2014第十四届中环杯五年级决赛详解

1、第十四届中环杯五年级决赛一、填空题(每小题 5 分，共 50 分)1. 计算：11.99X73+1.09X297+1 X(32-12)【分析】原式 =11X1.09X73+1.09X11X27+4=11X1.09X100+4=1199+4=12032. 420X814X1616 除以 13 的余数为【分析】420X814X1616 三 4X8X4 三 128 三 11(13)3. 五年级有甲乙两班，甲班学生人数是乙班学生人数的5/7,如果从乙班调 3 人去甲班，甲班学生人数就是乙班学生人数的4/5,甲班原有学生人【分析】原来人数比为甲：乙 =5: 7=15: 21，人数调整后人数比为甲：乙 =

2、4 : 5=16 : 20 ,前后 两次总人数不变，因此将总人数变为(5+7),(4+5)=36 份，比例调整如上，发现人数调整为 1 份，因此 1 份为 3 人，所以甲班原有学生 15X3=45 人。4.已知 990X991X992X993=966428 A91B40，则AB=_【分析】由于 99 丨 990，所以 99 丨966428A91B40所以 99 丨 96+64+28A9 1B40 宀 99 丨AB+247 宀 505.如图，面积为 60, E、F 分别为和上的点，满足3, 3,点 D 是线段上的动点，设的面积为 S1, 的面积为 S2,贝 U S1XS2的最大值为.AB AC

3、3S1 2时，即 D 为中点时,S1XS2最大为 20X20=400/所以1宀 S12=403和一定时，差越小，积越大，所以当6如图，在每个方框中填入一个数字，使得乘法竖式成立，则这个算式乘积的最大值和最小值的之差为xDin 0 4,由fg=6+3k k 31由 5 丨矗5 丨 6+ 2k k 的个位为 2 或 7而bc=6 是个质数，所以 k 为奇数，且不能是 3 的倍数于是 k 的个位为 7,且在 431 之间，且不能是 3 的倍数所以，k 的取值可能有 7、17当 7 时，6,bc=13,de=20,fg=27，符合要求，此时debc=2013当 17 时，6,bc=23,de=40,f

4、g=57,符合要求，此时debc=4023综上，debc=2013 或 40239.如图 a,7 个汉字写在图中的7 个圆圈中，要求从某一个圆圈开始，沿着线段一笔画这个图形（所有圆圈都要走到，而且只能走一次），将这个一笔画路径上的字连成字串（如图b,从“中”开始一笔画，得到的字串为“中环难杯真的好”）。那么能够组成的不同字串有个。从中到难后，有 2 条：中难环杯真的好，中难好的真杯环从中到环，有 8 条：中环难杯真的好，中环难好的真杯，中环杯难真的好，中环杯难好的真, 中环杯真难好的，中环杯真难的好，中环杯真的难好，中环杯真的好难所以，从中到好，也有 8 条因此从中开始的路线有 18 条因此，

5、从环、杯、真、的、好、难开始的路线也有18 条从难开始，第一步有 6 种选择，以后有顺时针、逆时针 2 种选择，所以，从南开始的字串有 12 条综上，共有 18X6+12=120 条不同的字串DF 1一10.如图两个正方形，点 H 是中点， 一 连结、，正方形的面积为 m 平方厘米，阴DC 3影部分的面积为 n 平方厘米，已知 m、n 都是正整数，且 m 有 9 个约数，则正方形的边长 为厘米。【分析】如下图，连结不妨设两个正方形的边长为 a1 1 2由已知， 一，一，233【分析】 从中出发， 组成的字串有:因为/,所以GM jAG丄DF AD 2GM -a61所以-3数，所以 22X52=

6、100所以正方形的边长为 10 厘米。二、动手动脑题（每小题 10 分，共 50 分，除第 15 题外请给出详细解题步骤）11.两人同时从两地出发，相向而行，甲每小时行12.5 千米，乙每小时行 10 千米，甲行 30分钟，到达恒生银行门口，想起来自己的信用卡没有带，所以他原速返回A 地去拿卡，找到卡后，甲又用元素返往 B 地，结果当乙达到 A 地时，甲还需要 15 分钟到达 B 地，那么 A、 B 间的距离是多少厘米？【分析】甲花了半小时到达恒生银行门口，又原速返回，所以回到A 地时，又用了半个小时，再加上找卡的半小时，当甲再次出发时，乙已经走了1.5 小时假设乙从 B 地到 A 地共用时

7、1.5 小时1HIMH由沙漏，1HI IDIDDF所以SHIF1SHDF11SHDC12232SGECD21 m12ENBE11因为/, 所以EN-aCFBC231所以16HJHN11由沙漏，HJJCJCCF44所以SHJIFSHCF1 2SHDC12 1SSGECD55 353 2113所以nmm -m12152015m 为 20 的倍数，即 m 含有质因子 2、5，又 m 有 9 个约因为均为正整数，所以A-/则甲从 A 地到 B 地需用 t 小时加 15 分钟，即丄小时4可列得方程:10(1.5)=12.5X(-)4解得4 191所以 A、B 间的距离为 12.5 X（上+_ ） =62

8、.5 千米。4412.如果一个数的奇约数个数有 2m个（m 为自然数），则我们称这样的数为 中环数”，比如 3 的奇约数有 1,3，一共 2=21,所以 3 是一个“中环数”。再比如 21 的奇约数有 1,3,7,21,4=22, 所以 21 也是一个中环数。我们希望能找到 n 个连续的中环数。求 n 的最大值。【分析】将一个数分解质因数，得到Np；1p；2p：n，则这个数约数的个数为a11 a21an1而事实上，一个数的奇约数个数也可以用类似的求法由于乘法中遇偶得偶，所以将一个奇数分解质因数，那么得到的质因子均为奇数所以将一个数分解质因数，得到N 2：p；2p：n（a1可以为 0）则 N 的

9、奇约数个数为；21 a31an1现在我们要写出连续的 n 个数，使得每个数均有a21a31an1=2m首先证明 nW17观察如下三个数：32k,32k 1,32k 2易知，k , 1, 2 中有且仅有 1 个是 3 的倍数所以32k,32k 1,32k 2这三个数中，有两个数分解质因数的形式为：N 2；032p；1p：n（ao可以为 0）形如这样的数，奇约数个数为3 a11an1不可能是 2 的幕，即不符合要求2 2 2因此3 k,3 k 1,3 k 2这三个数中至少有 2 个不符合要求即连续 3 个 9 的倍数中，至少有 2 个数不是“中环数”若 n18，易知，其中必有 2 个 9 的倍数，

10、其中必有 1 个不是中环数因此，nW17而 127、128、129、130、131、132、133、134、135、136、137、13 8、139、140、141、142、143 这 17 个数的奇约数个数分别有：2、1、4、4、2、4、4、2、& 2、2、4、2、4、4、2、4,均为“中环数”因此 n 的最大值为 1713.下左图是一个奇怪的黑箱子，这个额黑箱子有一个输入口，一个输出口，我们在输入口输入一个数字，那么在输出口就会产生一个数字结果，其遵循的规则是：(1)如果输入的是奇数 k 输出的是，41(2)如果输入的是偶数 k,输出的是，k+ 2比如输入的是数字 8,那么输出的就

11、是 8-2=2，输入的是数字 3，那么输出的就是 3x4+1=13. 现在将 3个这样的黑箱子串联起来，如下右图，这样第一个黑箱子的输出成为第二个黑箱子 的输入，依次类推，比如输入的数字16,经过第一个黑箱子，得到的结果是8，这个 8 就作为第二个黑箱子的输入，经过第二个黑箱子，得到结果4，这个 4 就作为第三个黑箱子的输入，经过第三个黑箱子，得到结果 2,这个 2 结果就是最后的输出了。我们可以用168-4f2 来表示这样的过程。现在，美羊羊，喜羊羊，懒羊羊，羊爸爸在这个串联的黑箱子输入串输入不同的正整数，其 中羊爸爸输入的数字最大，得到的 4 个最终输出结果竟然是相同的，当这个输出结果最小

12、时, 求：羊爸爸的输入值是多少？【分析】不妨设输入的四个数字为avbvcvd由于最后输出的结果相同，不妨设这个结果为m若 m 是一个偶数因为 41 是奇数，奇工偶，所以最后输入的结果也一定是个偶数，为2m依次类推，四个人输入的数就都为8m,与输入的正整数均不同矛盾所以 m 是一个奇数 那么前一步有 2 种选择：2m,4若前一步为 2m，则由 2m 是一个偶数，可知这串过程一定为:8mf4m-2mfmm 1接下来考察的奇偶性4同理，若匹为偶数，4m 1 m 11f ffm24这样就只有 2 种输入值，所以也为奇数4m 1 “14m 54接下来考察的奇偶性16同理，为奇数16因此，四串过程分别为：

13、8mf4mf2mfm则这串过程只能为与输入的正整数均不同矛盾那么前一步有 2 种选择:16m 1 m 1T Tm24m 5 m 5 m 1T T Tm8164m 21m 5 m 1T T Tm64164由于这些数均为正整数，所以64 丨 21，且旦21为奇数64要使 m 最小，则m-211 m 8564此时，输入的四个数字分别为：680、84、10、1因此，羊爸爸输入的值为68014.如图，如果我们将很多边长为1 的正方形放入等腰中，边上的高为，和的长度都是正整数，要求所有小正方形都有两条边与平行（如图所示），先放最下面一层，从两边往中间放（最靠边的小正方形的一个顶点正好在三角形的边上），直到

14、中间的空隙放不下一个小正方形为止，然后放倒数第二层， 同样从两边往中间放， 直到中间的空隙放不下一个小正方形 为止，依次类推，不断地往上面叠放小正方形，点到无法往上叠为止，我们发现，每层的中BC间都没产生空隙，而且 8，最后整个内一共放了 330 个小正方形，求长度的最大值。AH则BHAHBEBH如下图，由于/,所以卫三匹kDE AH则最下面小正方形能使用的长度为2k ，最下面一层小正方形的个数为这意味着第二层下底总长度为2k，同理可得第二层小正方形能使用的长度为4k，小正方形的个数为4k依次类推，以后每层小正方形的个数依次为6k , 8k,A【分析】不妨设的长度为 a,设-BC= 2k (

15、kw4)AHBE k2k要使最长，那么最低下一层放的小正方形的个数一定最多 所以，此时层数一定最少而要使层数少，则要短BC而 330 所以，应有 9层由于有 9 层，所以 9T10,此时为 80110但 330 十 9=并非整数，所以做不到3由上述讨论可知至少为10,至多为 80依次检验为 79、78、77、76时，为 10、11、12 时小正方形的个数 例如，为 79、为 10 时，小正方形个数为：71+63+55+47+39+31+23+15+7=351 330,所以不为 79当为 78、为 10 时，小正方形个数为：70+62+54+46+39+31+23+15+7=347 330,所以不为 78为 74、为 10 时，小正方形个数为：66+59+51+44+37+29+22+14+7=329V330而为 11 时，小正方形个数为：67+60+53+47+40+33+26+20+13+6=365 330,所以不为 74当为 67,为 11 时，小正方形的个数为:60+54+48+42+