机械结构优化设计教学学习教案

1、会计学1机械机械(jxi)结构优化设计教学结构优化设计教学第一页，共104页。控制结构优化控制结构优化 优化设计可看成优化设计可看成(kn chn)是一个研究结构设计的理论和方法的问题是一个研究结构设计的理论和方法的问题第1页/共103页第二页，共104页。例如例如(lr)：处理静态问题：处理静态问题 a: 结构分析结构分析(fnx)的设计模型的设计模型b:结构优化的设计模型结构优化的设计模型第2页/共103页第三页，共104页。十七十七(sh q)、十八、十八世纪：世纪：函数或泛函数极值求解方法提出函数或泛函数极值求解方法提出(t ch)奠定了优化方法的基础，如奠定了优化方法的基础，如最速下

2、降法、牛顿法、拉格朗日乘子法等。最速下降法、牛顿法、拉格朗日乘子法等。二十世纪五六十二十世纪五六十年代：年代：无约束优化寻优方向的数值解法，除黄金分割法外，又提出了一维搜索技术，即一无约束优化寻优方向的数值解法，除黄金分割法外，又提出了一维搜索技术，即一维搜搜试探类和插值类方法。同时，梯度法和牛顿类型的无约束优化方法问世。维搜搜试探类和插值类方法。同时，梯度法和牛顿类型的无约束优化方法问世。19511951年库克、塔恩推导出不等式约束非线性优化问题的极值条件，即年库克、塔恩推导出不等式约束非线性优化问题的极值条件，即K-T条件。条件。19641964年结构拓扑优化、结构形状优化提出。结构形状优

3、化理论和方法的提年结构拓扑优化、结构形状优化提出。结构形状优化理论和方法的提出，实现了优化问题从有限维参数优化向无限维形状优化的跨越。出，实现了优化问题从有限维参数优化向无限维形状优化的跨越。二十世纪七十年二十世纪七十年代：代：优化问题实用化，计算机的应用使参数、形状、拓扑优化的里理论和优化问题实用化，计算机的应用使参数、形状、拓扑优化的里理论和方法迅速发展方法迅速发展第3页/共103页第四页，共104页。二十世纪八十年代：二十世纪八十年代：参数优化的理论方法趋于成熟，形状参数优化的理论方法趋于成熟，形状(xngzhun)和拓扑优化开始用于求和拓扑优化开始用于求解工程实际问题解工程实际问题在优

4、化设计发展过程中，针对不同特点和范畴的问题，提出(t ch)了多种优化方法，如线性规划、几何规划、多目标优化、整数规划、离散变量优化、动态规划、模糊优化及遗传算法等第4页/共103页第五页，共104页。这里简单说明一下这里简单说明一下(yxi)模糊优化、广义优化和遗传算法的含义模糊优化、广义优化和遗传算法的含义1 1）模糊）模糊(m hu)(m hu)优化：优化：2 2）广义优化：）广义优化：20世纪浙江大学冯培恩教授提出广义优化概念，即对机械产品进行全系统、全性能、全过程的广义优化设计。第5页/共103页第六页，共104页。3）遗传算法：1975年美国人Holland提出的一种人工智能方法，

5、是在计算机上按照生物进化过程进行模拟的一种搜索寻优算法。遗传算法的思路是把函数的搜搜空间看成是一个映射的遗传空间，而把在此空间进行寻优搜索的可行解看成是一个由向量染色体组成的集合。染色体是有基因元素（用二进制或十进制的字符串编码表示）组成的向量。可由计算机用随机数列的方程给出。遗传算法中，目标(mbio)函数被转化成应对各个个体的适应度，是目标(mbio)函数对每个染色体进行评价的一个表述。可以用来表示各个体的适应性能，并据以指导寻优搜索。适应度越大，说明性能越好。第6页/共103页第七页，共104页。形状优化：结构形状优化：结构(jigu)形状（包括拓扑）优化设计是确定二维和三维结形状（包括

6、拓扑）优化设计是确定二维和三维结构构(jigu)形状的机械结构形状的机械结构(jigu)优化设计。优化设计。研究内容：确定连续结构的边界形状研究内容：确定连续结构的边界形状(xngzhun)和内部形状和内部形状(xngzhun)，如不同材料，如不同材料或厚度的分布区域、复合材料的结合面形状或厚度的分布区域、复合材料的结合面形状(xngzhun)、结构件的加强层形状、结构件的加强层形状(xngzhun)、板框结构的加强筋布局等。、板框结构的加强筋布局等。研究目的：研究目的：改善结构特性（如降低应力集中）、应力及温度场的分布情况，提高疲劳强度、延长结构件寿命等。第7页/共103页第八页，共104页

7、。1 1）数值方法）数值方法(fngf)(fngf)辛柯维茨和康培尔以节点坐标为设计变量，使用等参有限单元模型和序列线性规划方法辛柯维茨和康培尔以节点坐标为设计变量，使用等参有限单元模型和序列线性规划方法(fngf)(fngf)，设计水坝的最优形状，设计水坝的最优形状艾玛姆以超曲线曲面的参数作为优化设计的变量、应用三维等参单元分析、采用差分法艾玛姆以超曲线曲面的参数作为优化设计的变量、应用三维等参单元分析、采用差分法进行敏度分析来求解形状优化问题。进行敏度分析来求解形状优化问题。2 2）变分方法）变分方法(fngf)(fngf)豪格及其合作者提出了形状优化问题的变分方法豪格及其合作者提出了形状

8、优化问题的变分方法(fngf)(fngf)，并使用最速下降法和，并使用最速下降法和 有限有限元离散方法元离散方法(fngf)(fngf)进行二维结构的优化设计进行二维结构的优化设计3 3）敏度分析）敏度分析这种方法这种方法(fngf)(fngf)考虑了应力、应变或位移泛函，建立了主结构和伴随结构中应力或位考虑了应力、应变或位移泛函，建立了主结构和伴随结构中应力或位移场变分的等价性条件，为形状优化提供了泛函的敏度分析方法移场变分的等价性条件，为形状优化提供了泛函的敏度分析方法(fngf)(fngf)，并解决了外，并解决了外边界或接触面变化的梁、盘、板、壳的形状优化问题边界或接触面变化的梁、盘、板

9、、壳的形状优化问题结构形状结构形状(xngzhun)优化的方法优化的方法第8页/共103页第九页，共104页。4 4）有限元分析）有限元分析采用有限元法进行结构重分析，即需要单元网格剖分技术，也需要对结构形状边界处个采用有限元法进行结构重分析，即需要单元网格剖分技术，也需要对结构形状边界处个单元的边界曲线单元的边界曲线(qxin)(qxin)或曲面形成技术。因此，以结构形状优化为主体，连接有限元或曲面形成技术。因此，以结构形状优化为主体，连接有限元分析和几何造型技术为一体，已形成一门新的综合技术。分析和几何造型技术为一体，已形成一门新的综合技术。第9页/共103页第十页，共104页。本章内容：

10、本章内容：机械结构优化设计机械结构优化设计(shj)(shj)的特点的特点机械结构优化设计机械结构优化设计(shj)(shj)的示例的示例机械结构优化涉及数学模型的表述机械结构优化涉及数学模型的表述第10页/共103页第十一页，共104页。机械结构优化的特点概括为以下四点：机械结构优化的特点概括为以下四点：(1)精密、复杂及重、大的机器零件（即结构件），一般的力学解析方法计算精密、复杂及重、大的机器零件（即结构件），一般的力学解析方法计算它们的静、动态性能，已经难以满足工程实际的要求。它们的静、动态性能，已经难以满足工程实际的要求。(2)结构优化进行分析计算时需要利用计算机进行有限元分析结构优

11、化进行分析计算时需要利用计算机进行有限元分析优化设计的自优化设计的自动或半自动的反复迭代，需要应用单元的网格剖分技术予以支持。动或半自动的反复迭代，需要应用单元的网格剖分技术予以支持。(3)机械结构形状优化、拓扑及布局优化的分析计算需对结构进行敏度分析计机械结构形状优化、拓扑及布局优化的分析计算需对结构进行敏度分析计算，敏度分析计算的结果给出了优化设计过程中变量（位移、应力等）的变算，敏度分析计算的结果给出了优化设计过程中变量（位移、应力等）的变化趋势，为下一步化趋势，为下一步(y b)设计指明方向。设计指明方向。(4)整机或杆系结构等复杂结构的分析，不仅需要采用有限元法进行分析，而整机或杆系

12、结构等复杂结构的分析，不仅需要采用有限元法进行分析，而且整机优化还涉及各组成部件的合理的数值分配问题。且整机优化还涉及各组成部件的合理的数值分配问题。综上所述，机械结构优化设计是以计算机为手段，集有限元分析技术、数值综上所述，机械结构优化设计是以计算机为手段，集有限元分析技术、数值(shz)优化方法和计算机图形于一体的综合性方法和技术，是多学科交叉的一门优化方法和计算机图形于一体的综合性方法和技术，是多学科交叉的一门机械结构设计理论和技术。机械结构设计理论和技术。第11页/共103页第十二页，共104页。【例【例2.1】直升机尾仓部分】直升机尾仓部分(b fen)桁架结构的优化设计桁架结构的优

13、化设计图（a）是某直升机尾仓部分(b fen)的外观图图（b）是它内部桁架结构的两个视图如右图如右图a,b桁架结构，在设计时要求其桁架结构，在设计时要求其总质量最小，但各杆受载时，对其单总质量最小，但各杆受载时，对其单元的应力元的应力 、节点位移、节点位移 以及振动的以及振动的固有频率固有频率 都应有限制都应有限制。分析分析：图示桁架结构共有108个杆单元，28个节点（其中有4个固定），每个节点考虑3个自由度，共有72个自由度，用有限元方法计算 、 、和 。当取各杆横截面积 为设计变量时，相应的计算公式是： 第12页/共103页第十三页，共104页。【例【例2.1】直升机尾仓部分】直升机尾仓部

14、分(b fen)桁架结构的优化设计桁架结构的优化设计第13页/共103页第十四页，共104页。【例【例2.1】直升机尾仓部分】直升机尾仓部分(b fen)桁架结构的优化设计桁架结构的优化设计所以，优化问题(wnt)可归结为：求一组变量A，使目标函数第14页/共103页第十五页，共104页。【例【例2.2】机床主轴】机床主轴(zhzhu)的优化设计的优化设计分析分析(fnx)：用有限元法利用：用有限元法利用状态方程计算轴端变形状态方程计算轴端变形 和固有和固有频率频率 。这时，问题归结为：求 的值使质量最小，并满足条件：第15页/共103页第十六页，共104页。【例【例2.3】热压机机架结构】热

15、压机机架结构(jigu)的优化设计的优化设计热压机是用来压制胶合板、纤维板、刨花板等平板制品的一种液压机。某重型机器厂生产(shngchn)的6450t热压机的主体由8架16片框板平行组装而成，每片框板的结构尺寸及受力状况如图（a）（b）所示：以质量最小为目标的优化设计以质量最小为目标的优化设计：第16页/共103页第十七页，共104页。【例【例2.3】热压机机架结构】热压机机架结构(jigu)的优化设计的优化设计1.1.设计设计(shj)(shj)变量变量取是个设计取是个设计(shj)(shj)变量来描述框板的外形尺寸和厚度，如图变量来描述框板的外形尺寸和厚度，如图(c)(c)所所示。即示。

16、即图（C）图（d） 图(e)图（d）为图（c）的有限元剖分图，图（e）是优化前的应力分布图第17页/共103页第十八页，共104页。【例【例2.3】热压机机架结构】热压机机架结构(jigu)的优化设计的优化设计2.2.目标函数目标函数(hnsh)(hnsh)取单片框板的质量取单片框板的质量3.3.约束函数约束函数第18页/共103页第十九页，共104页。【例【例2.3】热压机机架结构】热压机机架结构(jigu)的优化设计的优化设计第19页/共103页第二十页，共104页。第20页/共103页第二十一页，共104页。本章内容：本章内容：小位移弹性理论的基本方程小位移弹性理论的基本方程(fngch

17、ng)小位移弹性理论的能量原理小位移弹性理论的能量原理第21页/共103页第二十二页，共104页。一、应力一、应力(yngl)分量分量在弹性体内，作用在其截面上的某一点应力(yngl)可分解成两个分量，即垂直该面的正应力(yngl)和作用在该面的切应力(yngl)。切应力(yngl)可沿其作用面的两上坐标方向分解成两个分量。例如右图中，在截面 上，一点的应为:第22页/共103页第二十三页，共104页。应力的正负方向符号规则：应力的正负方向符号规则：若背离作用面的拉应力为正应力，则朝向若背离作用面的拉应力为正应力，则朝向(cho xin)作用面的压应力为负应力。这样，在作用面的压应力为负应力。

18、这样，在 面面上正应力与坐标轴方向一致，而上正应力与坐标轴方向一致，而 面上，正应力与面上，正应力与坐标轴方向相反。切应力的符号和正应力的正负有关坐标轴方向相反。切应力的符号和正应力的正负有关。如果正应力的正方向与坐标轴的正方向相同，则和。如果正应力的正方向与坐标轴的正方向相同，则和另外两个坐标轴的正方向相同的切应力规定为正的切另外两个坐标轴的正方向相同的切应力规定为正的切应力；如果正应力与坐标轴的方向相反，正的切应力应力；如果正应力与坐标轴的方向相反，正的切应力方向也应与其他两个坐标轴的方向相反。方向也应与其他两个坐标轴的方向相反。ABC D因此(ync)，弹性体内的九个应力分量是既有大小、

19、方向，又有其作用面的向量。它们可以写成矩阵的形式：第23页/共103页第二十四页，共104页。二、力的平衡二、力的平衡(pnghng)微分方微分方程程1.1.外力外力(wil)(wil)一般来说，作用在物体上的外力一般来说，作用在物体上的外力(wil)(wil)可以分为两类：表面力、体积力。可以分为两类：表面力、体积力。表面力表面力分布在物体表面上的力分布在物体表面上的力（如梁上的载荷、液体静压力等）都是表面力都是表面力。它们在 三个坐标轴上的投影分别有 表示，它们都是单位面积上的力。体积力体积力分布在物体体积中的力分布在物体体积中的力（如重力、离心力、惯性力等）都是体积力都是体积力。它们在三

20、个坐标轴上的投影分别用 表示，它们是单位体积上的力。X、 Y、 Z第24页/共103页第二十五页，共104页。2.内力内力(nil)与应力：与应力：受外力作用，物体内部各截面之间产生附加内力，用一截面截开物体，其中一部分对另一部分的作用，表现(bioxin)为内力，它们是分布在截面上分布力的合力。过M点取截面的一部分，面积为S，作用于其上的内力为F ，平均集度为F/S，其极限为SFPSn0lim为物体在该截面上A点的应力。第25页/共103页第二十六页，共104页。点的应力状态：一点(y din)所有截面的应力矢量的集合取一个(y )微小的六面体：xxyxzyxyyzzxzyz独立应力分量：x

21、yyxyzzyxzzx Tyzxzxyzyxxyzo第26页/共103页第二十七页，共104页。3.3.任意任意(rny)(rny)斜截面上的应力斜截面上的应力O点应力状态：斜截面的法线方向(fngxing)余弦： Tyzxzxyzyxnmln设S为ABC的面积，则OBC=lS OCA=mS OAB=nS设h为O点至斜面ABC的高， ABC的法线方向的单位矢量可表示为 ： n = l i+ m j + n k ),cos(),cos(),cos(znnynmxnl第27页/共103页第二十八页，共104页。微四面体在应力矢量(shling)和体积力作用下满足平衡条件，由x方向的平衡可得： 03

22、bxyxyxxxFShmSmSlSSp对于(duy)微分四面体单元，h与单元体棱边相关，为趋近于零的极小量，因此同理 第28页/共103页第二十九页，共104页。4.平衡平衡(pnghng)微分方程微分方程微小六面体边长 dx, dy, dz单元体的体力(tl) X, Y, Z应力是位置坐标的函数，所以xdxfdxxffffzyxzydxxxzyx222),(),(),(! 21dxxdxxffxxzyx),(第29页/共103页第三十页，共104页。平衡(pnghng)微分方程示意图第30页/共103页第三十一页，共104页。静力平衡静力平衡(pnghng)(pnghng)条件条件 平衡平衡

23、(pnghng)(pnghng)微分方程微分方程dxdydzzdxdzdyydydzdxxFzxzxyxyxxxx00Xdxdydzdxdydxdzdydzzxyxx0bxzxyxxFzyx00bzzyzxzbyzyyxyFzyxFzyx第31页/共103页第三十二页，共104页。三、应变三、应变(yngbin)分量及应变分量及应变(yngbin)和位移的关系和位移的关系1.应变应变(yngbin)应变(yngbin)反映局部各点相对位置的变化，与应力直接相关。棱边的伸长和缩短棱边之间夹角变化点的应变矢量:xyzxyyzzx正应变切应变 Tzxyzxyzyx点的应变状态也是坐标的单值连续函数第

24、32页/共103页第三十三页，共104页。2.位移位移(wiy)物体内部各点空间位置发生变化 M(x,y,z) M(x,y,z) 位移：刚体(gngt)位移 变形位移点的位移矢量: Twvu位移(wiy)是点的坐标的单值连续函数第33页/共103页第三十四页，共104页。3.应变和位移应变和位移(wiy)关系关系微六面体：MA=dx MB=dy MC=dz第34页/共103页第三十五页，共104页。3.应变和位移应变和位移(wiy)关关系系dxxudxudxxuumaamAMzwyvxudxdxxudxMAMAAMzyx因此第35页/共103页第三十六页，共104页。切应变(yngbin)与位

25、移：yxxyxyyuyvyudyyvdydyyuxvxuxvdxxudxdxxvxyxyyxyx1tan1tanzuxwzvywyuxvxyyzxy因此因此(ync)：第36页/共103页第三十七页，共104页。3.应变和位移应变和位移(wiy)关系关系空间几何空间几何(j h)方程方程：zuxwzvywyuxvxyyzxyzwyvxuzyx由几何方程(fngchng)可知，已知位移函数u,v,w，则该点应变分量确定。 但是，应变分量确定，无法求出位移分量。第37页/共103页第三十八页，共104页。设 ex =3x,ey =2y,gxy =xy,ez =gxz =gyz =0,求其位移(wi

26、y)。解：xxux3yyvy2)(232yfxu)(2xgyvxyxgyfyuxvxy)( )( 显然该应变分量没有对应的位移。要使这一方程组不矛盾，则六个应变分量必须满足一定的条件。以下我们(w men)将着手建立这一条件。 第38页/共103页第三十九页，共104页。变形协调方程也称变形连续方程，或相容方程。描述六个应变分量之间所存在的关系式。同一平面内的正应变与剪应变之间的关系（3个）： 从几何(j h)方程中消去位移分量，第一式和第二式分别对y和 x求二阶偏导数，然后相加可得)(22222yuxvyxyxxyyxxy2zxxzzyyzyxxyxzzxyzzyxyyx2222222222

27、22222变形协调变形协调(xitio)方程方程第39页/共103页第四十页，共104页。变形协调变形协调(xitio)方程方程不同平面(pngmin)内的正应变与剪应变之间的关系(3个）：将几何方程的四，五，六式分别对z，x，y求一阶偏导数前后两式相加并减去中间一式，则zyuxzyyzxyxz22对x求一阶偏导数(do sh)，则 zyxzyxxyzxyxz22)(yxzyxzzxyxzyzyxzyxzxyzxyzyzxyzxyxyzxyzx2222)(2)(2)(第40页/共103页第四十一页，共104页。四：应力和应变四：应力和应变(yngbin)的关系的关系应力应变关系属于材料性能称为

28、物理方程或者本构方程单向拉伸或者扭转应力应变关系可以(ky)通过实验确定 单向拉伸实验可以(ky)测出弹性模量E 薄壁管扭转实验可以(ky)测定剪切弹性模量G复杂应力状态难以直接通过实验确定第41页/共103页第四十二页，共104页。杆受拉沿受力方向引起伸长，同时垂直于力方向则引起缩短，实验证明(zhngmng)，在弹性范围内有 泊松比，也称横向变形系数。 取一个单元体，在各正应力作用下，沿轴方向的正应变：)(E1 E x321zyxzyxxxxEEmmmxym第42页/共103页第四十三页，共104页。剪应变： )2(1EGG m为剪切弹性模量，其中，Gxyxy广义广义(gungy)(gun

29、gy)虎克虎克定律：定律： 第43页/共103页第四十四页，共104页。写成矩阵形式： 物理方程(fngchng)简记为 其中，为弹性矩阵，它完全取决于弹性系数和。第44页/共103页第四十五页，共104页。一、应变一、应变(yngbin)能能弹性体受到外力作用时，发生变形，物体变形时相对应的内力(nil)所做的功称为应变能（或内力(nil)位能）。假定从弹性体中截出一单元(dnyun)平行六面体，计算作用在单元(dnyun)边界上的功。1）首先假设单元(dnyun)体上只作用有 ，如图x第45页/共103页第四十六页，共104页。所以(suy)，单元体所做的净功为：2）同理可假设）同理可假设

30、(jish)，单元体受，单元体受 两个正应两个正应力时，力时，yx和第46页/共103页第四十七页，共104页。第47页/共103页第四十八页，共104页。第48页/共103页第四十九页，共104页。3）切应力）切应力(yngl) 作用下的单元体作用下的单元体xy如右图，作用在单元体边界上的于 ，在此作用力方向上的位移(wiy)为 。则，应变能为：第49页/共103页第五十页，共104页。由上节应力由上节应力(yngl)和应变的关系，弹性体的总应变能可完全由应力和应变的关系，弹性体的总应变能可完全由应力(yngl)表示为：表示为：或者可完全由应变或者可完全由应变(yngbin)表示为：表示为：

31、二、外力二、外力(wil)位能和系统总位能位能和系统总位能总位能：总位能：弹性结构系统从实际状态实际状态运动到某一参考状态参考状态（通常取结构的卸载状态作为参考状态）时它的所有作用力所做的功。总位能包括内力位能（即应变能）和外力位能。外力位能：外力位能：弹性结构系统外力所做的功第50页/共103页第五十一页，共104页。外力位能是结构从它的最终位置（实际状态或守在状态）运动到初始状态外力位能是结构从它的最终位置（实际状态或守在状态）运动到初始状态（参考状态或卸载状态），结构上每一个（参考状态或卸载状态），结构上每一个(y )外力做的功，所以为负值外力做的功，所以为负值。其中其中(qzhng)，

32、 是已知的那一部分边界是已知的那一部分边界s第51页/共103页第五十二页，共104页。式中，式中， 为作用为作用(zuyng)在结构上的外力分量，在结构上的外力分量， 是相应是相应的位移列阵。的位移列阵。 TxyziFFFF q所以所以(suy)，弹性结构在外力作用下的总位能：，弹性结构在外力作用下的总位能：第52页/共103页第五十三页，共104页。若内力若内力(nil)位能用位移法表示：位能用位移法表示：则，总位能可表示则，总位能可表示(biosh)为为第53页/共103页第五十四页，共104页。三、最小位能原理三、最小位能原理(yunl)和最小余能原理和最小余能原理(yunl)变形(b

33、in xng)弹性体的总位能：其中，位移其中，位移 （u,v,w）是满足连续条件（几）是满足连续条件（几何条件和位移已知的边界条件）的任意单值何条件和位移已知的边界条件）的任意单值连续函数，是泛函连续函数，是泛函 的容许函数，即可以有的容许函数，即可以有许多组不同的值。因此，不同组的（许多组不同的值。因此，不同组的（u,v,w）中，总会有一组值使得）中，总会有一组值使得(sh de)泛函取得泛函取得最小值最小值 。物理意义上讲，如上图，若有梁受外力F而变形，可设想满足变性条件连续的前提下，它有多种变形曲线的可能 。但总有一条是真正的变形曲线，其他满足变形连续条件的可能变形曲线则是，它的接近曲线

34、 。从变分原理考虑，这条真实变形曲线是泛函 取得极值， 计算出来的。也就是说，总位能取极值的条件总位能取极值的条件 所给出的真实位移，此时总位能最小，即所给出的真实位移，此时总位能最小，即“最小位能原最小位能原理理”。第54页/共103页第五十五页，共104页。最小位能原理也可叙述为：与精确解（真实最小位能原理也可叙述为：与精确解（真实(zhnsh)位移）相应的位能小于任何其他可能位位移）相应的位能小于任何其他可能位移的位能。移的位能。最小余能原理可叙述为：与精确解（真实应力）相应最小余能原理可叙述为：与精确解（真实应力）相应(xingyng)的余能小于与任何人其的余能小于与任何人其他满足平衡

35、条件（包括外力已知的边界条件）的可能应力相应他满足平衡条件（包括外力已知的边界条件）的可能应力相应(xingyng)的余能。的余能。虚位移：假定的、在约束条件允许范围内，弹性体可能发生的、任意的、微小的位移虚位移：假定的、在约束条件允许范围内，弹性体可能发生的、任意的、微小的位移，只说明位移产生的可能性，必须满足变形，只说明位移产生的可能性，必须满足变形(bin xng)(bin xng)协调条件和几何边界条件。协调条件和几何边界条件。虚位移原理（虚功原理）：虚位移原理（虚功原理）：若弹性体在已知的面力和体力的作用下处于平衡状态，那么使弹性体产生虚位移时，所有作用在弹性体上的外力在虚位移上所做

36、得虚功等于弹性体所具有的虚变形势能。第55页/共103页第五十六页，共104页。1.1.位移位移(wiy)(wiy)、应变和应力、应变和应力应变表达式应变表达式位移位移(wiy)表达式：表达式：应变应变(yngbin)张量：张量：应力应力应变关系应变关系（由胡克定理得到）：第56页/共103页第五十七页，共104页。2.2.弹性体的平衡弹性体的平衡(pnghng)(pnghng)方程方程3.3.边界条件边界条件第57页/共103页第五十八页，共104页。4.4.由虚功原理写出弹性体总能量由虚功原理写出弹性体总能量(nngling)(nngling)的平的平衡式衡式记记则有则有：第58页/共10

37、3页第五十九页，共104页。本章内容：本章内容：机械结构形状优化设计问题的数学模型机械结构形状优化设计问题的数学模型弹性弹性(tnxng)(tnxng)结构形状优化设计中的敏度分析结构形状优化设计中的敏度分析敏度分析的物质导数方法敏度分析的物质导数方法机械结构形状优化设计问题的求解方法简介机械结构形状优化设计问题的求解方法简介第59页/共103页第六十页，共104页。一、目标一、目标(mbio)函数函数机械结构优化设计的目标函数通常是寻求具有最小质量、体积或其他的性能指标，如最小位移(wiy)、应力、频率等。例如例如：最小余能原理中，当弹性结构结构总位能最小四，求满足弹性结构的真实变形曲线。所

38、以，弹性结构的能量可作为设计性能的评价指标，即优化设计的目标函数，此目标函数可写为：二、设计变量二、设计变量在机械结构优化设计过程中，需要进行修改调整的那些结构参数称为设计变量需要进行修改调整的那些结构参数称为设计变量。如机械构件的长度、截面尺寸、某些点的坐标值等几何量几何量，质量、惯性矩、力或力矩等物理量物理量，应力，变形、固有频率等代表工作性能的导出量。导出量。第60页/共103页第六十一页，共104页。由于“结构形状”的含义不仅限于结构外表面形状，以及弹性结构形状优化理论和分析方法从无限(wxin)维连续型问题发展到有限维离散问题。因而，设计变量也不断发生变化：早期(zoq)后来接下来采

39、用边界节点坐标作为形状设计变量使用直线和圆弧设计边界，采用六节点或八节点等参单元进行结构分析采用二维等参数单元，描述单元形状的多项式系数为设计变量，使用惩罚函数法等进行板壳结构的形状优化设计采用Bezier曲线、B样条曲线以及三次样条曲线等描述边界形状和结构形状是，可以用相应的型值点和顶点作为设计变量第61页/共103页第六十二页，共104页。三、约束条件三、约束条件结构优化设计必须结构优化设计必须(bx)满足某些设计限制条件，才能被工程实际所接满足某些设计限制条件，才能被工程实际所接受，这些限制条件称作约束条件，简称约束。设计人员根据实际条件受，这些限制条件称作约束条件，简称约束。设计人员根

40、据实际条件给定的可称为点约束，具有上下限的约束称为侧面约束或边界约束。给定的可称为点约束，具有上下限的约束称为侧面约束或边界约束。四、机械结构相撞四、机械结构相撞(xin zhun)优化设计的数学模型优化设计的数学模型例：例：采用有理EE和EB样条方法描述结构边界形状的形状优化数学模型，说明离散化的结构形状优化的泛函形式。分析分析：由于有理EE和EB 样条方法形成曲线曲面是通过整体形状控制参数 和局部控制参数 及控制顶点和控制插值型点 实现的，而在形状优化设计中，区域结构的形状作为优化设计的变量，因此34k 、kijijr设计变量为：设计变量为：第62页/共103页第六十三页，共104页。目标

41、目标(mbio)函数及约束条件为：函数及约束条件为：第63页/共103页第六十四页，共104页。2021-12-13机械结构形状机械结构形状(xngzhun)优化设计问题的数学模型可表述如优化设计问题的数学模型可表述如下：下：求控制变量和状态变量，使性能指标目标(mbio)泛函取极值第64页/共103页第六十五页，共104页。优化设计过程由于有限元或边界元分析方法的引入，就需要解决特有的单元剖分技术。不仅于此，在参数优化时，函数的导数提供了最优方向(fngxing)的信息，它是参数优化的重要基础。同样地，在形状优化时，泛函的变分提供状态变量的变化趋势，它也为设计指明了方向(fngxing)、

42、提供了信息，它是形状优化的重要基础。 这种泛函的变分或求导又称为 “灵敏度分析”（简称敏度分析） 。五、敏度分析五、敏度分析(fnx) 从优化设计的角度来说， 形状设计的敏度分析应该是状态变量对形状的敏度，形状设计的敏度分析应该是状态变量对形状的敏度， 而不是形而不是形状设计参数的敏度。状设计参数的敏度。 第65页/共103页第六十六页，共104页。一、弹性结构一、弹性结构(jigu)的物质导数的物质导数如图所示的区域 ，其边界为 , 。 若 内某点由于时间的作用而产生(chnshng)一个移动到达 ,则相应地有区域 和边界 ， 。可认为，始时刻 t=0时区域是 ， 时刻移动到，变动为 。tx

43、ttttxt设只有一个参数t定义移动，则可写出：可理解为设计速度区域变化图：第66页/共103页第六十七页，共104页。上式略去(l q)二次项得：所以(suy)有：从泛函意义上讲，设函数 是一个弹性问题的连续解，且在 上计算的。则根据导数定义，在 上有utxx此时的t是定义初始形状和现实形状之间的移动参数，或称“形状设计参数”第67页/共103页第六十八页，共104页。在t=0时， 的全微分(wi fn)，可写成：如果我们用 表示弹性体的某点相关的一个量，则 就是用质点(zhdin)的坐标空间坐标x 来表示的某种导出量的函数式。则 就反映了“弹性连续体区域 变化到 对 的影响程度”。它定义为

44、“物质导数”。也就是说，物质导数是用来描述它的形状变化所引起的弹性结构性能的变化之间的关系。=g,u x ttddtt这样，第68页/共103页第六十九页，共104页。二、物质导数二、物质导数(do sh)的变分形式的变分形式对于(duy)一般的泛函：式式第69页/共103页第七十页，共104页。变形区域(qy)的分布区分图若函数(hnsh)G是可微的， 泛函 对速度场V也是可微的，则 可取的一阶变分为对微小的t，可用所示的已变形区域的分布区分图写出：（式）（式）因此，式可改成：第70页/共103页第七十一页，共104页。对于(duy)微小的t， 。这里的ds是沿 的微小弧长（或面积）。则上式

45、可化为：dd ,ddsttV n stV n 当t=0时：式式第71页/共103页第七十二页，共104页。则式可化为：式式式的第一项表示状态变化 的影响(yngxing)，第二项表示法向边界扰动 的影响(yngxing)。也就是说，式是最初的泛函式由于状态变化 和法向边界扰 导致的区域 变化的表达式。VnuuVn若定义边界的法向扰动（微小(wixio)移动）为：则式可简化为：式式式就是物质导数的变分表达式式就是物质导数的变分表达式第72页/共103页第七十三页，共104页。物质物质(wzh)导数的两种不同表达式：导数的两种不同表达式：其中， 是一个定义(dngy)在上的正规函数，H是 中 的曲

46、率和 中的二次平均曲率。tg2H3R第73页/共103页第七十四页，共104页。由上节可知物质导数(do sh)的变分形式为：为了把物质(wzh)导数 的变分表达使用单一的形状变化 来表达，需把式中的 用 来表示，即需要用形状变化 表述状态变化 。下面有两种方法来处理这个问题：直接法用 直接代入上式中，直接算出由于设计变量的变化引起的应力、应变、和位移场等的变化。物质(wzh)导数法DuDDuduutt第74页/共103页第七十五页，共104页。一、形状设计一、形状设计(shj)敏度分析的计算式敏度分析的计算式形状最优设计的第一步是研究形状的变化(binhu)与泛函变分之间的关系，二维或三维区

47、域 ，假设其边界 足够光滑，则可定义外法线向量n。定义 为区域变形的速度场，其中 。V XX首先，推导目标泛函 的敏度分析计算式0=d引入根据虚位移原理的能量表达式：可得到：式式 第75页/共103页第七十六页，共104页。此外(cwi)，还需引入第一节的式 0,00uxtV xxvvxV xv xvvv V当考虑到若在边界 上则在 上u时，对满足边界条件的 可写为: 和 = dd d ;ndddG uG uG uG u VDtV nV nt物质导数变分形表达式+D包含两个部分:一部分是区域 的变分另一部分是边界 的变分，。我们分两种情况进行分析：式式（1）对于定义在边界上的泛函）对于定义在边

48、界上的泛函 ，可通过高斯积分公式把它转变成对体积，可通过高斯积分公式把它转变成对体积(tj)的积分或者的积分或者由变分的定义导出其一阶变分，得：由变分的定义导出其一阶变分，得： dG u V n第76页/共103页第七十七页，共104页。式中，H边界(binji)曲率。（2）对于区域）对于区域部分，可从式进行分析。通过式进行微分计算并将式分别部分，可从式进行分析。通过式进行微分计算并将式分别(fnbi)代入，可得到一个可计算的敏度分析计算式：代入，可得到一个可计算的敏度分析计算式：式式式式式式第77页/共103页第七十八页，共104页。式式将式式 代入式得：式得：式式第78页/共103页第七十

49、九页，共104页。由式式和式式可得：=U-W对于弹性结构，其总能量泛函式，则经过上述分析计算，可以得到弹性结构总能量泛函式的敏度分析计算式：式式第79页/共103页第八十页，共104页。二、位移型泛函和应力二、位移型泛函和应力(yngl)型泛函的敏度计算型泛函的敏度计算1.位移位移(wiy)型泛函的敏度分析型泛函的敏度分析 d=d,d,kkkkkkkxxu xuxx u xawxxwwawx位移约束的泛函表达式为：取一阶变分，得：定义伴随变量（协态变量） 为变分方程:的解， 为满足位移边界条件的虚位移。为满足位移边界条件下单位载荷作用于处的虚功泛函。式式第80页/共103页第八十一页，共104

50、页。 0,0u xuXV Xuu xu xwu xw在位移边界条件中，在边界 上有则必然有。表明同虚位移 一样满足边界条件。所以可以用来求式，得到：, v用 代换虚位移则：第81页/共103页第八十二页，共104页。 00=0TTiluuu VV 当不计体力，且面力的作用边界上速度为零时，或边界无表面作用力，则。又根据式可证明。又和，可得到：上式可进一步化简为：第82页/共103页第八十三页，共104页。2.应力应力(yngl)型泛函灵敏度分析的变分方法型泛函灵敏度分析的变分方法应力(yngl)约束型泛函，考虑在整个区域 上采用同一材料，则约束泛函可写为：假定边界足够光滑，对上式取物质导数得到：w的解，式中 和 满足位移边界条件，可得：式式第83页/共103页第八十四页，共104页。=uuw因为 同样满足边界条件，式 中取，在式 中取v，则变分方程可得到：式式三、设计速度三、设计速度(sd)场的计算场的计算在计算设计速度场时，主要的方法有有限差分析法，等参映射法、边界位移和虚载荷(zi h)法、等参映射和边界位移的混合方法。第84页/共103页第八十五页，共104页。有限差分析法通过计算初始有限元网格和边界扰动后的有限元网个节点坐标差，产生设计速度场。等参映射法基于空间分解生成有限元网