)方程为： 不可控子系统动态(dngti)方程为：第109页/共135页第一百一十页，共135页。111例4.24：给定(i dn)线性定常系统(A,B,C)，其中101100110111010111cBA，试对系统作可控性规范(gufn)分解。解：已知 ，由于(yuy) ，故只需判断 是否为行满秩。3

57、,2np2prankBpn pQBAB01121010230112rank BABrankn系统不完全可控。 第110页/共135页第一百一十一页，共135页。112从可控性判别阵中取线性无关的向量q1, q2，再任取q3，构成非奇异(qy)线性变换矩阵： 1011100010P010001101P于是(ysh)：1010111011100001010100121101111010000APAP第111页/共135页第一百一十二页，共135页。113010011000110011010100BPB1011101 100021010Pcc100100212101cccccxxxuyx ，0ccc

58、xyx，可控子系统的动态(dngti)方程为：不可控子系统的动态(dngti)方程为：第112页/共135页第一百一十三页，共135页。114 结论：对不完全能观的系统，引入线性非奇异变换(binhun) ，即可导出系统按能观性结构分解的规范表达式Pxx 二 线性定常系统(xtng)按能观性的结构分解P矩阵如何确定？oooooo0o21oooxx0CyuBBxxAA0Axx第113页/共135页第一百一十四页，共135页。115 变换矩阵的构成：从 中任选m个线性无关的行向量(xingling)： ，又在n维向量(xingling)空间中任选n-m个与之线性无关的行向量(xingling)：

59、，组成变换矩阵m21h,h,hn2m1mh,h,hn1mm1hhhhPoQ第114页/共135页第一百一十五页，共135页。116展开(zhn ki)写有：则可观测(gunc)子系统动态方程为：不可观测子系统动态(dngti)方程为：210oooooooooooBACBAA0 xxxu,y = y =xxx21oooooooooooABAABCxxuxxxuyxoooooooABCxxuyx21ooooooAAB 0 xxxuy第115页/共135页第一百一十六页，共135页。117图4.7 可观测(gunc)性规范分解方块图第116页/共135页第一百一十七页，共135页。118例： 试将如

60、下系统按可观测(gunc)性进行分解。已知系统(A,B,C)，其中1210010011 11431A bc，解：n=3，系统(xtng)的可观测性判别矩阵为：2111232474ocQcAcArank23oQ 故系统不完全(wnqun)可观。第117页/共135页第一百一十八页，共135页。119从中选取(xunq)两线性无关行向量 和 ，再选取(xunq)一个与之线性无关的行向量 ，构成非奇异线性变换矩阵：11 1232001111232001P则：1311210001P1010230 ;532APAP 12 ;1 b = Pb1100c = cP 第118页/共135页第一百一十九页，共1