内切球和外接球例题

1、高考数学中的内切球和外接球问3.求多面体的外接球的有关问题x12d心到底面的距离2 . 外接球的题一、直接法（公式法）1、求正方体的外接球的有关问题例1若棱长为3的正方体的顶点 都在同一球面上，则该球的表面积为 . 27 .例2 一个正方体的各顶点均在 同一球的球面上，若该正方体的表面 积为24，则该球的体积为 . 4 韻.2、求长方体的外接球的有关问题例3 （ 2007年天津高考题）一个 长方体的各顶点均在同一球面上，且 一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3， 则此球的表面积为 14 .例4、（ 2006年全国卷I ）已知各 顶点都在一个球面上的正四棱柱高为 4，体积为16，则这个球的表面积

2、为（）.C.A. 16B.20例5. 一个六棱柱的底面是正六 边形，其侧棱垂直于底面，已知该六 棱柱的顶点都在同一个球面上，且该9六棱柱的体积为8，底面周长为3, 则这个球的体积为解设正六棱柱的底面边长为 x，6x 3,9 G 3 2.6 x h,咼为h，则有841 r _正六棱柱的底面圆的半径 2，球半径 Rr2 d2 1二、构造法（补形法）1、构造正方体例5 （ 2008年福建高考题）若三 棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长 均为3，则其外接球的表面积是 . 9C. 24D.32解 据题意可知，该三棱锥的三 条侧棱两两垂直，.把这个三棱锥可以补成一个棱长为 3的正方体，于是正方体的外接球就是

3、三棱锥的外接球 设其外接球的半径为R，则有22R.3 273 2R294 .故其外接球的表面积S4 R29小结 一般地，若一个三棱锥的 三条侧棱两两垂直，且其长度分别为 a b、c,则就可以将这个三棱锥补成 一个长方体，于是长方体的体对角线 的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R，则有2R -.a2 b2 c2 .出现“墙角”结构利 用补形知识，联系长方体。【例题】：在四面体曲中，共 顶点的三条棱两两垂直，其长度分别 为 '丘，若该四面体的四个顶点在 一个球面上，求这个球的表面积。解：因为：长方体外接球的直径 为长方体的体对角线长所以：四面体外接球的直径为、的长即：40+

4、罗+r用=16所以R = 2球的表面积为4衣二伽例6. 一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此 球的表面积为（）A. 3 B. 4 C.33D. 6解析：一般解法，需设出球心，作出高线，构造直角三角形，再计算 球的半径.在此，由于所有棱长都相 等，我们联想只有正方体中有这么多 相等的线段，所以构造一个正方体， 再寻找棱长相等的四面体，四面体A BDE满足条件，即AB=AD=AE=BD=DE BE V2，由此匕 可求得正方体的棱长为1，体对角线为 ''3，从而外接球的直径也为3，所以此球的表面积便可求得，故选 A.例7 .在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2，

5、DAB=60 0， E 为 AB 的 中点，将ADE与BEC分布沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则三棱锥P-DCE的外接球的体积为().4、3A.27B.2至C.8D.24解析：因为 AE=EB=DC=1 ,DAB二 CBE二 DEA=60 0，所以AD AE=EB=BC=DC=DE=CE=1，即三 棱锥P-DCE为正四面体，至此，这与 例6就完全相同了，故选C.例8 .已知球0的面上四点A、B、C、D, DA 平面 ABC，AB BC， DA=AB=BC=，则球0的体积等于解析：本题同样用一般方法时， 需要找出球心，求出球的半径而利用 长方体模型很快便可找到球的直径， 由于DA 平

6、面ABC，AB BC，联想 长方体中的相应线段关系，构造长方 体,又因为DA=AB=BC=3，则此长方体为正方体，所以CD长即为外接球的 直径，利用直角三角形解出 CD=3.故9球0的体积等于2 .2、构造长方体例9.已知点A、B、C D在同一 个球面上，AB 平面BCD，BC DC， 若AB 6,AC=2 '、13,AD=8，则球的体积 是解析：首先可联想到例8,构造下面的长方体，于是AD为球的直径，0 为球心，0B=0C=4为半径，要求b、C 两点间的球面距离，只要求出BOC即可，在Rt ABC中，求出BC=4，所 以BOC=600，故B、C两点间的球面4距离是3三. 多面体几何性

7、质法例1 0.已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为 4,体积为16, 则这个球的表面积是A. 16 B. 20C. 24 D. 32解 设正四棱柱的底面边长为 x ,2外接球的半径为R，贝y有4x 16，解ASC是以AC为斜边的RtACV2R 妊22 42 2屈R 76.2这个球的表面积是4 R 24 .选C. 小结 本题是运用“正四棱柱的体对 角线的长等于其外接球的直径”这一 性质来求解的.四.寻求轴截面圆半径法例11.正四棱锥S ABCD的底面边长和各侧棱长都为-2，点S、A、B、C、D都在同一球面上，则此 球的体积为.解 设正四棱锥的底面中心为01，外接球的球心为0 ,如图1所示.

8、 .由球的截面的性质，可得001 平面 ABCD .又S01平面ABCD，.球心0必 在S01所在的直线上.ASC的外接圆就是外接球的 一个轴截面圆，外接圆的半径就是外 接球的半径.在ASC中，由SA SC V2, AC 2，得外接圆的半径，也是外接球的半径五.确定球心位置法例11.在矩形ABCD 中,AB 4, BC 3ABCD的夕卜的体积为125A.125C. 612D.沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角，则四面体125B. 9C接球1253设矩形对角线的交点为0 ,则由矩形对角线互相平分，可知0A 0B 0C 0D . .点0到四面体的四个顶点A B、C、D的距离相等,即点0为四面体的外接球的球心，二R 0A 5外接球的半径2 .故、，4 吊 125V球 R6 .选 C.【例题】：已知三棱锥的四个顶点都在球0的球面上，貝B丄且/<4 = 7 PB = 5 尸何必1。求球o的体积