高中数学竞赛第18讲平几中的几个重要定理一教案

1、定理3（MeneIaUS 定理）设 X、Y Z分别见'ABC的EC、CA.月万所在直线上，则乳人Z共线的充要条件是AZ BX CY 二 1 ZB XC YA第18讲平几中的几个重要定理（一）本Yj主要内容有PtOlemyX CeVaX MeneIaUS等泄理及应用.立理1 （PtOIemy左理）圆内接四边形对角线之积等于两组对边乘积之和：（逆命题成立）泄理2 （CeVa ZE理）设乳Y. Z分别为磁的边万G CA. M上的一点, 则V> BY. CZ所在直线交于一点的充要条件是AZ BX CY ZB XC YA (1)+(2),得AC BgAB CIAD- BC.左理4设只Q、A

2、.万为任意四点，则丄脳A类例题例1证明PtoIelny定理.已知：如图，圆内接馭D求证：AC BXAB CBAD BC.分析可设法把AC-BD拆成两部分，如把M写成AE-Ea这样，AC-BD就拆成 了两部分：AE BD反EC BD,于是只要证明AE BXAD BC及EC BEAB CD即可证明在肚上取点伐使Z遊=Z磁,由 ZDABZDBG 得 4 AEE 4 BCD.：. AE: BGAD : BD.即 AE BIAD BC.（1）又乙ADw乙EDG ZABgZECD.得 ABD ECD.AB : EEBD : CD、即 EC BmB CD.说明本左理的IIE明给证明HCHf的问题提供了一个典

3、范.链接用类似的证法，可以得到PtGIemy 理的推广（广义PtoIemy 理）：对于一般的四 辺形ABCD,有AB CIhAD BC2AC BD.当且仅兰ABCD是圆内接四边形时等号成立例2证明CeVa崔理.分析 此三个比值都可以表达为三角形而积的比，从而可用而积来证明 证明：设 S<：An=S、SZBPC- Sgh=SZ兰弐 BXSl CYSZ三式相乘，即得证说明用同一法可证其逆正确.链接 本题也可过点£作MV氏延长万人与址V分别交于M A；再用比例来证明.运 用此宦理可以比较简洁证明三条角平分线、三条中线.三条髙等共点问题.例3证明MeneIaUS左理. 证明：作CN/B

4、A.交丄了于疋 IUiAZ CY CN XCjC V YA ZB BX.r VAZ BX CYAZ CN BX CYJ JZB XC YA CN ZB XC YA本立理也可用而积来证明：如图，连凡V，BY,记 SmFSxSAxyS.则三式相乘即得证.Az Sl BXSSz CYSL 莎$+$：S ： YASX说明用同一法可证其逆正确.CeVa 理与MeneIaUS 理是一对“对偶 定理”链接 本左理证明很多，可以运用三角、射影等知识：还可以运用此定理证明CeVa 理.例4证明左理4设只Q、A.万为任意四点，则PA-PBQA-QBPQVAB.B证明先证所-PE二QZEnPQ丄初作朋丄/1万于H.

5、贝IJ所-加=（PHAH）-（,PH-1rBH）-AH-BH-（册翩二AB（AA2B旳同理，作购丄丽于,则QZE二ABaA2AH）fc ,即点Ar与点重合.丹丄月万=>PA1-Pff=Qf-亦显然成立.说明本题在证明两线垂直时具有强大的作用.链接 点到圆的幕：设尸为00所在平而上任意一点，PBd, OO的半径为n则扌 一工就是点尸对于的幕.过F任作一直线与00交于点A、B,则丹鹽 -rc."到两圆等幕的点的轨迹是与此二圆的连心线垂直的一条直线，如果此二圆相交，则 该轨迹是此二圆的公共弦所在宜线”这个结论.这条直线称为两圆的“根轴”.三个圆两 两的根轴如果不互相平行，则它们交于一

6、点，这一点称为三圆的'根心”.三个圆的根心 对于三个圆等幕当三个圆两两相交时,三条公共弦（就是两两的根轴）所在直线交于一点.A1如图，尸是正遊外接圆的劣弧碇上任一点情景再现（不与万、C重合），求证：PEB+PC.求证:AE _2AFEh FB2设初是遊的边肚上的中线，直线Gr交初于Z3证明：三角形的角平另线交于一点.B类例题例5设AiA2Az*-A.是圆内接正七边开九 求证:丄j+j （1987年第二十一届全苏）ZIIzIC /11/U ll分析注意到题目中要证的是一些边长之间的关系，并且是圆内接多边 形，当然存在圆内接四边形，从而可以考虑用PtOIemy 理.证明 连 Ms, AZA

7、L 并设/L=a, A.Ab, AlApc.本题即证£衆.在圆内接四边形儿S冲，有AZAFAAi=a. AlAAZAi=b. AiA=AiA-C.于是有 ab4racbc.同除以 abc.即得-迁+-，故 a b c证.说明PtOIemy 理揭示了圆内接四边形中线段关系，在数学中应用非常广泛例6 （南斯拉夫，1983）在矩形拠的外接圆弧初上取一个不同于顶点乂万的点M 点只Q. R、S是M分别在直线、朋、證与G?上的投影.证明，直线必和斤S是互相垂直的，并且它们与矩形的某条对角线交于同一点证明：设丹与圆的另一交点为£.则pq 忘二（TV +万） （7V + ）=7&

8、v+7lr " + 7? Sf+ 4 "E= -75r PLPA PD二0故因丄5.设PQ交对角线助于几 则由MeneIaUS 理，（尸0交flP）得唇冷' 即豁磊设斤S交对角线助于川 由MenelaUS 理，IRS交4BCM得BN DS CR r5V SC RBP* 5* Szlj '亦 °Z?PA_RB QB SC BTBX显然'Dfck ADS-于疋万帀故八与"重合得吐说明 本题反复运用了 HenebUS定理，解题要抓住哪一条直线截哪一个三角形.情景再现4. 在四边形 個刃中，对角线川7平分在?上取一点呂 庞与月Q相交于尸，

9、延 长莎交證于G.求证：ZGAoZEAC. （1999年全国高中数学联赛）5. 磁P是一个平行四边形，£是 曲上的一点，尸为切上的一点.AF交ED于G, EC 交FB于H.连接线段防并延长交初于厶 交BC于M.求证：DI=BM.6. 在直线1的一侧画一个半圆T、G D是T上的两点，7上过Q和D的切线分别交1 于万和月，半圆的圆心在线段朋上，£是线段月Q和助的交点，尸是上的点，疗垂直求 证：前平分乙CFD.C类例题例7以0为圆心的圆通过ZlMC的两个顶点么C,且与曲、必两边分别相交于乩r 两点，ABC和ZJAXv的两外接圆交于5 M两点.证明：ZO血为直角.（1985年第26

10、届国 际数学竞赛）分析对于与圆有关的问题，常可利用圆幕定理，若能找到上一点，使该点与点对于圆0等幕即可.证明：由方认KN、月Q三线共点只知PH PgPN PK=P-f 由PMBKCAN.得 P. M. A； Q共圆， 故51/ BPBN- BOBQ一户一得，PM- PABH BPpO - BO.即EB)D (P讯BM= PO - BO.就是PM -BH二 PO - BQ.于是 OMLPB.例8 （蝴蝶定理）/15是C）O的弦，是其中点，眩CD、前经过点M CF、DE交AB予P、Q,求证：!P=-QM.分析圆是关于直径对称的，当作出点尸关于0"的对称点F后，只要设法证明FMPF,MQ即

11、可证明：作点尸关于 的的对称点尸，连FF' , F，M, F' Q, F' D.则 AMF , Z4=ZWP=Z6.圆内接四边形F9 FED中，Z5+Z6=180从而Z4+Z5二180。，于是M Ff . D、0四点共圆，Z2=Z3,但Z3=Zb 从而Z1=Z2于是 MFPMF9 Q. -MFMQ.说明本定理有很多种证明方法，而且有多种推广.例9如图，四边形如?内接于圆，AB. %延长线交于伐AD.氏延长线交于尸，P为 圆上任意一点，PE, M分别交圆于爪S.若对角线川C与助相交于7：求证：R, T, S三点共线.分析对于圆内接多边形有很多性质，本题涉及到圆内接六边形,

12、我们先来证明两个引理.引理1:MGDE%为圆内接六边形，若BE、GA交于一点，则有ABI. ClDI ElFI _ JBlCl DlEl FA如图，设儿久BE，GA交于点0,根据圆内接多边形的性质易 知 OAbSHOE必 HoBGSofE、'OCDS'OAF从而有AIBl _ BxOElFI _ FIOCIDl _ DQDX ElDOBlCl BxOFl1 FXO将上而三式柑乘即御器器船1'引理2：圆内接六边形皿略若满足器器则其三条对角线込G片交于一点. 该引理的证明，留给读者思考.例9之证明如图，连接刃，AS. RU BR. AP. SD.由删S却，FD2 '

13、FPA、知BR EB PAPA " EP1FD两式相乘，得BR EB FPDS EPFDCR EC久瞅'ECRs'EPD、'FPWFAS、知=PD EPCR ECFPPD FP貢两式相乘,ASAS EPFABR A S EB FA ,由，得=故DS cR EC FDBR CDSA EB AFDCRC DS对厶EADw.用MeneIaUS立理，EBAB有AFBA FDCEBAFD££=iCE由，得BR CDRC DS9.ABT、S三点共线.由引理2知弘RS, M交于一点，所以尺情景再现7. （评委会，土耳其，1995）设J5C的内切圆分别切三

14、边BC、Gi、曲于0、E、F, X 是證内的一点，磁的内切圆也在点D处与氏相切，并与师肪分别切于点K Z,证 明，MZF是圆内接四边形.&若直角ZIABc, CK是斜边上的高，CE是ZAC勺平分线，E点在AK上，DAC的中点，F是DE与CK的交点、,证明：BFilCEo习题181在四边形月万Q中，ABD. BCD. ABC的而积比是3 ： 4 ： b点MJV分别在月G G?上满足册：AOCN： G?,并且B、M、N三点共线.求证："与片分别是"与G?的中点.（1983 年全国髙中数学联赛）2. 四边形馭P内接于圆，其边M与延长交于点只AD.證延长交于点Q由Q作 该圆

15、的两条切线他、QF、切点分別为E F,求证：P、E、尸三点共线.（1997年中国数学奥 林匹克）3若ZJABC的边a、b、c,所对的角为1 ： 2 ： 4,求证：-.4. 如图，ABC中，F为三角形内任意一点，AP. BP. 6P分别交对边于攵Y. Z.求证:XP YP ZP xa"ybzcFI5. Lemoine Iine）从三角形的各个顶点引其外接圆的切线，这些切线与各自对边的交 点共线6（D亡SargMS定理）设有磁、AA 9B9C且曲与/T歹交于Z, BC与 歹c'交于上©与Lr交于X则（1）若曲'、BB CC'三线共点，则攵 Z三点共线：（

16、2）若X、Y. Z三点共线，则曲、BB QQ'三线共点.7.在遊中，ZC9（ ,初和亦是它的两条内角平分线，设厶JA斗分 别为 初、AB.庞的中点，XLMeBE.D. FNLCDE.求证：X. Y. Z三点共线.（2000年江苏省数学冬令营）8已知hABC中，AB>AC, ZE的一个外角的平分线交AABC的外 接圆于点E过f作疔丄個 垂足为尸.求证2AFAB-AC. （1989年全国髙中数学联赛）9. 四边形如内接于圆0,对角线EC与助相交于只设三角形 0、 BCP、妙和加P的外接圆圆心分别是（X、Q、a、0求证OP、OiOs. 0：Oi 三直线共点.（1990年全国髙中数学联赛

17、）10. 一个战七想要査適一个正三角形区域内或边界上有无地雷，他的探测器的有效长度等于正三角形髙的一半.这个战士从三角形的一个顶点开始 探测.训他应怎样的路线才能使查遍整个区域的路程最短.（1973年第十五届 国际数学奥林匹克）11. 以锐角三角形磁的三边为边向外作三个相似三角形应0，BA：C、CB1A, （ZAB.GZABG二乙入BC； ZBA,CZBAC=ZBlAC.）（1）求证：AC. B,AC. CBA,的外接圆交于一点：(2)证明：直线Bk、QG交于一点(1973年全苏数学奥林匹克)12. ABC中，0为夕卜心，为垂心，直线朋、BH、CH空边BC、CA. AB于D、E、F, 直线加交

18、曲于 M DF交 AC予 N.求证：(1) OBLDF, OCVDE (2) OHLMN.本节“情景再现"解答：1.证明：由 PtOIemy 理得 PA BUPB AC+PC AB, 9： ABOAC. ：.PA=FB-PC.2.证明由MenelaUS定理得徭%伶1 ,从而気嶋3.证：记3QKJ角平分线分别41, BB,CCI,口b BA1 CCBX CIBa * AIC b.AGBAl CBl1 CXBAC B1A 1三角形的角平分线交于一点;4.证明 连结BD交AC于H,对用CeVa泄理，可得挣鈴券】因为册是乙她的角平分线，由角平分线泄理，可得罷廟 故H 囂巻=1过点Q作M的平行

19、线交月G延长线于Z,过点Q作肋的平 CrD AU JDCCG CI DEADCl AB ADGBABECCf 1 ABADCJ从而，CI-CJ.又因 7初，CJ/AD.故ZACl= H -BAO -DAOACJ. 因此，ACIACJ> 从而ZlAOZJAC,即乙GAo乙EAC.行线交川尸的延长线于/则5证明：如图，设直线山/与用的延长线交于点/与的延长线交于点Z.在ZQ与用万中分别使用MeneIaUS 理，得Dl CH I AG FH BJ I 111.“ rtll.l EG =1, =1 因为 月万仞，所以IC HEGF HB JAGDFH n 7.DI BJ ImCD+ CI AB+

20、AJ U=从而=，即=,故"幻：EGGDCHHE HB IC JAClAJBM BJ Dl DL Ilrr.lMC CIAJ LA6.证明：如图，设初与肚相交于点只用0表示半圆7的圆心.过尸作PH丄 1 于 H、连 OD、0C. OP.由题意知 RtOADRtPAH.lt ? AH HP 一rl(/ BH HP于是有=类似地，Rt'OCBsRt'PHB、则有=AD DOBC CO,.AH BH n ,.AH BC PD I由CgD0、有=> 从而 =1AD BCHB CP DA由塞瓦泄理的逆泄理知三条直线EG BD.刖相交于一点，即厅在PH匕 点"与尸

21、重合.ill MenelaUS 左理,BQ CE =IQC EA因ZOD片ZoCEy ,所以O D、G F四点共圆，直径为莎又ZWe90° ,从而 推得点尸也在这个圆上，因此ZDFrZDorZCo&乙CFP、所以刃7平分乙CFD.7证明：延长亦、庞交于Q于是得务套务】即Z'、0三点共线 但由切割线左理知，QEQaQIj二QYQZ.故由圆幕泄理的逆泄理知E F、Z、F四点共圆.即 ECZF是圆内接四边形.8.证：在AEBC作Z3的平分线H,则ZEBC=ACK ZHBC = ZA CE, ZHBC+ ZHCB = ZACE+ ZHCB = 90。， 即3刃丄CE. :.

22、AEBC为等腰三角形作BC上的高EP, 则CK = EP.对于ACK和三点D、E、F依梅涅劳斯定理有:CDAEKF _、<KF _EK CK EP BP BKDAEK FC FC-AE-AC-AC-BC BE即乞=竺依分比定理有竺=竺 WKB = SCKE. :. BFIICE.FC BEKC KE本盯“习题18”解答：1、证明设 EG 加交于点 E 由 AS. AeCNI CD.故 Al/： MaCN ND. 令 CV： AZj=r(r>0),则 Atf ： JC=r.由 SgSg S妒4S曲 即 加：恥二3 ：4.从而肚：EC： AO3 ： 4 ： 7 $e： SF6 : 1,

23、故血：EA6 : b ：.DB BE=I : /31. AM AOr (z+l),即AC. AE=AC.r+1i：.Z) A4AC. .fO-AC, ：. EM: 蛙上 由.MeneIaUS ÷l 7/ (l1 丿rrl7C R Fif4 r3定理，知总詈存1，代入得r7-÷2=b即4-3r-l=0,这个 ND BE MC7方程有惟一的正根卢1.故CV： AP=I,就是川为少中点，"为EQ中点.2、证明 连,作OQDC交PQ于点M,贝QMoCDACBP.于是MC、B、F四点共圆.由 Pd-APC PXPH PQ、QM二QC QAQH QP.两式相减，得 POF二P

24、Q (E沪00= (PQl/) (：. OM丄PQ. 0、尸、M Q、f五点共圆.连PE,若PE交©O于氏,交QOFM于M点 则对于OQ 有 PF、 PhPC PD,对于(Z)OFyL 又有 PFZ P吕PC PD.：PF PBPFj PE、即斤与E重合于二圆的公共点尸.即只F、F三点共线.3、作三角形的外接圆，即得圆内接正七边形，转化为例5.XP SPSC YP SKA ZP SAB 一 . l.t I rln Zrl fc-.4、证明：育矗育必二式相加即得归5、AB交PQR于万、乙=>PBQZRA ,BQ '云萌'ACPQR=Y G A.RA PY QC币C

25、RBC 交 PQR于 5 GPB QC RX => =1BQ CR XP三式相乘，得場为瞬，RX - ZR XP但加3A, QB=QC, RA二RC,故得知 鈴铮=龙、丫、Z共线.6.(1)证明：若AA = BB= CC'三线交于点Q由OAfBf与直线M相交，得OA AZ B9B 石W %-1:J f nr r9 Y由ZIQi d与直线AC相交，得yp-1：由4 5'Q'与直线BC相交，得OB B9X CCfT - _ 1 BB XC CO J 9 7 PfV r' V三式相乘，得雪葺=1由MeneIaUS的逆定理，知*、Y. Z共线ZlD XC IA(2

26、)上述显然可逆7、提示:作磁的外接圆，则M为圆心/ MN/AE, ：. MNLBC.T HQ平分ZtI, 点F在M上，同理点尤也在0财上.烬WK记FW=由于直线竝与 LNF的三边相交，直线也比与砂三边 相交，直线眈与磁三边相交， MeneIaUS定理，可得：LZ NE FD NZ NE FDBEFDFEBCDA AFDBCE 云冠反' ON苗反亏习；EB9Tb9 A19 FDBC9 ZrI三式相乘得NZBD CE_AB BC BC N读.A=AC AAC另一方而，连结5K AX9并记MYC BUG,ACCMH. 于是有NBYLAX.ZLAC,：.乙BYW乙AIXLX AF AC NZ

27、LX MY NZ LX. _ 一j V - - Ie NY BGBC ZL XM YNZL NY Z三点共线. 注：本题是直线形问题，因此可用解析法证明.8、证明 在刊上取尸Q月尸，连、EC、EB,于是AEG为等腰三角形：.EEA又Z3=180o-Zfl8Oo-Z£46180°-Z5=Z4,Z1=Z2.于是 EGBEAC. ：. BUAG ：. AB-AOA(2AF.二=1由MeneIaUS左理可得 X K9、证明TO为ABC的外心， OFOB. T Q为PAB的外心，/.aA=0,B. ：. 00AB作PCD的外接圆。Q,延长JPa与所作圆交于点Z并与 BY A交于点 F,连 DE、贝IJZI=Z2=Z3,乙EPE乙BPF、：.乙PF洪乙ED口y ：. Pa丄AB,即 OOJ/POz.同理，oar.即WR是平行四边形 与丹互相平分，即过刊的中点