六逆滤波和维纳滤波

1、实验六逆滤波和维纳滤波SC07023017 陆金星一、实验内容1 :先由原始图像(任选)产生待恢复的图像；(产生方法如下：冲激函数为(X y2)7 240h(x, y) = e ( y，将原始图像与冲激函数卷积产生模糊，然后再迭加均值为0,方差 为8，16，32的高斯随机噪声而得到一组待恢复的图像;2：分别用逆滤波和维纳滤波恢复上面图像。实验图像：Camerama n.bmp、实验原理【退化模型】图像恢复需要根据一定的图像退化模型来进行，一个简单的通用图像退化模型如下图所示，在这个模型中，图像退化过程被模型化为1个作用在输入图像 f(x, y)上的系统H，它与1个加性噪声n(x, y)的联合作

2、用导致产生退化图像g(x, y)。根据这个模型恢复图像也就是要在给定g(x, y)和H的基础上得到对 f (x, y)的某个近似的过程(这里假设已知n(x, y) 的统计特性)。n(x, y)f(x,y) h g(x,y)一维情况：设f (x)中x的取值范围是0,1，A-1，h(x)中x的取值范围是0,1，B-1，为了 避免卷积的各周期重叠(设每个采样函数的周期为 M)，取M，并将函数用零扩展补齐。用fe(x)和(x)表示扩展的函数，它们的卷积为：M 4ge(x)八 fe(m)he(xm) ne(x)可以用矩阵形式表示为：一 ge(0)1一 he(0)he(T)' 77+ge(1)he

3、(1)he(0)g =H f + n =:aa卫e(M -1)一 e(M -1) he(M - 2)m =0he(M 1)fe(0)ne(0)he( M +2)fe ne(1)aasIIhe(0)fe(M 1)一 n e(M1)_根据d(x)的周期性可知 入(x) = h(x M )，所以上式中的H可进一步写成:_ he(0)he( 1)he(1)着he(1)he(0)he(2)H =:a+aLhe(M -1)he(M -2)he(0) 一二维情况：由一维情况可以推广到二维情况，得到：ff (x,y)0 兰x 兰 A 1 和 0 兰 y 兰 B1fe(x，y)=!%(x, y)h(x, y)0

4、又可以得到:M dN Jge(x,y)二fe(m, n)he(x m,y -n) ne(x, y)m0 n z0x =0,1; ,M -1y =0,1; ,n -10A_x_M-1 或 B_y_N-10_x_C-1 和 0_y_D-1C _ x _ M -1 或 D _ y _ N -1可以用矩阵形式表示为:HoH1H M JHoaH M J2H1fe(0)H； Ife(1)H0 Je(MN -1) ne(0)1n e(1)a卫(MN 1)_其中每个Hi是由扩展函数h(x, y)的第i行而来:he(i,0)he(i,N1)he(i,1)lhe(i,1)he(i,0)he(i,2)山e(i,N1

5、) he(i,N2)he(i,0)f的计算量会很大，可以通过对角化H来【循环矩阵对角化】直接从 H f n的表达式中计算以求解简化。对于一维循环矩阵，可以将 H的M个本征矢量组成1个M M的矩阵W，jkj(M -4)k TW 二w(0), w(1), ,w(M -1)其中 w(k)二1,eM , ,e M k=0,1； ,M-1,1这样可以将H写成H =WDW ，D是对角矩阵，元素是 H的本征值。对于二维块循环矩阵，定义1个MN MN的矩阵W，其每个元素为：jS imW(i,m) =e M WN，i,m =0,1，,M -1，其中WN为1个N N的矩阵，其每个元素为:2：j kn. 1Wj(k

6、,n)=eM ，k,n =0,1; ,N-1，这样可以将 H 写成 H 二WDW 。将循环矩阵对角化应用与退化模型计算，可以有Wg二DWfWJn ,令u =0,1，,M -1,v =0,1，N -1，则以下各式成立:、1 MV /、_ -o fux vy)G(u,v)ge(x,y)exp-j2二MN x =0 y=0V.M1 MNJ-fuxvvYIF(u,v)fe(x,y)exp-j2二MN Xz0 yA|_(MN 丿、1 :/、 -o fuxvy)N(u,v)ne(x,y)exp-j2二MN xm y占VMN丿1 m a n j./ ux vy 绍H(u,v)d(x,y)exp -j2二MN

7、 xa y士_VMN 刀M N ux而D的MN个对角元素可表示为：D（k,i ）=MN " &,km°d N0如i = k，将如i = kMN 并入 H(u,v)，得到 G(u,v)二 H (u,v)F(u,v) N(u,v)u =0,1； ,M -1v =0,1； ,N -1上式说明，求解退化模型的大系统方程， 只需计算很少几个 M N的傅里叶变换就可以了。由n = g - Hf，在对n没有先验知识的情况下，寻找1个f的估计值f，使n的模或范数最小：n2 t丿=nn = g_Hf2=g H f j g - H f ,这样可把恢复问题看作是AA对f求式L f g H

8、f的最小值，将 L对f求微分并设结果为零，再设_1H 存在，可得无约束恢复公式:汽T 4 T-1T J Tf二HH Hg=H H Hg二Hg当选取f的1个线性操作符 Q（变换矩阵），使得Q f 最小。设丨为拉格朗日乘数，要2找到最小化准则函数 L f = Q fl g - Hf | n $的f ,可得到有约束恢复公式（令tH sQTQ HTg。【逆滤波】逆滤波是一种无恢复约束，设M =N，则将H二WDW代入f'=：H Jg可以得到，f 二 Hg =(WDW J) Jg =WD JWJg，如将上式两边乘以 W J 得到：DJW1g。 式中各个元素能写成形式：F(u,v) = G(u,v)

9、，这种恢复方法称为逆滤波。H(u,v)将H(u,v)看作1个滤波函数，则它与F(u,v)的乘积是退化图像 g(u,v)的傅里叶变换。用H(u,v)去除G(u,v)就是1个逆滤波过程。将F(u心就的结果求反变换就得到恢复后的图像：如心如沪說:)，实际为了减小噪声的影响以及防止H (u,v)取零或很小的影响，将恢复转移函数r k M (u.v)取为 M (u.v)二1/H(u.v)且d选的较小为好。如H(u.v)乞 d其它，其中k和d为小于1的常数,【维纳滤波】设Rf和Rn分别是f和n的维纳滤波是一种有约束恢复， 是一种最小均方误差滤波器, 相关矩阵，则Rf =WAWJ，尺=WBW，其中A和B中的

10、元素对应 Rf和R中的相关元素的变换，代入有约束恢复公式，可以得到：f -(HtH sRf Rn) HTg =(WD DW sWA BW ) WD W g也可以写成如下形式:F?(u,v)二-1H(u,v)|H(u,v)H(u,v)2 s|Sn(u,v)/Sf(u,v)G(u,v)其中，Sn(u,v)和Sf (u, v)分别是fe(x, y)和ne(x, y)的功率谱，可通过 FFT变换后模 值的平方求得。上式中，如果s =1,则方括号中的项就是维纳滤波器；如果s是变量，就称为参数滤波器；当没有噪声时，Sn(u,v)=0，维纳滤波器退化为逆滤波器。三、实验程序实验程序包含1个.m文件exp_6.m执行文件，完成图像模糊与图像恢复功能，并给出实验结果具体程序内容在程序内有注释，实验时直接运行exp_6.m即可完成上述实验内容。四、实验结果与分析【模糊噪声图】Cameraman.bmp模細并蒂有方差为苗高斯随机噪声的图像模糊并带有方差为竝高斯随机噪声的图像模糊并带有方差为8高斯随机噪声的图像【逆滤波恢复结果】Cameraman.bmp逆滤波恢复结果噪声方垂B）逆滤波恢复结果噪声方差花）【维纳滤波恢复结果】逆滤波恢复结果噪声方差力）Cameraman