复变函数与积分变换第二章PPT学习教案

1、会计学1复变函数与积分变换第二章复变函数与积分变换第二章第1页/共82页一 复变函数的导数二 解析函数概念三 柯西-黎曼方程 第2页/共82页一、复变函数的导数1. 复变函数的导数zwz 0limzzfzzfz )()(lim000则称 在 处可导，)(zf0z设函数 在 点的某邻域内有定义，)(zfw 0z定义zz 0是0z, )()(00zfzzfw 的邻域内的任意一点，如果存在有限的极限值 A，且称 A为 在 处的导数，)(zf0z. )(0zf 记作 如果函数 在区域 D 内的每一点都可导，)(zf在 D 内可导，此时即得 的导(函)数)(zf. )(zf )(zf则称 P22定义 2

2、.1 第3页/共82页.ddzAw 一、复变函数的导数2. 复变函数的微分则称 在 处可微，)(zfz设函数 在 点的某邻域内有定义，)(zfw zzz z定义是的邻域内的任意一点， 若 在区域 D 内处处可微，则称 在 D 内可微。)(zf)(zf如果存在 A，使得, ) | ()()(zozAzfzzfw 记作zA .dzAw 为微分，特别地，有.dzz (考虑函数 即可)( )wf zz 导数反映的是“变化率”；而微分更能体现“逼近”的思想。 补 第4页/共82页3. 可导与可微以及连续之间的关系(1) 可导 可微(2) 可导 连续 由此可见，上述结论与一元实函数是一样的。 对二元实函数

3、：偏导数存在 可微 偏导数连续。一、复变函数的导数第5页/共82页例1 .)(2的导数的导数求求zzf 0()( ) limzf zzf zzCz 解zzzzz 220)(lim)2(lim0zzz .2z zz2)(2 2( ).f zzz 在在 平平面面上上处处处处可可导导第6页/共82页4. 求导法则;)()( )()(zgzfzgzf ; )()()()( )()(zgzfzgzfzgzf ,)()()()()()()(2zgzgzfzgzfzgzf . )0)( zg(1) 四则运算法则P25 一、复变函数的导数 由于复变函数中导数的定义与一元实变函数中导数的定义在形式上完全一致,

4、并且复变函数中的极限运算法则也和实变函数中一样, 因而实变函数中的求导法则都可以不加更改地推广到复变函数中来, 且证明方法也是相同的.第7页/共82页4. 求导法则(1) 四则运算法则. )()()(zgzgfzgf .)(1)(1)()(wfzfwwz (2) 复合函数的求导法则(3) 反函数的求导法则其中， 与 是两个互为反函数的单值)(wz )(zfw .0)( zf函数，且一、复变函数的导数第8页/共82页二、解析函数概念则称 在 点解析；)(zf0z(1) 如果函数 在 点以及 点的邻域内处处可导，)(zf0z0z定义(2) 如果函数 在区域 D 内的每一点解析，)(zf则称)(zf

5、或者称 是 D 内的解析函数。在区域 D 内解析，)(zf P25定义 2.2 (解析函数的由来)DGz0:, ( ).()()DGf zA GGf zDf zA D 如如果果存存在在区区域域闭闭区区域域且且则则称称在在闭闭区区域域上上解解析析 记记作作(3)第9页/共82页(2) 区域可导 区域解析。关系 (1) 点可导 点解析；函数解析是与区域密切相伴的,要比可导的要求要高得多.说明(3) 闭区域可导 闭区域解析。奇点000( ) , ( )( ).f zzzzfzzf如如果果函函数数在在但但在在 的的任任一一邻邻域域, ,那那末末称称为为不不解解析析都都有有的的析析点点的的奇奇点点解解通

6、常泛指的解析函数是容许有奇点的。1wz 以z=0为奇点。第10页/共82页u注解1、“可微”有时也可以称为“单演”，而“解析”有时也称为“单值解析”、“全纯”、“正则”等；u注解2、解析性与可导性的关系：在一个点的可导性为一个局部概念，而解析性是一个整体概念；第11页/共82页u注解3、函数在一个点解析，是指在这个点的某个邻域内可导，因此在这个点可导，反之，在一个点的可导不能得到在这个点解析；u注解4、闭区域上的解析函数是指在包含这个区域的一个更大的区域上解析；第12页/共82页性质(1) 在区域 D 内解析的两个函数 与 的和、差、积、商(除去分母为零的点)在 D 内解析。)(zf)(zg(

7、2) 如果函数 在 z 平面上的区域 D 内解析，)(zg 则复合函数 在 D 内解析。 )( gfw 函数 在 平面上的区域 G 内解析， )( fw 且对 D 内的每一点 z，函数 的值都属于 G，)(zg二、解析函数概念第13页/共82页极限不存在(见1.3 )讨论函数 的解析性。2|)(zzfw 例zwz 0lim当 时，0 z即,0lim0 zwz;0)0( f当 时，0 zzwz 0lim不存在。因此， 仅在 点可导，处处不解析。0 z2|)(zzfw zzzzzzzz )( )(lim0解,|)(2zzzzfw )(22yx 由有. )(lim0zzzzzz 第14页/共82页讨

8、论函数 的解析性。yixzfw2)( 例yixyixyyixxyx )2()(2)(lim00解zwz 0lim,2lim00yixyixyx 当 时，0,0 yx,2lim0 zwz当 时，0,0 xy,1lim0 zwz因此， 处处不可导，处处不解析。yixzfw2)( 对函数 如何判别其解析性？问题, ),(),()(yxviyxuzf 第15页/共82页寻求研究解析性的更好的方法任务！用定义讨论函数的解析性绝不是一种好办法！第16页/共82页三、柯西-黎曼方程1. 点可导的充要条件且满足柯西黎曼(Cauchy-Riemann )方程： 和 在点 处可微，),(yxu),(yxv),(y

9、x(简称 方程)RC ,yvxu .xvyu 函数 在点 处可导),(),()(yxviyxuzfw 定理yixz 的充要条件是： P24定理 2.2 第17页/共82页.)(xvixuzf 求导公式三、柯西-黎曼方程1. 点可导的充要条件)(zf若在 处可导，yixz 则uuixyvuiyy.vviyx(关于C -R条件)第18页/共82页 ( )( , )( , ) , ( ) : (1) , , ( , , .)2( , ), ( , )( , ) xyxyf zu x yiv x yDf zDzxyiu uvvx yu x yuvuvxyyv x yyxx 设设函函数数定定义义在在区区

10、域域内内 则则在在 内内一一点点可可( (微微) )导导的的是是在在点点连连续续 ( ) ( ) 在在点点满满足足C-RC-R条条件件充充分分条条件件第19页/共82页三、柯西-黎曼方程2. 区域解析的充要条件和 在区域 D 内可微， 且),(yxu),(yxv函数 在区域 D 内解析的),(),()(yxviyxuzfw 定理充要条件是：满足 C R 方程。推论在区域 D 内存在且连续，并满足 C R 方程，),(),()(yxviyxuzfw 在区域 D 内解析。和 的四个偏导数若函数),(yxu),(yxvyxyxvvuu ,则函数 P26定理 2.4 第20页/共82页可知不满足 C

11、R 方程，解 由zw ,yix 有,yvxu ,1 yv,0 xv,1 xu,0 yu所以 在复平面内处处不可导， 处处不解析。zw 讨论函数 的可导性与解析性。例zw 第21页/共82页, )()(3223yyxiyxx ,3223yyxvyxxu 有,322yxyv ,2yxxv ,322yxxu ,2yxyu ,0 yx由 C R 方程， 所以 仅在 点可导， 处处不解析。zw 2z)0,0(解 由zw 2zzz2| 讨论函数 的可导性与解析性。例2zzw 第22页/共82页,2yyv ,0 xv,2xxu ,0 yu讨论函数 的可导性与解析性。例22)(yixzf ,yx 由 C R

12、方程， 解 由,22yvxu 有处处不解析。所以 仅在直线 上可导， yx 22)(yixzf xyyx 第23页/共82页,2yAxux ,2ByxAuy ,2yxDvy ,2yDxCvx 解 由有,2222yxyDxCvByxyAxu 由 C R 方程可得,22yxDyAx , )2(2yDxCByxA 求解得 .2,1,1,2 DCBA第24页/共82页即得cyxf ),(常数)。(1) 由 解析，证viuzf )(,yxvu ,xyvu ,)(yxvu ,)(xyvu 由 解析，viuzf )(,0 yxyxvvuuvu,为常数，第25页/共82页证0),( yxf(常数)；(2) 由

13、 解析，viuzf )(,yxvu ,xyvu ,0 vu由 在 D 内为常数，| )(|zfavu 22(常数)，两边分别对 x , y 求偏导得： 若,0 uvvu 若,0 uvvu方程组(A)只有零解，即得cyxf ),(常数)。,0 yxyxvvuuvu,为常数，,0 xxvvuu,0 yyvvuu ,0 yxuvuu,0 yxuuuv(A) 第26页/共82页 理解复变函数导数与微分以及解析函数的概念; 掌握连续、可导、解析之间的关系以及求导方法；掌握函数解析的充要条件并能灵活运用. 注意: 复变函数的导数定义与一元实变函数的导数定义在形式上完全一样, 它们的一些求导公式与求导法则也

14、一样, 然而复变函数极限存在要求与z 趋于零的方式无关, 这表明它在一点可导的条件比实变函数严格得多.第27页/共82页思考题 ? )( 00解析有无区别解析有无区别可导与在可导与在在点在点复变函数复变函数zzzf1、? ),(),()( 解解析析时时应应注注意意什什么么用用柯柯西西黎黎曼曼条条件件判判断断yxivyxuzf 2、第28页/共82页2.2 解析函数与调和函数一、调和函数二、共轭调和函数三、构造解析函数第29页/共82页一、调和函数,02222 yx 则称 为区域 D 内的调和函数。),(yx 若二元实函数 在区域 D 内有连续二阶偏导数，),(yx 定义且满足拉普拉斯 ( La

15、place ) 方程： P27定义 2.3 P28定理 2.5 第30页/共82页二、共轭调和函数设函数 及 均为区域 D 内的调和函数，),(yxu),(yxv定义函数 在区域 D 内解析的充要),(),()(yxviyxuzf 定理条件是：在区域 D 内，v 是 u 的共轭调和函数。则称 v 是 u 的共轭调和函数。注意 v 是 u 的共轭调和函数 u 是 v 的共轭调和函数。 且满足 C R 方程：,yvxu ,xvyu P28定义 2.4 第31页/共82页三、构造解析函数问题已知实部 u，求虚部 v (或者已知虚部 v，求实部 u )，使 解析，且满足指定的条件。),(),()(yx

16、viyxuzf 注意 必须首先检验 u 或 v 是否为调和函数。方法 偏积分法 全微分法构造解析函数 的依据：),(),()(yxviyxuzf 依据 (1) u 和 v 本身必须都是调和函数； (2) u 和 v 之间必须满足 C - R 方程。第32页/共82页方法 偏积分法三、构造解析函数( 不妨仅考虑已知实部 u 的情形 )(1) 由 u 及 C R 方程(2) 将 (A) 式的两边对变量 y 进行(偏)积分得： yxuyyvyxvdd),(其中， 已知，而 待定。),(yxv)(x (3) 将 (C ) 式代入 (B ) 式，求解即可得到函数. )(x 得到待定函数 v的两个偏导数：

17、,xuyv .yuxv (A)(B )cyxv ),(C ), )(x 第33页/共82页C方法三、构造解析函数 全微分法 ( 不妨仅考虑已知实部 u 的情形 )(1) 由 u 及 C R 方程得到待定函数 v 的全微分：(2) 利用第二类曲线积分(与路径无关) 得到原函数：.dddddyxuxyuyyvxxvv cyyuxyuyxvyxyx ),(),(00dd),(),(yx),(00yxC0C1C2.ddcyyuxyuC 其中， 或0CC .21CC 第34页/共82页故 是调和函数。),(yxu,02222 yuxu,222 xu,222 yu由解 (1) 验证 为调和函数),(yxu

18、验证 为调和函数，并求以),(yxu例, )(zf的解析函数使得为实部xyyxu 22.1)(iif 第35页/共82页由 ,2)(2xyyuxyxv ,)(xx ,21)(2cxx .21212),(22cxyxyyxv , )(212d)2(2xyxyyyxv ,2yvyxxu 由解 (2) 求虚部 。 ),(yxv方法一： 偏积分法验证 为调和函数，并求以),(yxu例, )(zf的解析函数使得为实部xyyxu 22.1)(iif 第36页/共82页,2xyyuxv ,2yxxuyv 由方法二： 全微分法(利用第二类曲线积分),d)2(d)2(dddyyxxxyyvxvvyx ),()0

19、 ,0(d)2(d)2(),(yxcyyxxxyyxv yxcyyxxx00d)2(d)(),(yxC1C2.2121222cxyxy 验证 为调和函数，并求以),(yxu例, )(zf的解析函数使得为实部xyyxu 22.1)(iif 解 (2) 求虚部 。 ),(yxv第37页/共82页,2xyyuxv ,2yxxuyv 由方法三： 全微分法(利用“反微分”法),d)2(d)2(dddyyxxxyyvxvvyx .21212),(22cxyxyyxv , )2/d(d2)2/d(d222yyxxxy , )2/2/2d(22yxxy 验证 为调和函数，并求以),(yxu例, )(zf的解析

20、函数使得为实部xyyxu 22.1)(iif 解 (2) 求虚部 。 ),(yxv第38页/共82页解 (3) 求确定常数 c根据条件,1)(iif 将 代入得1,0 yx,21 c. )21212()()(2222cxyxyixyyxzf ,1)21(1ici 即得. )2121212()()(2222 xyxyixyyxzf221122.zzii验证 为调和函数，并求以),(yxu例, )(zf的解析函数使得为实部xyyxu 22.1)(iif 第39页/共82页2.3.1 指数函数2.3.2 对数函数2.3.3 幂函数2.3.4 三角函数与反三角函数2.3.5 双曲函数与反双曲函数第40

21、页/共82页 复变函数中的初等函数是实数域中初等函数的推广，它们两者是一样的。2.3 初等函数的定义方式尽可能保持一致。 本节主要从下面几个方面来讨论复变函数中的初等函数：定义、定义域、运算法则、连续性、解析性、单值性等等。特别是当自变量取实值时，特别要注意与实初等函数的区别。第41页/共82页一、指数函数,yixz )sin(coseyiywx 对于复数称定义为指数函数 ,记为 或zwexp .ezw 注(1) 指数函数是初等函数中最重要的函数，其余的初等函数都通过指数函数来定义。(2) 借助欧拉公式，指数函数可以这样来记忆：. )sin(coseeeeeyiywxyixyixz P31定义

22、 2.5 , . (cossin )zxeeyiy (3)(3)没没有有幂幂的的意意义义 只只是是一一个个符符号号 代代表表第42页/共82页一、指数函数性质(1) 是单值函数。ze事实上，对于给定的复数,yixz 定义中的 均为单值函数。yyxsin,cos,e事实上，在无穷远点有(2) 除无穷远点外，处处有定义。ze当 时， xy,0;e z当 时， xy,0.0ez(3).0e z.0sincos,0e yiyx因为第43页/共82页性质(6) 是以 为周期的周期函数。zeik2一、指数函数第44页/共82页指数函数 的图形ze第45页/共82页二、对数函数 对数函数定义为指数函数的反函

23、数。.Ln zw 记作zwLn zArgiz |ln即zw e)(zfw 满足方程的函数称为对数函数，定义计算 令,|eeArg izirzz ,viuw 由,ezw 有,eee iviur , |lnlnzru .Arg zv 由 z 的模得到 w 的实部 ；由 z 的辐角得到 w 的虚部 。,2arg|lnikziz . ), 2, 1, 0( k P32定义 2.6 第46页/共82页二、对数函数 显然对数函数为多值函数。主值(枝)zwLn 称为的主值(枝)，zizwarg|ln .ln zw 记为故有,2lnLnikzz . ), 2, 1, 0( k分支(枝)特别地，当 时, 0 x

24、z的主值 就是实对数函数。zLnxzlnln 对于任意一个固定的 k，称 为 的ikz2ln zLn一个分支(枝)。,2arg|lnLnikzizzw . ), 2, 1, 0( k第47页/共82页二、对数函数性质在原点无定义，故它的定义域为zwLn .0 z(1)(2)的各分支在除去原点及负实轴的复平面内连续；zLnzln在除去原点及负实轴的平面内连续。特别地，注意到，函数arg z在原点及负实轴上不连续。注意到，函数在原点无定义；arg z0.we或者指数函数第48页/共82页1dlnd()wwzze由反函数求导法则可得11.wez进一步有2dLnd(ln)ddzzkizz1dln.dz

25、zz(在集合意义下)二、对数函数性质(3)的各分支在除去原点及负实轴的复平面内解析；zLnzln在除去原点及负实轴的平面内解析。特别地，第49页/共82页函函数数单单值值与与多多值值xlnzLnzln单值多值单值定定义义域域所有正实数所有非零复数所有非零复数注注解解一个单值时，0 xzxln为zln分支为第50页/共82页对数函数Lnz的图形第51页/共82页主值 .2)(lnii 解ikiiii2)(arg|ln)(Ln (1)iki221ln)( ,22iki ikiiii2)1(arg|1 |ln)1(Ln (2),242ln)(iki 主值 .42ln)1(ln)(ii 第52页/共8

26、2页;)12(ik 解iki2)1(arg| 1|ln)1(Ln 主值 .)1(lni iki21ln 求对数 以及它的主值。)1(Ln 例 可见，在复数域内，负实数是可以求对数的。 第53页/共82页三、幂函数称为复变量 z 的幂函数。 还规定：当 a 为正实数，且 时， 0 z.0 a az( 为复常数， )a azw zzLnea aa a 定义 函数 规定为0 za a注意上面利用指数函数以一种“规定”的方式定义了幂函数，但不要将这种“规定”方式反过来作用于指数函数，.eLneLneeezzz ?即 P33定义 2.7 第54页/共82页讨论此时， 处处解析，且.)(1 a aa aa

27、 azza az当 为正整数时, a a.lnLneeznznnz (单值)(1)此时， 除原点外处处解析，且.)(1 a aa aa azza az当 为负整数时, a a.1nnzz (2)(单值)当 时, 0 a a.10 z(3)三、幂函数第55页/共82页讨论其中，m 与 n 为互质的整数，且 .1 n(5) 当 为无理数或复数( )时，a a0Im a a当 为有理数时, a a(4).nmnmzz ( 值)n此时， 除原点与负实轴外处处解析，a az一般为无穷多值。此时， 除原点与负实轴外处处解析。a az.)(1 a aa aa azz且三、幂函数第56页/共82页13z的图形

28、第57页/共82页解iiiiLne )(22eikii . ), 2, 1, 0( k,)(22ek 可见， 是正实数，ii它的主值是2.e 例求 的值。ii. ), 2, 1, 0( k, )22(sin)22(coskik ik22e )20(02e ki 求 的值。21例1Ln22e1 解 可见，不要想当然地认为11 .a a第58页/共82页四、三角函数启示 由欧拉公式,sincose ii 有,sincose ii , )(21cosee ii . )(21sinee iii 余弦函数; )(21coseeziziz 正弦函数. )(21sineeziziiz 定义 P34定义 2.

29、8 其它三角函数第59页/共82页四、三角函数性质 周期性、可导性、奇偶性、零点等与实函数一样； 各种三角公式以及求导公式可以照搬； 有界性(即 )不成立。1|cos| ,1|cos| zz(略) 第60页/共82页sinz 的图形第61页/共82页cosz 的图形第62页/共82页tanz 的图形第63页/共82页iiiiii2)21sin()21()21(ee .1cos21sin22222eeee i.cosi例 求2coseei ii ii 根据定义，有解.2ee1 . )21sin(i 例 求根据定义，有解iii2)1sin1(cos)1sin1(cos22ee 第64页/共82页五

30、、反三角函数记为.cosArczw 如果定义,coszw 则称 w 为复变量 z 的反余弦函数，,12e zzwi,012)(ee2 wiwiz ,1Ln)(2 zzwi.1LncosArc)(2 zzizw计算, )(21coseewiwiwz 由 同理可得.Ln2tanArcziziiz ;1LnsinArc)(2zz iiz 第65页/共82页反三角函数Arctanz的图形第66页/共82页六、双曲函数与反双曲函数;chshthzzz 双曲正切函数.shchcothzzz 双曲余切函数; )(21sheezzz 双曲正弦函数定义双曲余弦函数; )(21cheezzz P36定义 2.9

31、第67页/共82页双曲函数sinhz（或shz）第68页/共82页六、双曲函数与反双曲函数反双曲正切函数;11Ln21Arthzzz 反双曲余弦函数;1LnArch)(2 zzz反双曲正弦函数定义;1LnArsh)(2 zzz反双曲余切函数.11Ln21Arcoth zzzP36 第69页/共82页 复变初等函数是一元实变初等函数在复数范围内的自然推广, 它既保持了后者的某些基本性质, 又有一些与后者不同的特性. 如: 1. 指数函数具有周期性) 2 (i周期为周期为2. 三角正弦与余弦不再具有有界性3. 双曲正弦与余弦都是周期函数第70页/共82页思考题 实变三角函数与复变三角函数在性质上有哪些异同?第71页/共82页本章总结1、复变函数导数与解析函数的概念2、函数可导与解析的判别方法：1）利用定义； 2）利用充（分）要条件3、解析函数与调和函数的关系4、复变初等函数第72页/共82页复变函数连续初等解析函数判别方法可导解析指数函数对数函数三角函数双曲函数幂 函 数解析函数与调和函数的关系第73页/共82页第二章 完第74页/共82页附：知识广角 解析函数的由来 解析函数的名称是康道尔西(Condorcet)首先使用的。他的研究报告没有公开出版，但有很多人知道他的工作。