高中数学知识点考点解析含答案知识讲解_直线与抛物线的位置关系(理)_提高

1、直线与抛物线的位置关系【学习目标】1. 能正熟练使用直接法、待定系数法、定义法求抛物线的方程；2. 能熟练运用几何性质（如范围、对称性、顶点、离心率、准线）解决相关问题；3. 能够把直线与抛物线的位置关系的问题转化为方程组解的问题，判断位置关系及解决相关问题【知识网络】【要点梳理】【高清课堂：直线与抛物线的位置关系 371713】要点一、抛物线的定义定义：平面内与一个定点 F和一条定直线I （ I不经过点F ）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点 F叫做抛物线的焦点，定直线 I叫做抛物线的准线.要点二、抛物线的标准方程抛物线标准方程的四种形式：y2 2 px, y22px , X2 2 py

2、, x22py （p 0）要点诠释：求抛物线的标准方程应从定形” 定式”和定值”三个方面去思考定形”是指对称中心在原点，以坐标轴为对称轴的情况下，焦点在哪条坐标轴上；定式”根据 形”设抛物线方程的具体形式；定量”是指用定义法或待定系数法确定a,b的值.要点三、抛物线的几何性质范围：x X 0，y y R,抛物线y2=2px ( p> 0)在y轴的右侧，开口向右，这条抛物线上的任意一点M的坐标(X, y)的横坐标满足不等式x0当X的值增大时，Iyl也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。抛物线是无界 曲线。对称性：关于X轴对称抛物线y2=2px ( p> 0)关于X轴对称，我们

3、把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴。抛物线只有一条对称 轴。顶点：坐标原点抛物线y2=2pX ( P>0)和它的轴的交点叫做抛物线的顶点。抛物线的顶点坐标是(0, 0)。离心率：e 1 .抛物线y2=2p ( p> 0)上的点M到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率。用e表示，e=1。抛物线的通径通过抛物线的焦点且垂直于对称轴的直线被抛物线所截得的线段叫做抛物线的通径。要点四、直线与抛物线的位置关系直线与抛物线的位置关系将直线的方程y kX m与抛物线的方程 y2=2px (p> 0)联立成方程组，消元转化为关于X或y的一元二次方程，其判别式为.2ky 2py 2p

4、m 0若k 0 ,直线与抛物线的对称轴平行或重合，直线与抛物线相交于一点；若k 0 > O直线和抛物线相交，有两个交点； = O 直线和抛物线相切，有一个公共点; v O 直线和抛物线相离，无公共点.直线与抛物线的相交弦2设直线y kX m交抛物线冷a2y2 i (a 0,b0)于点 P(Xi,yi) ,P(X2,y2),两点，则b| RP21 J( X2)2 (y帚同理可得(XiX210)这里I Xi X21, | yy21,的求法通常使用韦达定理，需作以下变形:I Xi X2 | .(Xi X2)2 4XiX2|yi y21 .(yi y2)2 4yiy2抛物线的焦点弦问题已知过抛物

5、线y2 2px(p 0)的焦点F的直线交抛物线于 A、B两点。设 A(X i,yi), B(X2,y2),则:焦点弦长IABl Xi X2 P或| AB| - (为AB的倾斜角) Sin XiX22P，Yi Y242-P1i2，其中IAFI叫做焦半径，IFAI XiI FAIFB I P2焦点弦长最小值为 2p。根据| AB | 2p 可见，当 为一时，即AB垂直于X轴时，弦AB的长最 Sin2短，最短值为2po要点五、抛物线的实际应用与最值问题对于抛物线的实际应用问题，我们要抽象出相应的数学问题，即建立数学模型，一般要先建立直角坐标系，然后利用抛物线定义，求出参数p，得到抛物线方程，利用方程

6、求解抛物线中的最值问题，按照转化途径主要有以下三种:(1) 利用定义转化(2) 利用抛物线的几何性质(3) 转化为函数求最值【典型例题】类型一：抛物线的方程与性质【高清课堂：直线与抛物线的位置关系371713例1】例1.顶点在坐标原点，对称轴是坐标轴，并且经过点M(4 , 8)的抛物线有几条？求出它们的标准方程. 【解析】因为抛物线关于坐标轴对称，它的顶点在原点，并且经过点M (4,8),所以可设它的标准方程因此，所求抛为y2 2 PX或X2 2py(p 0)因为点M在抛物线上，所以64 8p或16 16p即P 8或P 1 ,物线有两条，它们的标准方程是y2 16x或X22y,【总结升华】抛物

7、线的焦点轴有四种情况,因此在讨论抛物线方程时要注意它的不同位置,恰当的设出方程是解决问题的关键. 举一反三：【变式1】若抛物线通过直线 y1X与圆2x2÷ y2÷ 6x= 0的两个交点，且以坐标轴为对称轴，求该抛物线的方程.【答案】由y2X12X得y2 6x 00，或24512， "根据题意可设抛物线的方程为X2 =则(詈，If)在抛物线上,2my(m>0)或 y2= 243m=, P =552px(p>0),方程为 X248y或y25【变式2】(2015 的抛物线方程为(A. y2 2x【答案】B【解析】因为圆德阳模拟)顶点在原点，经过圆 C:x2

8、)B. y22x 2 Jy 0的圆心且准线与 X轴垂直2xC. y2,2xD.y2- 2xC: X2y2 2x 2.2y 0的圆心是1,抛物线的顶点在原点，焦点在X轴上，且经过点1,2 ,设标准方程为y22 PX ,因为点1,2 在抛物线上，所以.2 2 2p ,所以p=1,所以所求抛物线方程为：y2 2x。故选B。类型二：直线与抛物线的位置关系例2.过定点P(0,2)作直线I,使I与抛物线y2= 4x有且只有一个公共点，这样的直线I共有条.【答案】3【解析】如图，过点 P与抛物线y2= 4x仅有一个公共点的直线有三条：二条切线、一条与X轴平行的直线.【总结升华】直线与抛物线只有一个公共点时要

9、考虑相交于一点的情况，不要漏掉举一反三：【变式】已知F是抛物线y2 = X的焦点，A, B是该抛物线上的两点，AF+ IBFI= 3,则线段AB的中点 到y轴的距离为.1【答案v IAFI+ IBFI= XA + XB+ - = 3,25 Xa+ XB=.2线段AB的中点到y轴的距离为XAXB -.24类型三：抛物线的弦【高清课堂：直线与抛物线的位置关系 371713例2例3:斜率为1的直线I经过抛物线y2=4x的焦点，与抛物线相交于点A、B ,求线段A、B的长.【解析如图8 3- 1, y2=4X的焦点为F (1, 0),则I的方程为y=x 1.y2 4x由消去y得X2 6x+1=0 .y

10、X 1设 A(X1 , y1), B(X2, y2)贝1+2=6.又A、B两点到准线的距离为 A , B ,贝UAA BBX1 1 X2 1X1 X22 6 2 8【总结升华抛物线的定义本身也是抛物线最本质的性质，在解题中起到至关重要的作用。举一反三：【变式1顶点在原点，焦点在 X轴的抛物线截直线 y= 2x 1所得的弦长IABI= 5,3 ,求抛物线的方 程.【答案y2= 20x 或 y2= 12x.【变式2若直线I: y= kx 2交抛物线y2= 8x于A、B两点，且AB的中点为M(2, yo),求yo及弦AB 的长.【解析把 y= kx 2 代入 y2= 8x,得 k2x2 (4k+ 8

11、)x + 4 = 0设 A(X1, y1), B(x2, y2).AB 中点 M(2, yo), X1 + X2= 4 ,即 48 = 4,k2解得k= 2或k= 1. 又= 16k2+ 64k+ 64 16k2>0, k> 1, k = 2,此时直线方程为y= 2x 2, M(2, yo)在直线上， yo= 2, |AB| = 1+ k2X2 X1 = 5 ,i'42 4×4i= 2 15.例4.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线与抛物线相交于P(, y)、Q(x2, y2)两点，求证:(1)11y1y2 P ；(2)両両为定值。证明:由抛物线的

12、方程可得焦点的坐标为F (f) O(1)当直线PQ斜率存在时，过焦点的直线方程可设为y由 y k(X P2y 2px消去 X 得：ky2 2py kp2=0(探)当k=0时，方程(探)只有一解，k0,由韦达定理得：y1 y2= p2°当直线PQ斜率不存在时，得两交点坐标为(I,P)，(I, P)， y1 y2=p 2。综上两种情况：总有 y1y2 = P 2ok(X I)得 k2 PX2x2(k2p2p)x X1IPFl IQFl IPMl IQNlX1x21类型四：抛物线的综合问题X1X2举一反三:X1 X2 PP(Xl X2)2p IPk2P-为定值。P【变式】(2016商丘二模

13、)抛物线y2=2px (P > 0)的焦点为F,已知点A , B为抛物线上的两个动点,且满足 AFB=120 °。过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线 MN ,垂足为N ,则IJMN-I的最大值为()IABIAF=AQ , BF=BP【答案】设|AF|=a, |BF|=b ,连接AF、BF由抛物线定义，得E> I4Jr 12y</k在梯形 ABPQ 中，2MNFIAQ+BP=a+b 。由余弦定理得，AB2=a2+b2-2ab cos120° =a2+b2+ab配方得,AB2=(a+b)2- ab,a b 2又 ab ()2221232(a b) ab (a

14、b) (a b) (a b)44得到 AB (a b)。所以IMNJ I(bI辽，即IMNJ的最大值为J O AB - 3/ I 3 AB3(a b)故选A o例5.在平面直角坐标系 XOy中，点M到点F(1, 0)的距离比它到y轴的距离多1 ,记点M的轨迹为C. (I )求轨迹C的方程；( )设斜率为k的直线I过定点P( 2, 1),求直线I与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共 点时k的相应取值范围.2 4x, X 0【答案】(I X =O, XVo()略【解析】(I )设 M(X , y),依题意得：IMFI = |x| + 1,即 JX 1)+ y2= X+1 , 化简得，y2

15、= 2x+ 2x .2 4x, X 0点M的轨迹C的方程为y =0, XVO( )在点M的轨迹C中，记C1： 依题意，可设直线Iy2= 4x(x ), C2： y = 0(x V 0). 的方程为y 1 = k(X + 2).由方程组y1-ky =4x当k= 0时，此时y= 1,把y= 1代入轨迹C的方程，得1与轨迹C恰好有一个公共点(丄,1).4 当 k)时，方程 ky2 4y + 4(2k +1) = 0 的判别式为= 16(2k2+ k 1).设直线I与X轴的交点为(X0, 0),故此时直线I: y =1则由 y 1= k(X + 2),取 y= 0 得 X02k 12 = 16(2k

16、+ k 1) V 0若2k + 1 VO,解得kk V 1 或Xo =即当k(故此时直线1,1)(2, +)时，与轨迹C恰好有一个公共点.直线I与C1没有公共点，与 C2有一个公共点,(X+2),可得 ky2 4y + 4(2k + 1)= 0.若 = 0或X°V0X0>0 ,解得 k = 1 或 k =-或一- kV0 .0 2 21即当k = 1或k = 时，直线I与C1只有一个公共点，与 C2有一个公共点.21 当一k V0时，直线丨与CI有两个公共点，与 C2无公共点.21 1故当k = 1或k= 或 kV0时，直线I与轨迹C恰好有两个公共点.2 2 = 16(2k2+

17、 k T)Xo =2k+1< o11解得1<kv或 0V kv .2211即当1 V k<或0< k V 时，直线I与CI有两个公共点，与 C2有一个公共点.22此时直线I与C恰有三个公共点.1综上，当k( , 1) (,+ ) U 0时，直线I与C恰有一个公共点；21 1当k 2,0)U 1, $时，直线I与C恰有两个公共点；11当k(1, ) (0, )时，直线I与轨迹C恰有三个公共点.22举一反三：M到y轴的最短距【变式】定长为3的线段AB的两个端点在抛物线 y2=x上移动，AB的中点为 M求点 离，并求此时点 M的坐标【解析】设 A(x1,y1), B(2,y2),M(x,y),则 X=X12X2y1 y2y= 丁又设点A , B, M在准线I :X= 1/4上的射影分别为1八1411一(|AB