重叠面积及动点问题

1、重叠面积及动点问题1、已知 ABC中，/ B=90° , AB=8cm , BC=6cm ,边长为 2的正方形 EFGH的EF边在 直线AB上且点F与点A重合，当正方形 EFGH沿AB方向以每秒1cm的速度运动， 设运动时间为t秒，正方形EFGH与 ABC重叠面积为S,求S与t的函数关系式，并 写出自变量的取值范围。2、如图，在 Rt ABC 中，/ C=90°, AC=8 , BC=6，点 P 在 AB 上，AP=2 ,点 E、F 同时 从点P出发，分别沿PA、PB以每秒1个单位长度的速度向点 A、B匀速运动，点E到达点 A后立刻以原速度沿 AB向点B运动，点F运动到点B

2、时停止，点E也随之停止.在点 E、 F运动过程中，以 EF为边作正方形 EFGH，使它与 ABC在线段AB的同侧.设E、F运 动的时间为t/秒(t>0),正方形EFGH与ABC重叠部分面积为 S.(1) 当时t=1时，正方形EFGH的边长是 1 .当t=3时，正方形EFGH的边长是 4 .(2) 当0v tv矛寸，求S与t的函数关系式；5、如图，在梯形 ABCW, AD/ BG Z B= 90° , BV6, AA 3, Z DC序 30° .点 E、F同时3、如图，矩形 ABCD中，AB=6 , BC=2, J，点O是AB的中点，点 P在AB的延长线上，且BP=3

3、. 一动点E从O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿 OA匀速运动，到达A点后，立即以原速度沿 AO返回；另一动点F从P点发发，以每秒1个单位长度的速度沿射线 PA 匀速运动，点 E、F同时出发，当两点相遇时停止运动，在点 E、F的运动过程中，以 EF 为边作等边 EFG ,使 EFG和矩形ABCD在射线PA的同侧.设运动的时间为t秒(t习.(1) 当等边 EFG的边FG恰好经过点C时，求运动时间t的值；(2) 在整个运动过程中，设等边EFG和矩形ABCD重叠部分的面积为 S,请直接写出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；(3) 设EG与矩形ABCD的对角线AC的交点为H,是否存在

4、这样的t,使 AOH是等腰 三角形？若存大，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由.(第4题)A f 08 F F4、如图，Rt ABC中，Z C=90 °, BC=6, AC=8 .点P, Q都是斜边 AB上的动点，点 P从B向A运动(不与点 B重合)，点Q从A向B运动，BP=AQ .点D , E分别是点 A, B 以Q, P为对称中心的对称点， HQ ± AB于Q,交AC于点H .当点E到达顶点A时，P,Q同时停止运动.设 BP的长为x, HDE的面积为y.(1) 求证： DHQs ABC;(2) 求y关于x的函数解析式并求 y的最大值;(3) 当x为何值时， HDE为

5、等腰三角形？ 从B点出发，沿射线 BC向右匀速移动.已知F点移动速度是 E点移动速度的2倍，以EF为 一边在CB的上方作等边 EFG设E点移动距离为x (x> 0).EFG勺边长是 (用含有x的代数式表示)，当x = 2时，点G的位置在 ;若 EFE梯形ABCtS叠部分面积是 y,求 当0v xV 2时，y与x之间的函数关系式； 当2v xV 6时，y与x之间的函数关系式；探求中得到的函数 y在x取含何值时，存在最大值，并求出最大值 .6、如图9,在直角坐标系 xoy中，O是坐标原点，点 A在x正半轴上，OA= 12/3cm，点B在y轴的正半轴上，OB=12cm ,动点P从点O开始沿OA

6、以2<3cm/s的速度向点A移 动，动点Q从点A开始沿AB以4cm/s的速度向点B移动，动点R从点B开始沿BO以 2cm/s的速度向点 。移动.如果P、Q、R分别从O、A、B同时移动，移动时间为 t ( 0vt v 6) s.(1) 求Z OAB的度数. . . * .(2) 以OB为直径的O。与AB交于点 M,当t为何值时，PM与。O 相切？(3) 写出 PQR的面积S随动点移动时间t的函数关系式，并求s的最小值及相应的t值.(4) 是否存在 APQ为等腰三角形，若存在，求出相应的t值，若不存在请说明理由.7、如图1，在平面直角坐标系中，已知点A(0,4j3)，点B在x正半轴上，且AB

7、O=30 '.动 点P在线段AB上从点A向点B以每秒J3个单位的速度运动，设运动时间为 t秒.在x轴 上取两点 M , N作等边 PMN .(1) 求直线AB的解析式；(2) 求等边 PMN的边长(用t的代数式表示)，并求出当等边 PMN的顶点M运 动到与原点O重合时t的值；(3) 如果取OB的中点D，以OD为边在Rt AOB内部作如图2所示的矩形ODCE ,点C在线段 AB上.设等边 PMN和矩形 ODCE重叠部分的面积为S ,请求出当0 < t < 2秒时S与t的函数关系式，并求出 S的最大值.8、(2012 重庆)已知：如图，在直角梯形 ABCW, AD/ BC /

8、B=90° , AD=2, BC=6 AB=3. E 为BC边上一点，以 BE为边作正方形 BEFG使正方形 BEFGD梯形ABCE BC的同侧.(1) 当正方形的顶点 F恰好落在对角线 AC上时，求BE的长；(2) 将(1)问中的正方形 BEFG替BC向右平移，记平移中的正方形 BEFC为正方形B' EFG 当点E与点C重合时停止平移.设平移的距离为 t,正方形B' EFG的边EF与AC交于点M, 连接B' D, B' M DM是否存在这样的t ,使 B' DM是直角三角形？若存在， 求出t的值； 若不存在，请说明理由；(3) 在(2)问的平

9、移过程中，设正方形 B' EFG与ADC重叠部分的面积为 S,请直接写出 S与t之间的函数关系式以及自变量t的取值范围.重叠面积及动点问题答案1、解：解:3 2(1) S =疽(0 E2);83t -38(2) S = (2 a<-)；2 33 2 725 8(3) S = -t2 t (826 3，、八14(4) S =4(寻：t £8);3(5) S =2t -16(8 ：t 50).2、解：（1）当时t=1时, 正方形EFGH的边长是当 t=3 时，PE=1, PF=3,正方形EFGH的边长是则2；4；PE=1, PF=1,(2):当0 < t£时

10、,S与t的函数关系式是 y=2t-22t=4t ；当kV t号时,11 5S与t的函数关系式是:2y=4t 一牧阳“ t）铲二成2+Hf 3；当T：v tv犯;S与t的函数关系式是:131y=5 (t+2)(t+2) 一 % (2 t) (2 t),3、解：（1）当边 FG 恰好经过点 C 时，/ CFB=60° , BF=3 - t,在 Rt CBF 中，BC=2,BCtanZ CFB=捉,即 tan60=奇解得BF=2,即3-t=2, t=1, .当边FG恰好经过点C时,R(2) 当 0V杠 1 时，S=2| V+4'iS=- 4 t+20,S=：12 "+36

11、理由如下：在Z CAB=30（3）存在.Rt ABC 中，tan Z CAB=。=- > /ID IHAE= / AHE=30 ,. .AE=HE=3 - t或 t- 3,1）当AH=AO=3时，（如图），过点1 3E作 EM ±AH 于 M，贝U AM=%AH=S， £ L在 Rt AME 中，cosZ MAE-cos30或 t=3+2）当 HA=HO 时，（如图）则 / HOA= / HAO=30° ,又.HEO=60 , . EHO=90 , EO=2HE=2AE ,又. AE+EO=3 , . . AE+2AE=3 , AE=1 ,3）当 OH=OA

12、 时，（如图），则Z OHA= / OAH=30° ,Z HOB=60 = / HEB, 点 E 和点 O 重合，综上所述，存在5个这样的t值，使 AOH是等腰三角形，即t=3 一时或t=3+，或t=2或t=2 或 t=0.4、解：（1）A、D关于点Q成中心对称，HQ ± AB,2HQD =/C=90° , HD =HA ,2HDQ =NA , 3分. .DHQs ABC. 1 分(2)如图1,当0 <x <2.5时,3ED = 10 -4x , QH= AQ tanZA =- x , 4,k n4133215c八此时 y= (10_4x) x x =

13、 _x+一 x. 3分2424当X =2时，最大值y =.4 32如图2,当2.5<x苴5时，3ED= 4x -10 , QH= AQ tan ZA =- x ,41 33 9 15此时 y =-l(4x -10)x-x =-x x . 2 分2 42475当X =5时，最大值y =4< 315-x2 + x(0 < x < 2.5), y与x之间的函数解析式为 v = < 24-x2 一一 x(2.5 <x<5).I 24y的最大值是 1分4(3) 如图1,当0 < x M2.5时，若 DE=DH, DH=AH= QA =-x , DE = 1

14、0 -4x ,cosZA 410 -4x = -x, x= 421显然ED=EH, HD = HE不可能； 1分如图2,当2.5 <x M5时，540右 DE=DH, 4x -10 = X , X=;411若HD=HE,此时点 D, E分别与点B, A重合，X =5; 1分若 ED=EH, WA EDHsHDA,5XED DH4x-1Q_ 4x=320 1 分DH AD '5 2x 103 'x4.当x的值为 鲤 5 时， HDE是等腰三角形.21 ' 11 ' 1035、解：x , D点；3分 当OvxW 2时， EF诳梯形ABC啪部，所以y=x2; 6

15、分分两种情况：I .当2 v xv 3时，如图1,点E、点F在线段BC上, EFG梯形ABC西叠部分为四边形 EFNM / FNAZ FC/ 30° , FNk FO 6 2x.二 G 3x 6.由于在 Rt NMG, Z 8 60° ,所以，此时y= 如x2一 捡 (3x 6) 2= _7x2+箜 x_瓯. 9分48822n .当3<x<6时，如图2,点E在线段BC上，点F在射线CH上， EFE梯形ABC西叠部分为 ECPE= 6 x,3 , 八 、23 23 39 3 y =(6 x) = g x _ 2 乂+ 2 11分当0v x< 2时，, y=

16、x2在x>0时，y随x增大而增大，4x = 2 时，y 最大=J3 ;当 2< x < 3 时，. y一至lx2+9ilx-瓯在*=些时，y 笙；82277当3V x < 6时，y= ilx23x+竺3在x v 6时，y随x增大而减小,822x = 3时，y最大=取3 . 12分86、解：(1)在 Rt AOB 中：OB123tan Z OAB= =户=OA 12、33/ OAB=30 °(2)如图10,连接OP, O M.当PM与O相切时，有/ PM O = Z PO O =90'一一' PM O =A PO O由(1)知Z OBA=60 &

17、#176; O M= O B O BM是等边三角形B O M=60 °可得 Z O O P=Z M O P=60° OP= O O tan Z O O p=6 x tan60° =6/3又. OP=2、.3t2屈=6/3 , t=3即：t=3时，PM与OO相切.(3)如图9,过点Q作QELx于点E/ BAO=30 ° , AQ=4t QE= 1 AQ=2t2=2 3t/3AE=AQ - cos Z OAB=4t X2 OE=OA-AE= 12、. 3-2.31.Q 点的坐标为(12J3-2J3t, 2t)SPQR= S OAB -S OPR -S APQ

18、 -S BRQ=1 12 12.3-1 2,3t (12-2t) - 1 (12 3 -2、3t) 2t - 1 2t(12.3 - 2，3t)2222=6 3t2 -36.3t 72 3=6囱-3)2 +183(0vtv6)图11当t=3时,& PQR 最小=183(4)分三种情况：如图 11.当 AP=AQ 1=4t 时，. OP+AP= 12.32.3t+4t=12 . 3t= 63<3 2或化简为t=12、. 3-18当 PQ2=AQ2=4t 时过 Q点作Q2D ± x轴于点D, PA=2AD=2A Q 2 - cosA= 4 3t即 2.3t+4.3t =12

19、.3. t=2当PA=PQ3时，过点P作PH± AB于点HAH=PA - cos30 = (12V3-2V3t) - *'=18-3t2AQ3=2AH=36-6t得 36-6t=4t ,t=3.6综上所述，当t=2, t=3.6 , t=12j3-18时，APQ是等腰三角形 7、解：（1）直线AB的解析式为：y = x + 4j3.3（2）方法一，t£AOB=90 NABO=30AB = 2OA = 873,AP=/3t ,二 BP=873-x/3t,VA PMN是等边三角形，MPB =90丁 tanPBM =耍，二 PM = （8后而）汉立=8 t .PB3方法二

20、，如图1，过P分别作PQ _L y轴于Q , PS上x轴于S ,1 、. 3t可求得AQ AP =，2 2PS =QO =4 ,3 -空,. PM |4 3卜 3 =8-t,2 2x2当点M与点O重合时,NBAO =60二 AO =2AP .二 t =2 .(3)当0< t < 1时，见图2.设PN交EC于点H ,重叠部分为直角梯形 EONG,作 GH _LOB 于 H .二，ZGNH =60=, GH =23,HN =2 ,PM =8 -t ,.BM =16-2t ,OB =12 ,.ON =(8-t) -(16-2t -12) =4 t ,OH =ON -HN =4 t - 2

21、 =2 t =EG ,1 一 .S = 2(2 t 4 t) 2、.3 =2、3t 6、3 .S随t的增大而增大，二当t=1时，翥大=8j§.当1 <t <2时，见图3.设PM交EC于点I ,交EO于点F , PN交EC于点G ,重叠部分为五边形 OFIGN .方法一，作 GH _LOB 于 H，: FO=4J3 2石，EF =2、3 -(4、.3 -2、3t) =2.3t -2、.3 ,. EI =2t -2 ,S =S弟形ONGE -SAfei =2.3t '-2)(2、.3t-2 .3) = -2、3t2 6 3t 4、32方法二，由题意可得 MO=42t,

22、 OF=(42t) . 3 , PC = 4 . 3 - . 3t , PI=4t,再计算& FMOa4"3SA PMN 3232= (8-t) , Se = (4 -t)44S = S/ pmn SA PIG SA FMO2(4 -t)2(42t)2、32=-2归2 +6构+4妨:2j3<0, 当 t = 3 时,2S有最大值，S最大17、. 32即N与D重合，PD交EC于点G ,重叠部 见图4.IMNG ,P C当 t =2时，MP =MN =6,设PM交EC于点I ,分为等腰梯形22综上所述：当0<t < 1时，S = 2而+6屈(M)D(N) b(图

23、4)当 1 <t <2 时，S=-2® +6s/3t+4V3 ；当 t=2 时，S=8j3考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质；直角梯形。解答：解：（1）如图, 设正方形BEFG勺边长为x, 贝U BE=FG=BG=x. AB=3 BC=6 . .AG=AB BG=3 x,. GF/ BE> AAGA ABCABF'即，00解得：x=2,即 BE=2;(2)存在满足条件的t ,理由：如图，过点 D作DM BC于H,贝U BH=AD=2 DH=AB=3由题意得：BB' =HE=t, HB =|t - 2| , EC=4t ,在 Rt B

24、' ME 中，B' M2=ME+B' E2=22+ (2 - It ) 2=lt2 2t+8 , 24. EF/ AB. MEA ABC四卫，即耍上1,AB'BC 3 一 6ME=? t ,2在 Rt DHB 中，B' D 2=dH+B' H2=32+ (t - 2) 2=t2- 4t+13 ,过点M作Ml DH于N,贝U MN=HE=t NH=ME=2 t , DN=DH NH=3- (2 - -t) =A+1 ,22在 Rt DM町，DM=DN+MN=§t2+t+1 ,4(l) 若Z DB M=90，贝U DM=B' M2+B' D2,即 2t 2+t+1= (It2 2t+8 ) + (t2-4t+13 ),44解得：t=",7()若/ B' MD=90，贝U B' D2=B' M2+dM,即 t2 - 4t+13= (-t2- 2t+8 ) +(-t 2+t+1 ),44解得：t1 = - 3+扪斤，t2 = - 3-M3 (舍去)，t= - 3+M7；(m)若/ B' DM=90，贝U B' M2=B