八年级数学上册1.3《探索三角形全等的条件》巧用全等三角形证明线段相等素材(新版)苏科版

1、巧用全等三角形证明线段相等三角形全等是证明线段相等、角相等的重要工具，而掌握三角形全等的判断方法，一方面可以培养同学们的逻辑推理能力，另一方面又可以为今后的进一步学习作好准备。为帮助 大家顺利掌握利用全等三角形证明线段相等的有关知识，现举几例供大家参考（一）利用“ SAS 判定两三角形全等，从而得到线段相等例 1.如图，已知点 B 是线段 AC 的中点，且有 DB= EB,/ EBAHDBC.试说明 AD=CE成立的理由。解：点 B 是线段 AC 的中点（已知）， AB=CB（线段中点的意义）.又/ EBA/ DBC 已知 ）,/DBA/ DBEF/ EBA/ DBEF/ DBC/ EBC.在

2、厶 ABD 和厶 CBE 中:AB=CB ,!DBA= EEBC（已知）,DB=EB（已知）.ABDACBE（ SAS . AD=CE（全等三角形的对应边相等）评注：本例的解题依据是有一个角和夹这个角的两边对应相等的两个三角形全等（简称为“边角边”）。（二）利用“ ASA 判定两三角形全等，从而得到线段相等例 2 .如图，已知/ ABC=/ DCB / ABD=/ DCA 试说明解：V/ABC=/ DCB / ABD=/ DCA （已知 ）./ABC-/ ABD =/ DCB- / DCA（等式的性质） ，即/ DBC=/ ACB.在厶 ABC 和厶 DCB 中：DBC= ACB,BC=CB

3、（公共边），ABC= DCB（已知）.ABCADCB（ ASA .图AC=DB 成立的理由。2 AC=D（全等三角形的对应边相等）3评注：本例的解题依据是有两个角和这两个角的夹边对应相等的两个三角形全等（简称为角边角”）。（三）利用“ AAS 判定两三角形全等，从而得到线段相等例 3.如图，已知 ABC 中，/ ACB=90，且 AC=BC 过点 C 作- 条射线CELAE于 E,再过点 B 作 BDLCE 于 D.试说明 AE=CD 成立的理由。解：/ ACB=90 （已知）,/2+Z3=90.又 CELAE BDLCE（已知）, / AECMCDB=90 （垂直的意义）/1+ Z2=90,

4、/仁/ 3 （等式的性质）在厶 ACE 和厶 CBD 中： 壬 1 = 3,!AEC= ECDB,AC=CB（已知）.ACEACBD（ AAS . AE=C（全等三角形的对应边相等）评注：本例的解题依据是有两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简称为“角角边”）。（四）利用“ HL判定两直角三角形全等，从而得到线段相等例4.如图， 已知 ABC是等腰三角形， BD CE分别是 ABC两腰 上的高线， 试说明 BE=CD成立的理由。解：/ ABC 是等腰三角形（已知）， AB=AC（等腰三角形两腰相等） .1 1又SABCABCE AC BD（已知）， CE=B（等式的性质）.在 R

5、t BCE 和 Rt CBD 中:CE=BD,BC=CB（公共边）.BC图4 Rt BCE Rt CBD（ HL）5 AE=C（全等三角形的对应边相等）评注：本例的解题依据是一一有斜边和其中一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简称为斜边直角边”）。（五）综合运用多次全等，也能得到线段相等例 5.如图， 已知 AB=AC DB=DC E 是 AD 延长线上的任一点.试说 明 BE=CE成立的理由。解：在厶 ABD 和厶 ACD 中：AB=AC（已知）,DB=DC（已矢知）,AD=AD（公共边）. ABDAACD（ SSS ./ADBMADC（全等三角形的对应角相等），/BDE=180-ZAD

6、B=180-ZADCMCDE. 在厶 BDE 和厶 CDE 中：DB=DC（已知）,土 BDE=. CDE,DE=DE（公共边）.BDEACDE（ SAS . BE=CE（全等三角形的对应边相等）评注：用三角形全等来证明线段相等，如果直接全等不能得证，则一般可以考虑进行多次全等。两点说明:1、当待证线段所处的图形与线段的中垂线有关时，一般可利用线段中垂线的性质（线 段中垂线上的点到线段两端点的距离相等）直接得出两线段相等。例 6.已知如图， ABC中， AB=AC BE=CE D是 AE上任一点.试说 明 DB=DC成立的理由。解: /AB=AC BE=CE（已知）， AE 是等腰 ABC 的

7、底边 BC 的中垂线（等腰三角形三线合一） .又点 D 在 AE 上（已知）， DB=D（线段中垂线上的点到线段两端点的距离相等）图6评注：本例如果先判定厶 ABEAACE 然后再去判定 BDEACDE 或厶 ABDAACD则问题也能得解，但相对而言，利用线段中垂线的性质直接得到线段相等显然要简单得多。2、当待证线段所处的图形与角平分线有关时，一般可利用角平分线的性质（角平分线上的点到角两边的距离相等）直接得出两线段相等。例 7.已知如图，在 ABC 中，/ B=ZC, ADL BC 于 D, DEL AB 于DF 丄 AC 于 F,试说明 DE=DF 成立的理由。解：/B=ZC, ADL BC（已知）， AD 是等腰 ABC 的顶角/ BAC 的平分线（等腰三角形三线合一）又点 D 在 AD 上，且 DEL AB DFLAC （