多元函数微分学习题总结PPT学习教案

1、会计学1多元函数微分学习题总结多元函数微分学习题总结2第七章 多元函数微分学 习题课一、基本内容1. 多元函数的概念.),(),(Dyxyxfz2. 多元函数的极限)(定义一元函数在某点的极限存在的充要和一元函数极限的差异：必需是点P在定义域内以任何方式和途径趋而多元函数于P0时,多元函数的基本概念 条件是左右极限都存在且相等;都有极限,且相等.)(Pf第1页/共24页3第七章 多元函数微分学 习题课3. 多元函数的连续性),(),(lim00),(),(00yxfyxfyxyx. 0),(),(lim0000)0, 0(),(yxfyyxxfyx或4. 多元函数的偏导数xyxfyxxfyxf

2、xx),(),(lim),( 0000000yyxfyyxfyxfyy),(),(lim),( 0000000高阶偏导数： , , , yxxyyyxxffff闭区域上连续函数的性质最值定理 介值定理第2页/共24页4第七章 多元函数微分学 习题课5. 全微分),(),(yxfyyxxfz)(oyBxA0dyfdxfdzyx可微的必要条件可微必连续，可微必可导。可微的充分条件偏导连续必可微。偏导连续 可微 连续有偏导第3页/共24页5第七章 多元函数微分学 习题课6. 多元复合函数的求导法则（三种情况）(1) 抽象函数的情形(2) 高阶复合函数求导特别注意7. 隐函数的求导法则(1) 一个方程

3、情形(二元方程、三元方程)(2) 方程组情形隐函数的个数=方程的个数隐函数的自变量个数=总自变量个数 方程的个数第4页/共24页6第七章 多元函数微分学 习题课8. 多元函数微分学的几何应用(1) 空间曲线的切线与法平面(三种情形)(2) 空间曲面的切平面与法线(三种情形)9. 方向导数与梯度00000(P)(P )lim.PPPPPP Plfffl与 同向方向导数梯度., adrg00PyxPfff.|)(00llgradflfPPcos)( cos)( 00PfPfyx第5页/共24页7第七章 多元函数微分学 习题课方向导数与梯度的关系函数沿梯度方向的方向导数最大(即增长最快)，且方向导数

4、的最大值为梯度的模。10. 多元函数的极值与最值(1) 极值的必要条件极值的充分条件(2) 求条件极值的方法代入法，Lagrange乘数法(3) 求最值的方法第6页/共24页8二、教学要求与可微之间的关系.掌握复合函数与隐函数偏导数的求法.二元函数极限、2.熟练掌握偏导数的定义与求法,特别要会求函数的全微分(尤其是判定分段函数分段点的可微性).第七章 多元函数微分学 习题课连续、1. 掌握存在偏导第7页/共24页95.了解方向导数与梯度的概念及其计会用拉格朗日乘数法求多元函数的 3.熟练掌握空间曲线的切线与法平面曲面的切平面与法线方程的求法.方程、4.熟练掌握二元函数的极值理论及其求法,极值以

5、及有关应用题.算方法.第七章 多元函数微分学 习题课第8页/共24页102222 zyxyxz与平面与平面求旋转抛物面求旋转抛物面例解,),(22上任一点上任一点为抛物面为抛物面设设yxzzyxP 分析),(zyxP本题变为求一点本题变为求一点拉格朗日乘数法.之间的最短距离之间的最短距离,022dzyxP的距离为的距离为到平面到平面则则 .2261 zyxdzyx,使得使得满足满足最小最小即即)22(61(22 zyxd2261 zyxd且使且使022 zyx第七章 多元函数微分学 习题课三、典型例题第9页/共24页11),()22(61),(222yxzzyxzyxL 令令解此方程组得解此方

6、程组得得.81,41,41 zyx2222 zyxyxz与平面与平面求旋转抛物面求旋转抛物面之间的最短距离之间的最短距离)1(, 02)22(31 xzyxLx )2(, 02)22(31 yzyxLy 1(22)( 2)0,(3)3zLxyz )4(,22yxz 最小最小即即)22(61(22 zyxd第七章 多元函数微分学 习题课第10页/共24页12.647241414161min d),81,41,41(即得唯一驻点根据题意距离的最小值一定存在,且有故必在取得最小值.唯一驻点,)81,41,41(2222 zyxyxz与平面与平面求旋转抛物面求旋转抛物面之间的最短距离之间的最短距离22

7、61 zyxd第七章 多元函数微分学 习题课第11页/共24页13,cosvexu 设设,sinveyu uvz 试求 和 .xz yz 解题思路xvvzxuuzxz xvvevxuexvvevxueuuuucossin0sincos1veyvexuusincos 和和分别将分别将xvuxuv xvxu ,解出解出再代入上式即得.求导得求导得两边对两边对x第七章 多元函数微分学 习题课例第12页/共24页14上海交大考试题(97级)(xyxfz 曲面曲面解),(000zyxM 2xyxyfxxyfzx xyfxyxyfxxyfxzy1 xyf则 1),(),()(00000000 xyfxyf

8、xyxyfn设曲面上的任意点为且在此点的法向量上的任意一点处的切平面都过原点.第七章 多元函数微分学 习题课Myxzzn) 1,(第13页/共24页15则切平面方程为:)()()()(0000000000yyxyfxxxyfxyxyf 0)(0 zz0)()()(00000000 zyxyfxxyfxyxyf即证. 1),(),()(00000000 xyfxyfxyxyfn)(xyxfz 曲面曲面上的任意一点处的切平面都过原点.000第七章 多元函数微分学 习题课第14页/共24页16解具有什么关系时具有什么关系时问问的方向导数的方向导数的向径的向径cbar,0例),(0000zyxr ,|

9、cos00rx 处的方向导数为处的方向导数为在点在点 M coscoscos0MMMMzuyuxuru ,|2020200zyxr .|cos00rz ,|cos00ry |2|2|2002000200020rzczrybyrxax 处沿点处沿点在点在点求求),(000222222zyxMczbyaxu 此方向导数等于梯度的模?)(|22202202200czbyaxr 第七章 多元函数微分学 习题课第15页/共24页17)(|22202202200czbyaxr 处的梯度为处的梯度为在点在点 MkzujyuixuuMMMM gradkczjbyiax202020222 具有什么关系时具有什么

10、关系时问问的方向导数的方向导数的向径的向径cbar,0处沿点处沿点在点在点求求),(000222222zyxMczbyaxu 此方向导数等于梯度的模? Mru04204204202gradczbyaxuM 第七章 多元函数微分学 习题课第16页/共24页18,时时当当cba 20202022zyxa ,2)(2202020220202020202020zyxazyxzyxaruM MMurugrad0 .,模模此方向导数等于梯度的此方向导数等于梯度的相等时相等时故当故当cba),(|22202202200czbyaxr Mru04204204202gradczbyaxuM Mugrad2020

11、200|zyxr 第七章 多元函数微分学 习题课第17页/共24页19作业自测题七 (61页) 4. 5. 6. 7. 8. 11. 12.第七章 多元函数微分学 习题课第18页/共24页20例解，具有二阶连续偏导数具有二阶连续偏导数设设)(),(3fxyxyfxz yz2214fxfx 22yz,222123115fxfxfx 2x .,222yxzyzyz 求求3xxf1( )12xf 4xxf11( )112xf xf21( )122xf 第七章 多元函数微分学 习题课三、典型例题第19页/共24页21 yxz2134fx )(2214fxfxx .2422114213f yf yxfx

12、fx 2214fxfxyz 2x 4x 22xf),(3xyxyfxz xyz 2yf11 )(212xyf yf21 )(222xyf 第七章 多元函数微分学 习题课第20页/共24页22 . 0),(, 0),(),()(zxhzyxgyxfuxu由方程组由方程组设函数设函数解例法一方程组各方程两边微分, 得yfxfuyxddd 0ddd zgygxgzyx0dd zhxhzx.ddxhhzzx )dd(1dzgxggyzxy 分析变量4个,方程3个,)(),(),(xzzxyyxuu 则则, 0, 0, zhyg且且所确定所确定.ddxu求求独立自变量1个.由题意选x为独立自变量.第七章 多元函数微分学 习题课第21页/共24页23 xudd得得由由)3(得得代入代入)2(得得代入代入)1(法二 . 0),(, 0),(),(zxhzyxgyxfu方程组各方程两边对x求导, 得 xgxh,ddzxhhxz ,ddyxzyxzgghghgxy .ddzyxzyyxyxhghgfggffxu xfxyfydd )1(xygydd xzgzdd 0 )2(xzhzdd 0 )3(第七章 多元