国开大学电大本科《复变函数》期末试题

1、国家开放大学电大本科复变函数期末试题及答案（试卷号：1078 ）得分评卷人一、单项选择题（本题共20分，每小题4分）1. 若 Z1 =（，4）次2 =（C 以）乂 0,则 21+羽=（）.A.ac + bd bead应+小字+刁2)2. 若集E = z： | z |< 1，则点z。=£： +切为集E的().晅 V2A.孤立点B.外点C.边界点D,内点.3. (雪2 + 3z 2)dz = ().；xl=4A. 0B. 1c. 2D- 34. 将函数f(z)= 2_在点z =2的去心邻域内展成罗朗级数，即是将/(z)在()展开.A. |z 2|V1B. 1 < | z -

2、2 | < 2C.0V|z-2|V2D.0V|z-2|Vl5. 若E)=W'则点i为E)的()A.可去奇点C.本性奇点B.非孤立奇点D.极点得分评卷人八'二、填空题(本题共20分，每小题4分)6. 称复平面添加 后所成平面为扩充复平面.7. 若函数/(2)与g(z)均在区域G内解析，则/(z) g(z)j'=8. 设Z尹0,8,称满足 的S为Z的对数函数，记作3 =Lnz5z 29. Res( ,0) = .z(z I)10. 设3 =/(z)为分式线性变换，若扩充复平面上两点羽，吻关于圆周c对称, 则叫=/'( Z )与W2 = f(Z2)两点关于圆周C

3、，= f(C) 得分评卷人三、计算题(本题共45分，每小题15分)11. 设v =y 4- eJsny,试求解析函数/(z)=我+切，满足/(0) =1.12. 将函数/(z)=-在点z =。的邻域内展成星级数z + z Z113. 计算积分水1)(由)血得分评卷人四、证明题(本题15分)14. 设m=a2 +b2 ,n=cz d2,其中a,b,c,d均为整数试证:m 仍为两个整数的平试题答案及评分标准：一、单项选择题(本题共20分，每小题4分)I. B2. C3. A4. D5. D二、填空题(本题共20分，每小题4分)6. 无穷远点7. /'( z) g ( z) + /( z)

4、g 7 z)8. cw = z9. 210. 对称三、计算题(本题共45分，每小题15分)II. 设 p=;y + eFin»,试求解析函数 /(Q = u + is 满足 /()=.解：由C R条件有".< = % = 1 + ccosy,所以U = X I c' cosy + ?( )1)乂因为 Vr，所以甲(、) (6分)由此得/( z)=飞十 c"cosy - c i(_y - c'siny) (12 分)由 f(0) =1 得 c=0经验 i正fCz) = x e'cosy + i(+ esiny)或.( z) = b即为所

5、求(15分)12. 将函数了(z)= 一 在点之=0的邻域内展成暴级数.W 十 z 2解：因为f(z)的有限奇点只有 =1与玄=一2,所以，/(z)在点z = 0可展成慕级数.且f(z)在| z |V 1内可展开，有' z" + z 2( z l)(z + 2)T(7-3-7T2)=T 2(1 + 3)（10 分）=9(- A)-0n=D乙 7i=。乙=-技1+锣七(15分)° ”=0 L乙 _13.计算积分解：令d，"z1)5 1) 因为z)在积分路径| z | = 7的内部含有三个奇点z = 0,n = 1与z = 1勺所以1-T； d z = 2m

6、- Res( J0) + Res(/, 1) + Res(八-DL Z(Z l)(Z-tl)I 二 7而Res( f ,0) =-lim z： " = (6分)Z! z (；L z ( z 1) ( z 1Rcs( 1) = lim( z 1)z-* 1122?(2 1)(牙+ I) 5庇心，】）=四 J+lJjDE 1）=£（12 分）故得Fdz = （） （15分）J 7 Z3 （ Z 1 ） （ Z + 1 ）四、证明题（本题15分）'14.设m = a2bn = cd2,其中a,b,c,d均为整数试证：仍为两个整数的平方和.证：因m = a b1 = ( a -J- i/;) ( a 16)n = c2 +J2=(c + iJ)(c-iJ) (7 分)所以m ?i = ( a -|- ib) ( a ib)( c id) ( c id)=L(a-ib)(c-bid)J - L(a-ib)(c-