高中二项式定理复习资料

1、知识点一=二项式害理二顶式走理3 鹉=c,y + ÷"-3 +Y严胪+ 即 o) 公式右边的多项武叫做("+Q的二J頁展开式； 展开式中各项的系数C： (?0丄2,-异)叫做二顶式系数M 式中的第r+l项叫做二项展开式的通项，用打门表示F二项展开式的通项公式为SHR点二：二项展开式的特性 项数=有垃十1项孑 恢埶 每一顶的快数都Sn<.即二顼展开式为m式i区洛顶组成=从左到右.字母a 專排列.从立到 字母b升睪排列从0到 ；*f vl ft2系議依c¼Ms-js .知讥点三：二项式韻載的性质对称性：二开式中，与首末两端"等距离"

2、的两项的二J页式系数相等单调性，二顶式系数在前半部分逐询壇大，在后半部分逐渐减小，在巾间取得最犬值一X其中，当口为偶数时二项展开式中间一项的二项式系数C?最大，当II为奇数时，二顶展开式中间两项的二项式系数CJCV相等，且最大一二顶式系数之和为2=即cJ+G+c2+ °： = 2用其中J二项展开式中各奇数项的二项式系数之和等于各偶数项的二项式系数之和,典型例题L H( + t)"展开式例1”求(3x÷-L)4的展开式'解：原式气¥心=4c3t+c>i÷c<)i ÷ ci<3>+cjXXX= SIr +8

3、4x + -A 4-54- f 54N求展开式中的项例2.已知在(斤-1)”的展开式中，第6项为常数项.(1) 求m (2)求含/的项的系数；(3)求展开式中所有的有理项.n-r 卩n A解： 通项为 Tr = ClnX 3 (-A>r'3 =(-Ayex 3 2 F 因为第6项为常数项，所以“5时，有上二生二0,即n=10.3(2) 令气兰=2,得Y = 2所叹所求的系数为c；(_；y=：.(3) 根据通项公式，由题意J 答三WZo <r<10.rZ令IY二二=比仏eZ),贝Jr = 5-,故斤可以取2,0,_2,即r可以取2, 5, 8.32所以第3项，第6项，第

4、9项为有理项，它们分别为 (-A)2X25C-1)53 C (- A)8X-2.2 】 】【练习2】若(反亠守y展幵式中前三项系数成等差数列求：(1) 展开式中含X的一次幕的项；(2)展幵式中所有X的有理项.3.二项展开式中的系数例3.已知(J÷x2)2n的展开式的二项式系数和比(3X-Ir的展尸式的二项式系数和犬992,求(2工一展开式中：二项式系数最大的项；(2)系数的绝对值最大的项(先X看例9) 解：由题意 22n-2, = 992t所以2 = 32,解得甲5(1) 由二项式系戮性茨，(2x-)1°的展开式中第6项白勺二项式系数最X大.7i(2x)5(-l)5-806

5、1.X(2) 设勇厂一 1项的系数的绝对值最大，-+ = GQ (2x)10-r (-I)Z = (-l)r210-r10-Q1 1M# <r<-.33B C1210-r C171211 - 2c' H->-2r*, jcf0210-r >C129'r l2c ,' 2(r+l)10-rvrZ5.-.r = 3,故系数的绝对值最大的顶是第4项,7； =-274 =-15360.r4.练习3已知（依-令N*）的展开式中的第五项的系数与第三项的系数之比是10： 1.（1）求展开式中含X3的项；（2）求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项4、求两个

6、二项式舷的展开式指定鬲的系数例4（x2+1）（x-2）展开式中，护项的系数是 解：在展幵式中，的来源有：第一个因式中取岀则第二个因式必岀X ,其系数为c： 第一个因式中取出1,则第二个因式中必岀，其系数为C：（-2.护的系数应为：C箕一2）GC：（一2）4 =1008,傾 1008 O5、求可化为二项式的三项展开式中指定冨的系数例5 （04安徽改编）（x+1-2）3的展开式中，常数顶是；X«： （x+i-2=CX-I）:r=（X-y,该式展幵后常数顶只有一项c2,即 XXXX-206、求中间项例6求（x-K）的展开式的中间顶; x解；.工=CL（&严（一点儿展开式的中间项为C

7、：（孙（一士即；252?。当巾为奇数时，（。+b）”的展开式的中间项是Cl；'?和CTQ；当”为偶数时， +妙的展幵式的中间项是CL號7、有理项例7 (7-,的展开式中有理项共有项；解：也=c3严(-挣=c4)/.当尸= 0,30,9时，所对应的项是有理项。故展开式中有理顶有4项。 当一个代数式各个字母的指数都是整数时，那么这个代数式是有理式； 当一个代数式中各个字母的指数不都是整数(或说是不可约分数)时，那么 这个代数式是无理式。8、求系数最大或最小项(1) 特殊的系数最大或最小问题例8 (OOjZ海)在二项式(X-I)II的展幵式中，系数最小的项的系数是.要使项的系数最小，则？必为

8、奇数，且使C；】为最大，由此得心5,从而可知最小项的系数为C；G1) =-462(2) 般的系数最大或最小问题展开式中系数最大的项;例9求(77+解：记第厂顶系数为7；,设第R项系数最大,则有JHKT8!8! 2( -i)!,(?-KrJ(K-2).o-.X 2畑S1 > 2r-i"-22 >19一旷K解得3 M M 4系数最大的项为第3项7> 7H和第4项7； = 7宀(3) 系数绝对值最大的项例10在(Xpy的展开式中，系数绝对值最大顶是M求系数绝对最犬间题都可以将“ (a_b)"型转化为匕型来处理,故此答案为第4项cxy,和第5项_9、利用“赋值法”

9、及二项式性质3求部分项系数，二项式系数和例 11 .若(2x + 5)4 = 0 + alx+a2x2 +aixi + 4x4 , 则(GO + a: + 4)2 (1 +<>2 的值为 ；解： V (2x+ J3)4 = d0 + aix+a2x2 + aixi + 4x4令 X=I ,有(2 + 厲)"=°+a】+ a： + 他+G 令 X = -I ,有(-2 + y3)4 = (a0 +a2 +d4) -(j1 +)故原式=(a° +6 + 6 +a3+a4).(0 + a, + a4) -(a1 + 3)= (2 + 3)4.(-2 + 3)

10、4 = (-1)4 = 1【练习 1】若(1-2x)g =CLq ÷a1x + .Jt ÷.+ 2004XRcM,贝H (d° 十吗)+ (<I0 十 a J + 4 So + 20；解*,(1 - 2x)20W = <a0 + a1x -l-a2x2 +.+ 2OO4x：0W, 令 X=I , 有(1 2)1004 = c + a： +n2 +.+ Qrx = 1令 X=O , 有 (I-O)2004 =a0 = 1故 原 式=(<7q + a： + 2 + ÷ 2004)+ 2003a。= 1 + 2003 = 2004【练习 2】

11、设(2x-l)t =atx6 +a3x3 +. +a2x+a0,则 aj+aj +血 + +Bl= ；解8 TrJrI = (Jx) 6r (-l)r . IaOI + a1 + a2 + .+ Iael = a-a1 + a2 -Gi +a4. -a5 +6=(a。十a：十G 十匕6)一(口 +码+还)=1IoV利用二项式定理求近似值例15.求0.9986的近似值，使误差小于0.001；度的要求，来确定对展幵式中各项的取舍，若精确度要求较高，则可以使用更精确的公式：(l + x) l÷nr+ 心 OX2 O分析：因为0.9986 = (l-0.2)6,故可以用二项式定理展开计算。解

12、：0.9986 = (1-0.002)6 = 1 +6.(-0.002)1+ 15.(0.002)2 +. + (一0.002)6vT3 =C：(-0 002)2 =15x(_O.OOF = 0.0 0 0 0 6 0.0 0 1且第3项以后的绝对值都小于0.001 ,.从第3项起，叹后的项都可以忽略不计。0.99 = (1-0.002)6 1 + 6x(-0.002) = 1-0.012 = 0.988小结：由(1 ÷)n = 1 ÷÷C2÷-÷Cyn当X的绝对值与1相比很小且"很大时，F/'.=”等项的绝对值都很小，因此在

13、精确度允许的范围内可以忽略不计， 因此可以用近似计算公式：(l + x)"al + nx,在使用这个公式时，要注意按问题对精确度的要求，来确定对展幵式中各项的取舍，若精确度要求较高，则可以使用更精确的公 式：(l + x) l÷nr+ 心 OX2 O219. ( 08 年福建卷 13)若(x_ 2)5=矽?十 Nr4÷十Ox十xo,则6十ajMrS十=碉数字作答)19. 31 设 f(x) =(X- 2)5=zz55 +÷33Cl甘a*则 fli) =(J 2)3= s÷ 4+d3+2÷1+o= - 1.又，处=(-2)5= - 32.故 Q计2+3+d4+d5=3121.已知b十1) 6(。一 1厂的展开式中，疋的系数是56,则蜩的值为.21. - 1 或 6 (x+l)6(x -I)2 = (x6 + Cjx5 + Cfx4 +3 + CIX+l)(2x2 - 2ax+1)Jt3项的系数为 ctl + C(-2) + C； / = 56,即/_5_6