2019年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题

1、02019 年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题1 设集合A =y| y二a21| a N, B = y | y二b210| b N,则 B 中元素的个数为A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D.2 某次数学测试分为选择题与非选择题两部分，右边的散点图中每个点(X,Y)表示一位学生在这两部分的得分，其中 X 表示该生选择题得：分，丫表示该生非选择题得分，设 Z 二 X Y 表示该生的总分，现有 11 位学生的得分数据，根据散点图，下列判断正确的是()A. X 的方差丫的方差B.X 的中位数Y 的中位数C. X 的众数丫的众数D.Z的中位数=X的中位数+Y 的中位数3已知X 1表示不超过

2、x 的最大整数，如 3.11 = 3,若xo是方程x = 8的实数根，则A. 0. Xo: 1B.1：Xo：2C. 2 x0：3D.4.已知函数f(x)= Asin(，x J (A 0,，0)的图象与直线y二a (0：a：A)的三个相邻交点的横坐标分别是 2，4，8，则f (x)的单调递减区间是()A. 6k 二,6k： 3】,k Z B.6k-3,6kl,k ZC. 6k,6k 3】,k Z D.6k 二-3,6k 二 l,k Z()大于 3 个0幼40B005.若映射 f : 1,2,3,. 1,2,3,.?， 满足:f(1)： ：f： :f(3)：.：f(n)且f (f(x) =3x，那

3、么f(1)的值为A. 1B. 2C. 36 .已知四边形 ABCD，AC 是 BD 的垂直平分线，4垂足为 E，C 为直线 BD 外一点.设向量CB=3，则(OA OC )(B CD-)的值是(A. 8 B.16C. -8 D.-16=5，427.a是一个常数，函数f(x) =x4笃1的值域不可能是()x+x+1.A.B.3(a 2),1C.1,3(a 2)D.2_ag(a 2)8.若aE(0,=) ,m =(cosa)log2Sirlct, n =(cosa)log2CSct, p = (sina)l0g2C0,则 m,n, p 的 4大小关系为()A.m = pn B.m = p：nC.m

4、 p n D.m n pcos1cos2cos3Jcos899.求：sin 46sin 47+ - 7- +. +sin 48 sin134；()A.89、2B.892C.90、2D.90. 22 210若函数f (xx2axb有两个不同的零点为兀，3：为：x2：4,那么在A BY ,则实数a的取值范围是.2=x 兰 0112设 f(x)=，则f(f() =Jog2xXA0213如图执行右面的程序框图，那么输出的S 值为.14在标有数字1,2,3.,10,11,12的 12 张大小相同的卡片中，依次取出不同的三张卡片它们的数字和恰好是3 的倍数的概率是.15在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，

5、设向量OA=(1,2)，OB =(2, -1)，若OP二xOA yOB且仁x乞八2，则点 P 所有可能的位置所构成f (3), f (4)两个函数值中A.只有一个小于1B.至少有一个小于144C.都小于1D.可能都大于丄44填空题：本大题共7 小题，每小题 7 分，共 49 分.已知集合 A-x| -1 _x 1，B =| x - a 0，若开J = f + 140 1结的区域面积是16某学生对函数f(x)=2xcosx的性质进行研究，得出如下的结论:1函数 f(x)在 1-7：,0 上单调递增，在 0,二 1 上单调递减；2点,0是函数y = f (x)图像的一个对称中心；23函数y = f

6、(x)图像关于直线x =：对称；4存在常数 M 0，使If (x) 0时，贝 U 0 x：1，g(x) =1，当x1时，贝 U 1 乞 x：2 ，1 g(x) 2，当x2时，则 2 乞 x：3 ，4乞g(x)：9,4.B 解：；相邻交点的中点的横坐标分别为 3，6,则周期 T=6，二3 f(x)=Asin(xJ，又f(2)=f(4) 0，-当 x=3 时，f (x)取最大值,3r3 二即f(3)=Asi n(二J=A，2k：，k Z， f(x)二 Asi n(x)232f (x)的单调递减区间为6k -3,6k, Z选 B5.B 解：由f(f(1) =3，可知1 f(1)乞3若f(1) =1，

7、则f(f(1) = f(1) =1，与f(f)=3矛盾，不可能;当)-3 时,则 3 乞 x：427 zg(x)：64 ,=22若f(1)=2，则f(f(1) = f=3若f (1) =3，贝U f (2) _4, f(3) _5与3二f(f(1)= f( 3) _5矛盾，不可能6.B 解：(OA OC)L(OB -OD)T T T T T T = (OE EA OE EC)L(OB -OD)= 2OEOB-OD) (EAECDB= (0B OD)L(OB -OD) =16选 B1当 a =1 时，f(x)=1；当 a：1时，(a 2 f (x) 131当 a 1 时，1 f (x) (a 2

8、); 选 D38. A 解：log2m = log2cosa log2sin。，log2n = log2cos。log2coslog2P=log2sin：log2cos :又由：;三(0, )，得 0 sin 二 cos ； 1，log2sin爲log2COSH” 0 47log2m = log2p log2n,m =p n 选 Acos1 + cos2 * cos3” * cos89sin 46、sin 47 sin 48sin 134=289-!(tan(-44)tan(Y3)ta门厶禹二822 2 2另解： （利用诱导公式配对求cos：cos(90 -：) cos：sin：sin cos

9、：- -f- - -f-sin(45 S) sin(135)sin(45 S) sin(45匕二)sin(45“鳥)cos1 cos 2 cos3cos89sin 46 sin 47 sin 48sin134*7. D 解:422x ax 1 (a -1)x42142139. A解:；cos：sin(45 *)cos：cos(45“ -：)2=22rr.1Ajcos1 cos89cos44 cos46cos45-( ).( )-sin46 sin134 sin 89sin 9T sin 90、X2=，则f(= 4)=|J；394令X1晋，&弓，则f( 3)=|冷1 1，”4)7选B另解

10、：设f (x) =(X _Xi)(X _X2)，贝Uf(3)=(3-ff=(3-Xi)(3 -X2)(4 -Xi)(4-X2)= (Xi- 3)(4 -Xi)( X2- 3)(4X 3+4 X2/ x? 3 + 4 x?、2 :(116，所以，至少有一个小于11.1213.a _12204620472i，-i 1解：(-输出S =1_押20462-1204714.翌55解：按被 3 除的余数进行分类，A二 3,6,9,12? , A 一 1,4,7,10),A 2,5,8,11依次取出不同的三个数，使它们的和恰好是3 的倍数的概率1|55P=4 3 2 3 4 4 4 3 212 11 101

11、5.52解：作OG =2OA,T TOE =2OBOF =2OA 2OBM,N为OF,EF中点，贝 U P 在 MNF 内,5面积为5216.解：f(x)=2xcosx为奇函数，则函数f (x)在l-,0 1,0,二 1 上单调性相同，所以错;f(0) =0, f(二)=-2二，所以错;f(0)-0, f(2二)=4二，所以错;f(x)|2x cosx = 2x cosx 兰 2 x，令 M =2，所以对.选1010. B 解：(用特殊值来排除)令X1二一,317.6 -沖乞6、2解：由(xi-6)2 3 4 5 6 7 8(沟-6)2. (xio-6)2二20,得：x；x；. x；012(X

12、x2. x10) 360 = 20222即x1x2 . x10= 380设捲必，.化的平均数为a,X6,X7,.,为0的平均数为 b，则 b = 12-a 结合方差定义 (捲- a)2(X2- a)2 . (X5- a)2一02 2 2 2展开得：X1X2.x-2a(X1X2. X5) 5a - 0即xfx|.xf-2a 5a 5a2_ 0,xfx|. xf_5a2,同理x；x；.x：_ 5b2=5(12-a)2得：xf x；. x：_ 5a25(12-a)2，即380 _ 5a25(12 - a)2a2-12a 34 _0得6 -2 _ a _ 6, 2另解：(运用柯西不等式)设X1, X2

13、,., X5的平均数为a，X6,X7,., X10的平均数为 b，则b =12-a由222(X1X2. X5)22由x-ix2. X55a，222(x6X7.X10)22x6x7. x105b 5(12a)5得：x：x；. x：_5a25(12 - a)2，即380一5a25(12 - a)2a2-12a34 0得6 2辽a乞62918.(本题满分15 分)已知向量 a = (sinx,1),b= (sinx ,cos ,)设函数8f(x)二乩b x：=l0,二 1(1) 求f(x)的单调区间；(2)若f(x)=0在区间0,二1上有两个不同的根，求cos(-：“)的值.548二 sin2X c

14、osx -賓仁 cos2X cosx 丄一 cos2x cosx88121.f(x) - -(cosx )2 8令 t 二 cosx ,当3时，且“神为减函数又吩在夕上时减函数，f(x)在上上是增函数当x，二时，-仁 tJ，且 cosx 为减函数132?又 f (t) =-(t -1)2在-1,-上时增函数，.f(x)在 ，二上是减函数 282：3综上，f(x)的单调区间为0,-，訂1 1由W得,-cos2x cosr0，即cos2x-cosx8“1令 t 二 cosx，则cos ,cos:是方程 t2-10 的两个根，从而81 cosu * cos - 1,cos：cos :8sin2二ki

15、n2- - (1 - cos2：)(1 -cos2：) = 1 - (cos2二1cos2:) cos2：Leos2:17 =1(cos t cos:)22cos：Lcos：cos2：Jcos :64sin：sin： =17，cos(二；) =cos：Lcos ?sin:sin：二11782121另解：由f(x)=O得，-cosxosx0，即 cosx-cosx 08 8才肚、几2-逅R2+庞ntI不妨设cos,cos,则44解：(1) 7f(x).10-4 248cosp-)=cos：Lcos：sin：in :19. (本题满分 16 分)已知正实数 x,y，设 a 二 x，b =、x87x

16、y y9 10.(1)当y =1时，求b的取值范围;a2(2)若以a,b为三角形的两边，第三条边长为c构成三角形，求的取值范围.xy解：(1)由题设知，x 二 a-1，且 a=x1 .18(2)设=k，则 c 二 k xyxy所以 b _ J(a 一1)+7(a_1)+1a25a - 51)2-9a 2401又 a = x 11： (0,1)a结合二次函数的图像知15(1-1)2旦 9a 244故彳的取值范围为1,3x：7x - J5xx 2x 1. x 2x1；x 2x得b的取值范围为1,3aR：xy 辽xy7yxvyx枯寺亠，恒成立kx y7_xy2Vy x vy x:C (x y)加恒成

17、立, cx27xy y2-(xy)即，k .(X y) .；x27xy y2k x27xy 丄2_ (x y)Jxy x27x1另解：-af(x) - f(y) 0,f (x) - f (y)令-=t，由于y=t*在 1,畑)是增函数，令f(t) = Jt+ jt气+2，则f(t) = , t；7, t *2八盲=5八卜A7一卜2= I 15兰1寸t+f+7十Jt+22.1：F：5,1：k : 25，得 的取值范围为1,25xy上的函数，同时满足下列条件:(2)g(1)=f(0), g(2) =f(-2)；f(n 3)g(n 1)1f(n 2)g(n)l ，试求：(1) 证明：任意x, r R

18、，x=y，都有f(x)f(y);:：0；x y(2) 是否存在正整数n，使得g(n)是 25 的倍数，若存在，求出所有自然数n；若不存在说明理由.解：(1)当x二y=0时，f (0) = f (0) f (0)，. f(0)=0，f(0)=1若f(0) =0，则得f(x)二f(x 0) = f(x)f(0) =0，不可能，舍去.f (0) = 1若 x：y，则,x-y：0,f(x-y) 1，f (x) = f (x - y) f (y) f (y)，20.(本题满分 20 分)设f (x)是定义在实数R 上的函数，g(x)是定义在正整数N(1)任意x,yR，有f(x y) =f(x)f(y)，当 x：0 时，f(x) .1且f (-1)=冷5；g(n 2)U当 x 0 时,f(x)二1f(x)1，得,0：f (x)：1. f(x) 0,x R(3)0同理，若 x y ,纹凹O任意x,y.R, x = y，都有竺空小x yx _ y(2) ：g(i)= f(o)=i,g(2)= f(一