人教A版高中数学必修2课时检测第三章直线与方程Word版含答案

1、高考资源网（） 您身边的高考专家3.1直线的倾斜角与斜率31.1倾斜角与斜率直线的倾斜角导入新知1.倾斜角的定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角如右图所示，直线l的倾斜角是APx，直线l的倾斜角是BPx.2倾斜角的范围：直线的倾斜角的取值范围是2.0°180°，并规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°.3倾斜角与直线形状的关系。倾斜角0°0°<<90°90°90°<<180°直线化解疑难对直线的倾斜角的理解(1)倾斜

2、角定义中含有3个条件：x轴正向；直线向上的方向；小于180°的非负角(2)从运动变化的观点来看，直线的倾斜角是由x轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的角(3)倾斜角是一个几何概念，它直观地描述且表现了直线对x轴的倾斜程度(4)平面直角坐标系中的每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等直线的斜率导入新知1斜率的定义：一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率常用小写字母k表示，即ktan_.2斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1x2)的直线的斜率公式为k.当x1x2时，直线P1P2没有斜率3斜率作

3、用：用实数反映了平面直角坐标系内的直线的倾斜程度化解疑难1倾斜角与斜率k的关系(1)直线都有倾斜角，但并不是所有的直线都有斜率当倾斜角是90°时，直线的斜率不存在，此时，直线垂直于x轴(平行于y轴或与y轴重合)(2)直线的斜率也反映了直线相对于x轴的正方向的倾斜程度当0°90°时，斜率越大，直线的倾斜程度越大；当90°180°时，斜率越大，直线的倾斜程度也越大2斜率公式(1)直线的斜率与两点的顺序无关，即两点的纵坐标和横坐标在公式中的次序可以同时调换，就是说， 如果分子是y2y1，分母必须是x2x1；反过来，如果分子是y1y2，分母必须是x1x

4、2，即k.(2)用斜率公式时要一看，二用，三求值一看，就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在；若不相等，则进行第二步二用，就是将点的坐标代入斜率公式三求值，就是计算斜率的值，尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式时要对参数进行讨论直线的倾斜角例1(1)若直线l的向上方向与y轴的正方向成30°角，则直线l的倾斜角为()A30°B60°C30°或150°D60°或120°(2)下列说法中，正确的是()A直线的倾斜角为，则此直线的斜率为tan B直线的斜率为tan ，则此直线的倾斜角为C若直线的倾斜角为，则s

5、in 0D任意直线都有倾斜角，且90°时，斜率为tan 答案(1)D(2)D类题通法求直线的倾斜角的方法及两点注意(1)方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角(2)两点注意：当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°；当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°.注意直线倾斜角的取值范围是0°180°.活学活用1直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角的取值范围是()A0°90°B90°180°C90°180°D0°180°答案：C2设直线l过原点，其倾斜角为，将直线

6、l绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线l1，则直线l1的倾斜角为()A45°B135°C135°D当0°135°时为45°，当135°180°时为135°答案：D直线的斜率例2(1)已知过两点A(4，y)，B(2，3)的直线的倾斜角为135°，则y_；(2)过点P(2，m)，Q(m,4)的直线的斜率为1，则m的值为_；(3)已知过A(3,1)，B(m，2)的直线的斜率为1，则m的值为_答案(1)5(2)1(3)0类题通法利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项(1)运用公式的前提条件

7、是“x1x2”，即直线不与x轴垂直，因为当直线与x轴垂直时，斜率是不存在的(2)斜率公式与两点P1，P2的先后顺序无关，也就是说公式中的x1与x2，y1与y2可以同时交换位置活学活用若直线过点 (1,2)，(4，2)，则此直线的倾斜角是()A30°B45°C60°D90°答案：A直线的斜率的应用例3已知实数x，y满足y2x8，且2x3，求的最大值和最小值解如图所示，由于点(x，y)满足关系式2xy8，且2x3，可知点P(x，y)在线段AB上移动，并且A，B两点的坐标可分别求得为A(2,4)，B(3,2)由于的几何意义是直线OP的斜率，且kOA2，kOB，

8、所以可求得的最大值为2，最小值为.类题通法根据题目中代数式的特征，看是否可以写成的形式，若能，则联想其几何意义(即直线的斜率)，再利用图形的直观性来分析解决问题活学活用点M(x，y)在函数y2x8的图象上，当x2,5时，求的取值范围解：的几何意义是过M(x，y)，N(1，1)两点的直线的斜率点M在函数y2x8的图象上，且x2,5，设该线段为AB且A(2,4)，B(5，2)kNA，kNB，.的取值范围为.6.倾斜角与斜率的关系典例已知两点A(3,4)，B(3,2)，过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点，则l的倾斜角的取值范围_；直线l的斜率k的取值范围_解析如右图所示，由题意可知kPA1，

9、kPB1，则直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又PB的倾斜角是45°，PA的倾斜角是135°，所以直线l的倾斜角的取值范围是45°135°.要使l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是k1或k1.答案易错防范1本题易错误地认为答案为1k1，结合图形考虑，l的倾斜角应介于直线PB与直线PA的倾斜角之间，要特别注意，当l的倾斜角小于90°时，有kkPB；当l的倾斜角大于90°时，则有kkPA.2.如右图所示，过点P的直线l与直线段AB相交时，因为过点P且与x轴垂直的直线PC的斜率不存在，而PC所在的直线与线段AB不相

10、交，所以满足题意的斜率夹在中间，即kPAkkPB.解决这类问题时，可利用数形结合思想直观地判断直线是夹在中间还是在两边成功破障已知直线l过点P(3,4)，且与以A(1,0)，B(2,1)为端点的线段AB有公共点，求直线l的斜率k的取值范围解：直线PA的斜率kPA1，直线PB的斜率kPB3，要使直线l与线段AB有公共点，k的取值范围为1,3一、选择题1给出下列结论：直线的倾斜角不是锐角就是直角或钝角；如果直线的倾斜角是锐角，那么直线的斜率是正实数；如果直线的倾斜角是钝角，那么直线的斜率是负实数；如果直线的倾斜角是直角，那么直线上不同的两点的横坐标相等，而纵坐标不等其中，正确的结论是()ABCD答

11、案：B2过两点A(4，y)，B(2，3)的直线的倾斜角为45°，则y等于()ABC1D1答案：C3.如右图所示，设直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则k1，k2，k3的大小关系为()Ak1k2k3Bk1k3k2Ck2k1k3Dk3k2k1答案：A4经过两点A(2,1)，B(1，m2)的直线l的倾斜角为锐角，则m的取值范围是()Am|m1Bm|m1Cm|1m1Dm|m1或m1答案：C5如果直线l过点(1,2)，且不通过第四象限，那么l的斜率的取值范围是()A0,1B0,2C.D(0,3答案：B二、填空题6已知a0，若平面内3点A(1，a)，B(2，a2)，C(3，a3)

12、共线，则a_.答案：17如下图所示，如果直线l1的倾斜角是150°，l2l1，垂足为B.l1，l2与x轴分别相交于点C，A，l3平分BAC，则l3的倾斜角为_答案：30°8已知实数x，y满足方程x2y6，当1x3时，的取值范围为_答案：三、解答题9已知直线l过点A(1,2)，B(m,3)，求直线l的斜率和倾斜角的取值范围解：设l的斜率为k，倾斜角为.当m1时，斜率k不存在，90°；当m1时，k；当m1时，k0，此时为锐角，0°90°；当m1时，k0，此时为钝角，90°180°.所以0°180°，k(，0)

13、(0，)10已知A(3,3)，B(4,2)，C(0，2)(1)求直线AB和AC的斜率(2)若点D在线段BC(包括端点)上移动时，求直线AD的斜率的变化范围解：(1)由斜率公式可得直线AB的斜率kAB.直线AC的斜率kAC.故直线AB的斜率为，直线AC的斜率为.(2)如图所示，当D由B运动到C时，直线AD的斜率由kAB增大到kAC，所以直线AD的斜率的变化范围是.31.2两条直线平行与垂直的判定两条直线平行导入新知对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，有l1l2k1k2.化解疑难对两条直线平行与斜率的关系要注意以下几点(1)l1l2k1k2成立的前提条件是：两条直线的斜率都存在

14、；l1与l2不重合(2)当两条直线不重合且斜率都不存在时，l1与l2的倾斜角都是90°，则l1l2.(3)两条不重合直线平行的判定的一般结论是：l1l2k1k2或l1，l2斜率都不存在两条直线垂直导入新知如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于1；反之，如果它们的斜率之积等于1，那么它们互相垂直，即l1l2k1k21.化解疑难对两条直线垂直与斜率的关系要注意以下几点(1)l1l2k1·k21成立的前提条件是：两条直线的斜率都存在；k10且k20.(2)两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则两条直线垂直(3)判定两条直线垂直的一般

15、结论为：l1l2k1·k21，或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零两条直线平行的判定例1根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2是否平行(1)l1经过点A(2,1)，B(3,5)，l2经过点C(3，3)，D(8，7)；(2)l1经过点E(0,1)，F(2，1)，l2经过点G(3,4)，H(2,3)；(3)l1的倾斜角为60°，l2经过点M(1，)，N(2，2)；(4)l1平行于y轴，l2经过点P(0，2)，Q(0,5)解(1)由题意知，k1，k2，所以直线l1与直线l2平行或重合，又kBC，故l1l2.(2)由题意知，k11，k21，所以直线l1与直线l2平

16、行或重合，kFG1，故直线l1与直线l2重合(3)由题意知，k1tan 60°，k2，k1k2，所以直线l1与直线l2平行或重合(4)由题意知l1的斜率不存在，且不是y轴，l2的斜率也不存在，恰好是y轴，所以l1l2.类题通法判断两条不重合直线是否平行的步骤活学活用求证：顺次连接A(2，3)，B，C(2,3)，D(4,4)4点所得的四边形是梯形(如右图所示)证明：因为kAB，kCD，所以kABkCD，从而ABCD.因为kBC，kDA，所以kBCkDA，从而直线BC与DA不平行因此，四边形ABCD是梯形两条直线垂直的问题例2已知直线l1经过点A(3，a)，B(a2，3)，直线l2经过点

17、C(2,3)，D(1，a2)，如果l1l2，求a的值解设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2.直线l2经过点C(2,3)，D(1，a2)，且21，l2的斜率存在当k20时，a23，则a5，此时k1不存在，符合题意当k20时，即a5，此时k10，由k1·k21，得·1，解得a6.综上可知，a的值为5或6.类题通法使用斜率公式判定两直线垂直的步骤(1)一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在，若不相等，则进行第一步(2)二用：就是将点的坐标代入斜率公式(3)求值：计算斜率的值，进行判断尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式时要对参数进行讨论总之，l1与

18、l2一个斜率为0，另一个斜率不存在时，l1l2；l1与l2斜率都存在时，满足k1·k21.活学活用已知定点A(1,3)，B(4,2)，以AB为直径作圆，与x轴有交点C，则交点C的坐标是_答案：(1,0)或(2,0)平行与垂直的综合应用例3已知A(4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(3,0)4点，若顺次连接A，B，C，D 4点，试判定四边形ABCD的形状解由题意知A，B，C，D 4点在坐标平面内的位置，如图所示，由斜率公式可得kAB，kCD，kAD3，kBC.所以kABkCD，由图可知AB与CD不重合，所以ABCD.由kADkBC，所以AD与BC不平行又因为kAB·kA

19、D×(3)1，所以ABAD，故四边形ABCD为直角梯形类题通法1在顶点确定的情况下，确定多边形形状时，要先画出图形，由图形猜测其形状，为下面证明提供明确目标2证明两直线平行时，仅有k1k2是不够的，注意排除两直线重合的情况活学活用已知A(1,0)，B(3,2)，C(0,4)，点D满足ABCD，且ADBC，试求点D的坐标解：设D(x，y)，则kAB1，kBC，kCD，kDA.因为ABCD，ADBC，所以，kAB·kCD1，kDAkBC，所以解得即D(10，6).8.利用平行或垂直确定参数值典例(12分)已知直线l1经过A(3，m)，B(m1,2)，直线l2经过点C(1,2)，

20、D(2，m2)(1)若l1l2，求m的值；(2)若l1l2，求m的值解题流程当k20时，直线l2的斜率存在且不为0，则直线l1的斜率也存在，且k1·k21，即·1，解得m3或m4，(10分)所以m3或m4时，l1l.(12分)活学活用已知A(m3,2)，B(2m4,4)，C(m，m)，D(3,3m2)，若直线ABCD，求m的值解：因为A，B两点纵坐标不等，所以AB与x轴不平行因为ABCD，所以CD与x轴不垂直，故m3.当AB与x轴垂直时，m32m4，解得m1，而m1时，C，D纵坐标均为1，所以CDx轴，此时ABCD，满足题意当AB与x轴不垂直时，由斜率公式得kAB，kCD.

21、因为ABCD，所以kAB·kCD1，解得m1.综上，m的值为1或1.一、选择题1已知过点P(3,2m)和点Q(m,2)的直线与过点M(2，1)和点N(3,4)的直线平行，则m的值是()A1B1C2D2答案：B2以A(1,1)，B(2，1)，C(1,4)为顶点的三角形是()A锐角三角形B钝角三角形C以A点为直角顶点的直角三角形D以B点为直角顶点的直角三角形答案：C3已知点A(2，5)，B(6,6)，点P在y轴上，且APB90°，则点P的坐标为()A(0，6)B(0,7)C(0，6)或(0,7)D(6,0)或(7,0)答案：C4若A(4,2)，B(6，4)，C(12,6)，D(

22、2,12)，则下面4个结论：ABCD；ABAD；ACBD；ACBD中正确的个数为()A1B2C3D4答案：C5已知点A(2,3)，B(2,6)，C(6,6)，D(10,3)，则以A，B，C，D为顶点的四边形是()A梯形B平行四边形C菱形D矩形答案：B二、填空题6l1过点A(m,1)，B(3,4)，l2过点C(0,2)，D(1,1)，且l1l2，则m_.答案：07已知直线l1的倾斜角为45°，直线l2l1，且l2过点A(2，1)和B(3，a)，则a的值为_答案：48已知A(2,3)，B(1，1)，C(1，2)，点D在x轴上，则当点D坐标为_时，ABCD.答案：(9,0)三、解答题9已知

23、ABC的3个顶点坐标分别为A(1,0)，B(1,1)，C(0,2)，试分别求ABC 3条边上的高所在直线的斜率解：设边AB，AC，BC上的高所在直线的斜率分别为k1，k2，k3.因为kAB，所以由kAB·k11，可得k12；因为kAC2，所以由kAC·k21，可得k2；因为kBC1，所以由kBC·k31，可得k31.综上可得，边AB，AC，BC上的高所在直线的斜率分别为2，1.10直线l1经过点A(m,1)，B(3,4)，直线l2经过点C(1，m)，D(1，m1)，当l1l2或l1l2时，分别求实数m的值解：当l1l2时，由于直线l2的斜率存在，则直线l1的斜率也

24、存在，则kABkCD，即，解得m3；当l1l2时，由于直线l2的斜率存在且不为0，则直线l1的斜率也存在，则kABkCD1，即·1，解得m.综上，当l1l2时，m的值为3；当l1l2时，m的值为.32直线的方程3.2.1直线的点斜式方程点斜式、斜截式导入新知1直线的点斜式方程(1)定义：如右图所示，直线l过定点P(x0，y0)，斜率为k，则把方程yy0k(xx0)叫做直线l的点斜式方程，简称点斜式(2)说明：如右图所示，过定点P(x0，y0)，倾斜角是90°的直线没有点斜式，其方程为xx00，或xx0.2直线的斜截式方程(1)定义：如右图所示，直线l的斜率为k，且与y轴的交

25、点为(0，b)，则方程ykxb叫做直线l的斜截式方程，简称斜截式(2)说明：一条直线与y轴的交点(0，b)的纵坐标b叫做直线在y轴上的截距倾斜角是直角的直线没有斜截式方程化解疑难1关于点斜式的几点说明：(1)直线的点斜式方程的前提条件是：已知一点P(x0，y0)和斜率k；斜率必须存在只有这两个条件都具备，才可以写出点斜式方程(2)方程yy0k(xx0)与方程k不是等价的，前者是整条直线，后者表示去掉点P(x0，y0)的一条直线(3)当k取任意实数时，方程yy0k(xx0)表示恒过定点(x0，y0)的无数条直线2斜截式与一次函数的解析式相同，都是ykxb的形式，但有区别，当k0时，ykxb即为一

26、次函数；当k0时，yb不是一次函数，一次函数ykxb(k0)必是一条直线的斜截式方程截距不是距离，可正、可负也可为零直线的点斜式方程例1(1)经过点(5,2)且平行于y轴的直线方程为_(2)直线yx1绕着其上一点P(3,4)逆时针旋转90°后得直线l，则直线l的点斜式方程为_(3)求过点P(1,2)且与直线y2x1平行的直线方程为_答案(1)x5(2)y4(x3)(3)2xy0类题通法已知直线上一点的坐标以及直线斜率或已知直线上两点的坐标，均可用直线方程的点斜式表示，直线方程的点斜式，应在直线斜率存在的条件下使用当直线的斜率不存在时，直线方程为xx0.活学活用若直线l过点(2,1)，

27、分别求l满足下列条件时的直线方程：(1)倾斜角为135°；(2)平行于x轴；(3)平行于y轴；(4)过原点解：(1)直线的斜率为ktan 135°1，所以由点斜式方程得y11×(x2)，即方程为xy30.(2)平行于x轴的直线的斜率k0，故所求的直线方程为y1.(3)过点(2,1)且平行于y轴的直线方程为x2.(4)过点(2,1)与点(0,0)的直线的斜率k，故所求的直线方程为yx.直线的斜截式方程例2(1)倾斜角为150°，在y轴上的截距是3的直线的斜截式方程为_(2)已知直线l1的方程为y2x3，l2的方程为y4x2，直线l与l1平行且与l2在y轴上

28、的截距相同，求直线l的方程答案(1)yx3(2)解由斜截式方程知直线l1的斜率k12，又ll1，l的斜率kk12.由题意知l2在y轴上的截距为2，l在y轴上的截距b2，由斜截式可得直线l的方程为y2x2.类题通法1斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在当b0时，ykx表示过原点的直线；当k0时，yb表示与x轴平行(或重合)的直线2截距不同于日常生活中的距离，截距是一个点的横(纵)坐标，是一个实数，可以是正数，也可以是负数或零，而距离是一个非负数活学活用写出下列直线的斜截式方程：(1)直线斜率是3，在y轴上的截距是3；(2)直线倾斜角是60°，在y轴上的截距是5；(3)直线在x轴上的截距

29、为4，在y轴上的截距为2.解：(1)y3x3.(2)ktan 60°，yx5.(3)直线在x轴上的截距为4，在y轴上的截距为2，直线过点(4,0)和(0，2)，k，yx2.两直线平行与垂直的应用例3当a为何值时，(1)两直线yax2与y(a2)x1互相垂直？(2)两直线yx4a与y(a22)x4互相平行？解(1)设两直线的斜率分别为k1，k2，则k1a，k2a2.两直线互相垂直，k1k2a(a2)1，解得a1.故当a1时，两条直线互相垂直(2)设两直线的斜率分别为k3，k4，则k31，k4a22.两条直线互相平行，解得a1.故当a1时，两条直线互相平行类题通法判断两条直线位置关系的方

30、法直线l1：yk1xb1，直线l2：yk2xb2.(1)若k1k2，则两直线相交(2)若k1k2，则两直线平行或重合，当b1b2时，两直线平行；当b1b2时，两直线重合(3)特别地，当k1·k21时，两直线垂直(4)对于斜率不存在的情况，应单独考虑活学活用1若直线l1：y(2a1)x3与直线l2：y4x3垂直，则a_.答案：2若直线ax2y3a0与直线3x(a1)y7a平行，则实数a的值为_答案：37.斜截式判断两条直线平行的误区典例已知直线l1：xmy60，l2：(m2)·x3y2m0，当l1l2时，求m的值解由题设l2的方程可化为yxm，则其斜率k2，在y轴上的截距b2

31、m.l1l2，l1的斜率一定存在，即m0.l1的方程为yx.由l1l2，得解得m1.m的值为1.易错防范1两条直线平行时，斜率存在且相等，截距不相等当两条直线的斜率相等时，也可能平行，也可能重合2解决此类问题要明确两直线平行的条件，尤其是在求参数时要考虑两直线是否重合成功破障当a为何值时，直线l1：y2ax2a与直线l2：y(a23)x2平行？解：l1l2，a232a且2a2，解得a3.一、选择题1已知直线的方程是y2x1，则()A直线经过点(1,2)，斜率为1B直线经过点(2，1)，斜率为1C直线经过点(1，2)，斜率为1D直线经过点(2，1)，斜率为1答案：C2直线yaxb和ybxa在同一

32、直角坐标系中的图形可能是()答案：D3与直线y2x1垂直，且在y轴上的截距为4的直线的斜截式方程是()Ayx4By2x4Cy2x4Dyx4答案：D4过点(1,3)且垂直于直线x2y30的直线方程为()A2xy10B2xy50Cx2y50Dx2y70答案：A5直线y2x3与y22(x3)的位置关系是()A平行B垂直C重合D无法判断答案：A二、填空题6过点(3,2)且与直线y1(x5)平行的直线的点斜式方程是_答案：y2(x3)7直线yax3a2(aR)必过定点_答案：(3,2)8已知斜率为2的直线的方程为5ax5ya30，此直线在y轴上的截距为_答案：三、解答题9已知三角形的顶点坐标是A(5,0

33、)，B(3，3)，C(0,2)，试求这个三角形的3条边所在直线的方程解：直线AB的斜率kAB，过点A(5,0)，由点斜式得直线AB的方程为y(x5)，即3x8y150；同理，kBC，kAC，直线BC，AC的方程分别为5x3y60,2x5y100.10已知直线l的斜率与直线3x2y6的斜率相等，且直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1，求直线l的方程解：由题意知，直线l的斜率为，故设直线l的方程为yxb，l在x轴上的截距为b，在y轴上的截距为b，所以bb1，b，直线l的方程为yx，即15x10y60.32.2 & 3.2.3直线的两点式方程直线的一般式方程两点式、截距式导入新知直线的两

34、点式与截距式方程项目两点式截距式条件P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，其中x1x2，y1y2在x轴上截距a，在y轴上截距b图形方程1适用范围不表示垂直于坐标轴的直线不表示垂直于坐标轴的直线及过原点的直线化解疑难1要注意方程和方程(yy1)·(x2x1)(xx1)(y2y1)形式不同，适用范围也不同前者为分式形式方程，形式对称，但不能表示垂直于坐标轴的直线后者为整式形式方程，适用于过任何两点的直线方程2直线方程的截距式为1，x项对应的分母是直线在x轴上的截距，y项对应的分母是直线在y轴上的截距，中间以“”相连，等式的另一端是1，由方程可以直接读出直线在两轴上的截距，如1，1就不是

35、直线的截距式方程直线方程的一般式导入新知1直线与二元一次方程的关系(1)在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示(2)每个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线2直线的一般式方程的定义我们把关于x，y的二元一次方程AxByC0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式化解疑难1求直线的一般式方程的策略(1)当A0时，方程可化为xy0，只需求，的值；若B0，则方程化为xy0，只需确定，的值因此，只要给出2个条件，就可以求出直线方程(2)在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选用4种特殊形式之一求方程，然后可以转化为一般

36、式2直线的一般式转化为其他形式的步骤(1)一般式化为斜截式的步骤：移项得ByAxC；当B0时，得斜截式：yx.(2)一般式化为截距式的步骤：把常数项移到方程右边，得AxByC；当C0时，方程两边同除以C，得1；化为截距式：1.由于直线方程的斜截式和截距式是唯一的，而两点式和点斜式不唯一，因此，通常情况下，一般式不化为两点式和点斜式.利用两点式求直线方程例1三角形的3个顶点是A(1,0)，B(3，1)，C(1,3)，求三角形三边所在直线的方程解由两点式，直线AB所在直线方程为，即x4y10.同理，直线BC所在直线方程为，即2xy50.直线AC所在直线方程为，即3x2y30.类题通法求直线的两点式

37、方程的策略以及注意点(1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程(2)由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系活学活用1已知直线经过点A(3，1)和点B(3,7)，则它在y轴上的截距是_答案：32若点P(3，m)在过点A(2，1)，B(3,4)的直线上，则m_.答案：2直线的截距式方程及应用例2直线l过点P，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点(1)当AOB的周长为12时，求直线l的方程(2)当A

38、OB的面积为6时，求直线l的方程解：(1)设直线l的方程为1(a0，b0)，由题意知，ab12.又因为直线l过点P，所以1，即5a232a480，解得或所以直线l的方程为3x4y120或15x8y360.(2)设直线l的方程为1(a0，b0)，由题意知，ab12，1，消去b，得a26a80，解得或所以直线l的方程为3x4y120或3xy60.类题通法用截距式方程解决问题的优点及注意事项(1)由截距式方程可直接确定直线与x轴和y轴的交点的坐标，因此用截距式画直线比较方便(2)在解决与截距有关或直线与坐标轴围成的三角形面积、周长等问题时，经常使用截距式(3)但当直线与坐标轴平行时，有一个截距不存在

39、；当直线通过原点时，两个截距均为零在这两种情况下都不能用截距式，故解决问题过程中要注意分类讨论活学活用求经过点A(2,2)，并且和两坐标轴围成的三角形面积是1的直线方程解：设直线在x轴、y轴上的截距分别是a，b，则有S|a·b|1.ab±2.设直线的方程是1.直线过点(2,2)，代入直线方程得1，即b.ab±2.当2时，化简得a2a20，方程无解；当2时，化简得a2a20，解得或直线方程是1或1，即2xy20或x2y20.直线方程的一般式应用例3(1)已知直线l1：2x(m1)y40与直线l2：mx3y20平行，求m的值；(2)当a为何值时，直线l1：(a2)x(

40、1a)y10与直线l2：(a1)x(2a3)y20互相垂直？解(1)法一：由l1：2x(m1)y40，l2：mx3y20，当m0时，显然l1与l2不平行当m0时，l1l2，需.解得m2或m3.m的值为2或3.法二：令2×3m(m1)，解得m3或m2.当m3时，l1：xy20，l2：3x3y20，显然l1与l2不重合，l1l2.同理当m2时，l1：2x3y40，l2：2x3y20，l1与l2不重合，l1l2，m的值为2或3.(2)法一：由题意，l1l2，若1a0，即a1时，直线l1：3x10与直线l2：5y20，显然垂直若2a30，即a时，直线l1：x5y20与直线l2：5x40不垂直

41、若1a0，且2a30，则直线l1，l2的斜率k1，k2都存在，k1，k2，当l1l2时，k1·k21，即·1，所以a1.综上可知，当a1或a1时，l1l2.法二：由l1l2，所以(a2)(a1)(1a)(2a3)0，解得a±1.将a±1代入方程，均满足题意故当a1或a1时，直线l1l2.类题通法1直线l1：A1xB1yC10，直线l2：A2xB2yC20.(1)若l1l2A1B2A2B10且B1C2B2C10(或A1C2A2C10)(2)若l1l2A1A2B1B20.2与直线AxByC0平行的直线方程可设为AxBym0(mC)，与直线AxByC0垂直的直

42、线方程可设为BxAym0.活学活用(1)求与直线3x4y10平行且过点(1,2)的直线l的方程；(2)求经过点A(2,1)且与直线2xy100垂直的直线l的方程解：(1)法一：设直线l的斜率为k，l与直线3x4y10平行，k.又l经过点(1,2)，可得所求直线方程为y2(x1)，即3x4y110.法二：设与直线3x4y10平行的直线l的方程为3x4ym0.l经过点(1,2)，3×14×2m0，解得m11.所求直线方程为3x4y110.(2)法一：设直线l的斜率为k.直线l与直线2xy100垂直，k·(2)1，k.又l经过点A(2,1)，所求直线l的方程为y1(x2

43、)，即x2y0.法二：设与直线2xy100垂直的直线方程为x2ym0.直线l经过点A(2,1)，22×1m0，m0.所求直线l的方程为x2y0.3.探究直线在坐标轴上的截距问题典例求过点A(4,2)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线l的方程解当直线过原点时，它在x轴、y轴上的截距都是0，满足题意此时，直线的斜率为，所以直线方程为yx.当直线不过原点时，由题意可设直线方程为1，又过点A，所以1.因为直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等，所以|a|b|.由联立方程组，解得或所以所求直线的方程为1或1，化简得直线l的方程为xy6或xy2.综上，直线l的方程为yx或xy6或xy2.多维探

44、究1截距相等问题求过点A(4,2)且在两坐标轴上截距相等的直线l的方程解：当直线过原点时，它在x轴、y轴上截距都是0，满足题意，此时直线斜率为，所以直线方程为yx.当直线不过原点时，由题意可设直线方程为1，又过A(4,2)，a6，方程为xy60.综上，直线方程为yx或xy60.2截距和为零问题求过点A(4,2)且在两坐标轴上截距互为相反数的直线l的方程解：当直线过原点时，它在x轴、y轴上截距都是0，满足题意，此时直线斜率为，所以直线方程为yx.当直线不过原点时，由题意可设直线方程为1.又过A(4,2)，1，即a2，xy2.综上，直线l的方程为yx或xy2.3截距成倍数问题求过点A(4,2)且在

45、x轴上截距是在y轴上截距的3倍，求直线l的方程解：当直线过原点时，它在x轴、y轴上截距都是0，满足题意，此时直线斜率为，所以直线方程为yx.当直线不过原点时，由题意可设直线方程为1，又直线过A(4,2)，所以1，解得a，方程为x3y100.综上，所求直线方程为yx或x3y100.4截距和是定数问题求过点A(4,2)且在两坐标轴上截距之和为12的直线l的方程解：设直线l的方程为1，由题意得4b2aab，即4(12a)2aa(12a)，a214a480，解得a6或a8.因此或所求直线l的方程为xy60或x2y80.方法感悟如果题目中出现直线在两坐标轴上的“截距相等”“截距的绝对值相等”“截距互为相

46、反数”“在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上截距的m倍(m0)”等条件时，可采用截距式求直线方程，但一定要注意考虑“零截距”的情况一、选择题1平面直角坐标系中，直线xy20的斜率为()A.BC.D答案：B2直线axby1(a，b均不为0)与两坐标轴围成的三角形的面积为()A.abB|ab|C.D答案：D3.已知直线axbyc0的图象如右图所示，则()A若c0，则a0，b0B若c0，则a<0，b0C若c0，则a>0，b<0D若c<0，则a>0，b0答案：D4已知直线l：AxByC0(A，B不同时为0)，点P(x0，y0)在l上，则l的方程可化为()AA(xx0)B(yy

47、0)C0BA(xx0)B(yy0)0CA(xx0)B(yy0)C0DA(xx0)B(yy0)0答案：D5若直线x2ay10与(a1)xay10平行，则a的值为()A.B或0C0D2答案：A二、填空题6若直线l1：ax(1a)y3与l2：(a1)x(2a3)y2互相垂直，则实数a_.答案：1或37垂直于直线3x4y70，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线在x轴上的截距是_答案：3或38过点P(2，1)，在x轴、y轴上的截距分别为a，b，且满足a3b的直线方程为_答案：x3y10或x2y0三、解答题9已知在ABC中，点A，B的坐标分别为(1,2)，(4,3)，AC的中点M在y轴上，BC的中点

48、N在x轴上(1)求点C的坐标；(2)求直线MN的方程解：(1)设点C(m，n)，AC的中点M在y轴上，BC的中点N在x轴上，由中点坐标公式得解得点C的坐标为(1，3)(2)由(1)知，点M，N的坐标分别为M，N，由直线方程的截距式，得直线MN的方程是1，即yx.10设直线l的方程为(a1)xy2a0(aR)(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围解：(1)当a1时，直线l的方程为y30，不符合题意；当a1时，直线l在x轴上的截距为，在y轴上的截距为a2，因为l在两坐标轴上的截距相等，所以a2，解得a2或a0，所以直线l的方程为3xy0或xy20

49、.(2)将直线l的方程化为y(a1)xa2，所以或解得a1.综上所述，实数a的取值范围是a|a133直线的交点坐标与距离公式33.1 & 3.3.2 两条直线的交点坐标两点间的距离第一课时两条直线的交点坐标两点间的距离两条直线的交点坐标导入新知1两直线的交点坐标几何元素及关系代数表示点AA(a，b)直线ll：AxByC0点A在直线l上AaBbC0直线l1与l2的交点是A方程组的解是2两直线的位置关系方程组的解一组无数组无解直线l1与l2的公共点个数一个无数个零个直线l1与l2的位置关系相交重合平行化解疑难两直线相交的条件(1)将两直线方程联立解方程组，依据解的个数判断两直线是否相交当方程组只有一解时，两直线相