5.8 初等矩阵ppt课件

1、*18 初等矩阵初等矩阵初等矩阵的定义初等矩阵的定义: :矩阵的初等行变换实质上在矩阵的左边乘上一个初等矩阵矩阵的初等行变换实质上在矩阵的左边乘上一个初等矩阵初等列变换则是在右边乘上一个初等矩阵初等列变换则是在右边乘上一个初等矩阵等价标准形等价标准形()()等价标准形和逆矩阵的求法等价标准形和逆矩阵的求法*2几个简单结果几个简单结果*3初等矩阵的定义与类型初等矩阵的定义与类型对单位矩阵施行一次初等变换后得到的矩阵称为初等矩阵对单位矩阵施行一次初等变换后得到的矩阵称为初等矩阵. .(1) 把单位矩阵的第把单位矩阵的第j行的行的k倍加到第倍加到第i行，得到如下的初等矩阵：行，得到如下的初等矩阵：*

2、4初等矩阵的定义与类型初等矩阵的定义与类型(2) 交换单位矩阵的交换单位矩阵的 i 行和行和 j 行行, 得到如下的初等矩阵得到如下的初等矩阵:*5初等矩阵的定义与类型初等矩阵的定义与类型(3) 用一个非零的数用一个非零的数 k 乘单位矩阵的第乘单位矩阵的第 i 行，得初等矩阵：行，得初等矩阵：*6初等矩阵的定义与类型初等矩阵的定义与类型三种初等矩阵都是可逆三种初等矩阵都是可逆(非奇异非奇异, 非退化非退化)的的, 且且单位矩阵通过两次相应的初等变换后还是单位矩阵单位矩阵通过两次相应的初等变换后还是单位矩阵第一式的验证：第一式的验证：*7初等变换的实质，等价及标准形初等变换的实质，等价及标准形

3、命题命题 8.1. 对矩阵对矩阵 A 施行一次初等行变换相当于在施行一次初等行变换相当于在 A 的左边乘一个相应的初等矩的左边乘一个相应的初等矩阵；阵； 对矩阵对矩阵 A 施行一次初等列变换相当于在施行一次初等列变换相当于在 A 的右边乘一个相应的初等矩阵的右边乘一个相应的初等矩阵.则称矩阵则称矩阵 A 与与 B 等价等价.矩阵矩阵 B 称为称为 A 的正规形的正规形(等价标准形等价标准形).proofproof*8例题例题 8.1 求矩阵的等价标准形求矩阵的等价标准形: 解解: (1) 用初等行变换将系数矩阵化为简化行阶梯矩阵用初等行变换将系数矩阵化为简化行阶梯矩阵=T *9例题例题 8.1

4、 (续续)(2) 用初等列变换把用初等列变换把 T 化为标准形化为标准形等价标准形等价标准形*10例题例题 8.1: 进一步的分析进一步的分析如何由如何由其中其中*11例题例题 8.1: 进一步的分析进一步的分析其中其中根据初等变换的性质可以得到根据初等变换的性质可以得到:*12矩阵矩阵P, Q与与B*13例题例题 8.2设设求其标准形及求其标准形及P, Q.解：解：*14例题例题 8.2 (续续)简化行阶梯矩阵已经是等价标准形，不需要再作初等列变换简化行阶梯矩阵已经是等价标准形，不需要再作初等列变换*15例题例题8.2(续续2)即有即有P为矩阵为矩阵A 的逆矩阵的逆矩阵,只要进行初等行变换就

5、可以求得矩阵的逆只要进行初等行变换就可以求得矩阵的逆:*16两个推论两个推论推论推论 8.3两个同价矩阵等价的充分必要条件两个同价矩阵等价的充分必要条件 是它们具有相同的秩是它们具有相同的秩.推论推论 8.4 可逆矩阵可以写成若干个初等矩阵的乘积可逆矩阵可以写成若干个初等矩阵的乘积. 也就是说也就是说, 可逆矩阵可以通过初等行变换化为单位矩阵可逆矩阵可以通过初等行变换化为单位矩阵.*17命题命题 8.1的证明的证明命题命题 8.1. 对矩阵对矩阵 A 施行一次初等列变换相当于在施行一次初等列变换相当于在 A 的右边乘一个相应的初的右边乘一个相应的初等矩阵等矩阵.证明：只证明初等列变换的情形证明：只证明初等列变换的情形.(1)因此因此, A 右乘右乘 P(i,j(k) 相当于把相当于把 A 的第的第 i 列的列的 k 倍加到第倍加到第 j 列列.(2) 因此因此, A 右乘右乘 P(i,j) 相当于把相当于把 A 的第的第 i 列与第列与第 j 列互换列互换.*18命题命题 8.1的证明（续）的证明（续）(3)在在A 右乘右乘 P(i(k) 相当于把相当于把 A 的第的第 I 列的列的(k- -1) 倍加到第倍加到第 i 列列. 即第即第