高考数学总复习2021版人教版A版高2021届高2018级第一章预备知识第1节集合

1、第一章 I)IYlZHANG预备知识第1节集合考试要求1通过实例了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系；针对具体问 题能在自然语言、图形语言的基础上，用符号语言刻画集合；2.理解集合之间包含 与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中了解全集与空集的含义3理 解两个集合的并集与交集的含义，能求两个简单集合的并集与交集；4. 理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集;5.能使用韦恩 (Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算，体会图形对理解抽象概念的 作用.Ili诊断豊址二塞回mL务实i¾SM知识梳理1. 元素与集合(1) 集合中元素的三个特性：确定性、

2、互异性、无序性 .(2) 元素与集合的关系是属于或不属于,表示符号分别为和?.(3) 集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法 .2. 集合间的基本关系(1) 子集：若对任意x A,都有xB,则A? B或B?A.(2) 真子集：若A? B,且集合B中至少有一个元素不属于集合 A,则A B或BA.(3) 相等：若 A?B,且 B?A.则 A= B.(4) 空集的性质：？是任何集合的子集，是任何韭空集合的真子集.3.集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集符号表示AU BA B若全集为U,则集合A的补集为?UA图形表示(30 kA2集合表示x|x A,或 x Bx|K A,且 X Bx|x

3、U且 x?A4.集合的运算性质(1) A A=A,A ? = ?,A B= B A.(2) A A=A,A ? = A,A U B= B A.(3) A (?UA) = ?,AU (?UA)= U,?u(?UA) = A.常用结论与微点提醒1. 若有限集A中有n个元素,则A的子集有2n个,真子集有2n- 1个,非空子集有2n 1个,非空真子集有2n- 2个.2. 子集的传递性：A? B,B? C? A? C.3. 注意空集：空集是任何集合的子集，是非空集合的真子集，应时刻关注对于空集 的讨论.4. A? B? A B = A? AU B= B? ?uA? ?uB.5.7u(A B)= (?UA

4、) U (?uB),?U(AU B)= (?UA) (?uB).诊断自测1. 判断下列结论正误(在括号内打“”或“X”)(1) 任何一个集合都至少有两个子集.()y= X2+ 1 = yy= ×2+1 = (,y)y= x2+1.()若x2,1 = 0,1,则 X= 0,1.()(4) 对于任意两个集合A,B,关系(A B)? (AU B)恒成立.()解析(1)错误.空集只有一个子集.错误.x|y= X2+ 1 = R,y|y = x2+ 1 = 1, + ),(x,y)|y = x2+ 1是抛物线 y= x2 +1上的点集.(3)错误.当X= 1时,不满足集合中元素的互异性.答案

5、(1)×(2) ×(3)×教材近化2. (新教材必修第一册P9T1(1)改编)若集合P = x NX ：2 021,a = 2 2,则()A.a PB.a PC.a? PD.a?P解析 因为a = 2 2不是自然数,而集合P是不大于'2 021的自然数构成的集合, 所以a?P,只有D正确.答案 D3. (老教材必修 1P44A 组 T5 改编)已知集合 A = (,y)2+ y2= 1,B= (,y),y R且y=x,则A B中元素的个数为 .解析 集合A表示以(0,0)为圆心,1为半径的单位圆上的点 集合B表示直线y=X 上的点，圆X2+ y2= 1与直

6、线y= X相交于两点22 乎，¥，乎，则A B中 有两个元素.答案2 (2019 全国川卷)已知集合 A= 1,0,1,2,B= xX2 1,则 A B=()A. 1,0,1B.0,1C. 1,1D.0,1,2解析 因为 B = xX2 1| = x| 1 x 1,又 A = 1,0,1,2,所以 A B = 1,0,1.答案 A (2019 全国 U 卷改编)已知集合 A= x|x2 5x+ 6>0,B = x|x 1 0,全集 U = R,则 A (?UB)=()A.( ,1)B.( 2,1)C.( 3, 1)D.(3, + )解析 由题意 A= xx<2 或 x&g

7、t;3.又 B = x|x 1,知?UB= x|x<1, A A (?UB)= xx<1.答案 A (2020青岛模拟)设P和Q是两个集合,定义集合P Q= xx P,且x?Q,如果P=x1<2x<4,Q = yy= 2+ Sin x,x R,那么 P Q=()A.xO<x 1B.xO x<2C.x1 x<2D.xO<x<1解析 由题意得 P = x0<x<2, Q = y1 y 3, . P Q= x0<x<1.答案 D考点一集合的基本概念X【例 1】(1)定义 PQ= ZlZ= yx+ y, x P, y Q ,

8、已知 P= 0, 2,Q = 1,2, 则PQ=()A.1, 1B.1, 1,03“3C. 1, 1, 4D. 1, 4(2) 设集合A= x|(x a)2<1,且2 A,3?A,则实数a的取值范围为.解析(1)由定义,当X= 0时,z= 1,一 23当 x= 2 时,z= 12+=1 或 Z= 22 1 = 4.3因此 pQ= 又 B? A, °- 一 A, a= ±.，-1，-4.；2一a)2<11 解得 1<a< 或(3 a) 2 1,a2或a4.所以1<a 2.答案(1)C(2)(1,2规律方法1研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素

9、是什么，即弄清该集合 是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么 从而准确把握集合的含义.2.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合中的元素是否满足互异性【训练1】(1)(2018全国U卷)已知集合A= (x,y)|x2+ y2 3,x乙y Z,则A中元素的个数为()A.9B.8C.5D.4设A是整数集的一个非空子集 对于k A,如果k1?A,且k+ 1?A,那么称k是A 的一个“孤立元”.给定S=1,2,3,4,5,6,7,8,由S的3个元素构成的所有集合中, 不含“孤立元”的集合共有个.解析(1)由题意知 A= ( 1,0),(

10、0,0),(1,0),(0 1),(0,1),( 1,1),( 1,1),(1, 1),(1,1),故集合 A 中共有 9 个元素.(2)依题意可知,由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”时,这三个元素 一定是连续的三个整数 J 所求的集合为 1,2,3,2,3,4,3,4,5,4,5,6,5,6,7,6,7,8, 共 6 个.答案(1)A(2)6考点二集合间的基本关系【例2】(1)(2019湖北八校联考)已知集合A= 1,1,B= xax+ 1 = 0.若B?A,则实数a的所有可能取值的集合为()A. 1B.1C. 1,1D. 1,0,1(2020长沙长郡中学模拟)已知集合 A=xy

11、= log2(x1 a综上可知，实数a所有取值的集合为 1,0,1.由 x2 3x 4>0 得 x< 1 或 x>4,所以集合A= xx< 1或x>4.由 x2 3mx+ 2m2<0(m>0)得 m<x<2m.又B?A,所以2m 1(舍去)或m4.答案(1)D(2)B规律方法1.若B?A,应分B = ?和B ?两种情况讨论.2已知两个集合间的关系求参数时，关键是将两个集合间的关系转化为元素或区 3x 4),B = xX2 3mx + 2m2<0(m>0),若B? A,则实数m的取值范围为()A. (4, + )B.4, +)C.

12、(2, + )D.2, +)解析 (1)当B= ?时,a= 0,此时,B?A.1当 B?时,则 a0, B= XlX= a .a间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系解决这类问题常常要合理利用数 轴、Venn图,化抽象为直观进行求解确定参数所满足的条件时，一定要把端点值代 入进行验证，否则易增解或漏解【训练 2】 若集合 M = xX 1,N = yy = x2Jx 1,则()A.M = NB.M? NC.M N = ?D.N? M(2020 武昌调研)已知集合 A= xlog2(x- 1)<1,B = x|X-a<2,若 A? B,则实数 a的取值范围为()A.(1,3)B.1

13、,3C.1, + )D.(- ,3解析(1)易知 M = x|- 1x 1,N = yy= x2,x 1 = y|0y 1, A N? M.由 log2(x- 1)<1,得 0<x- 1<2,所以 A= (1,3).由 |x a|<2 得 a 2<x<a+ 2,即 B = (a 2,a+ 2).a 21,因为A? B,所以解得1 a 3.a + 2 3,所以实数a的取值范围为1,3.答案(1)D(2)B考点三集合的运算-多维探究角度1集合的基本运算【例 3- 1】(1)(2019 全国 I 卷)已知集合 U = 1,2,3,4,5,6,7,A = 2,3,4

14、,5, B = 2,3,6,7,则 B (?UA)=()A.1,6B.1,7C.6,7D.1,6,7(2020九江模拟)已知全集U = R,集合A= xx- 4 0, B = 刈n x<2,则？u(AG B) =()A. x|x>4B.x|x 0 或 x>4C.x0<x 4D.xx<4 或 xe2解析(1)由题意知?UA= 1,6,7.又 B = 2,3,6,7,A B (?UA) = 6,7.(2)易知 A= x|x4,B = x0<x<e2,则 A B = x0<x 4,故?u(A B) = xx 0 或 x>4.答案(1)C(2)B角

15、度2抽象集合的运算【例3 2】设U为全集,A,B是其两个子集，则“存在集合C,使得A?C,B?uC” 是“A B=?”的()A. 充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析 由图可知 若“存在集合C,使得A?C,B?uC”，则一定有“A B = ?” ；反 过来若“A B = ?”，则一定能找到集合C,使 A? C且B? ?uC.答案 C规律方法1进行集合运算时，首先看集合能否化简，能化简的先化简，再研究其关系并进行运算2.数形结合思想的应用：(1) 离散型数集或抽象集合间的运算，常借助Venn图求解；(2) 连续型数集的运算，常借助数轴求解，运用数轴时要特别注意

16、端点是实心还是 空心.【训练3】(1)(角度1)(2018天津卷)设全集为R,集合A= x0<x<2,B= xx 1,则 A (?RB)=()A. xO<x 1B.x0<x<1C.x1 x<2D.x0<x<2(2)(多选题)(角度()A.A B= A1)已知集合 A = x Nx 1,B = x Zly= . x+ 1 . 3 x,则B.A B= BC.?BA= 1,2,3D.?BA= x1v x 3(角度 2)若全集 U = 2, 1,0,1,2,A= 2,2,B = xx2 1= 0,则图中阴影部分所表示的集合为()A. - 1,0,1B.

17、1,0C. - 1,1D.0解析 (1)因为 B = x 1,所以?RB= x<1, 又 A= x0<x<2,所以 A (?RB) = x0<x<1.(2) 易知 A = 0,1, B = 1,0,1,2,3,所以 A B = 0,1 = A,A B = B,?BA = 1,2,3,故 A,B,C 正确.(3) B = xx2- 1 = 0 = 1,1,阴影部分所表示的集合为？U(AU B).又A B = 2, 1,1,2,全集 U = 2, 1,0,1,2,所以?U(AU B) = 0.答案 （1）B（2）ABC （3）DI旳层限Bn序A级基础巩固一、选择题1.

18、 (2019 全国 I 卷)已知集合 M = x 4<x<2, N = x2 X 6<0,贝U M N =()A. x|4<x<3B. x|4<x< 2C.x| 2<x<2D.x2<x<3解析 M = x| 4<x<2, N = x| 2<x<3, M N = x| 2<x<2.答案 C2. (2019 浙江卷)已知全集 U = 1,0,1,2,3,集合 A = 0,1,2, B = 1,0,1,则 (?UA) B=()A. 1B.0,1C. 1,2,3D. 1,0,1,3解析由题意,得?UA

19、= 1,3, A (?UA) B = 1.答案 A 3（多选题）已知集合A= 1,2,3,4, B = yy= 2x 3,x A,则集合A B的子集可以 为（）A.?B.1C.3D.1,3解析 由题意,得 B = 1,1,3,5, A B = 1,3.故集合A B的子集可以为？,1,3,1,3.答案 ABCD2 14.设集合 M = x|x2 x>O,N= X <1 ,则()A.M NB.N MC.M = ND.M U N = R1解析 集合 M = x|x2x>0 = xx>1 或 x<0, N= X <1 = xx>1 或 x<0,所以 M入

20、=N.答案 C5. 设集合A= x| 1<x 2,B = xx<O,则下列结论正确的是()A. (?rA)G B = x|x< 1B. A B= x| 1<x<0C. AU (?RB) = xx 0D. A B= xx<0解析易求？RA= xx 1 或 x>2, ?RB = xx 0,(?RA) B = xx 1,A 项不正确.A B= x| 1<x<0,B项正确检验C、D错误.答案 B6. 已知集合 M = xy= x 1,N = xy= Iog2(2 x),则?R(M N)=()A.1,2)B.( ,1) 2, + )C.0,1D.(

21、,0) U 2, + )解析由题意可得 M = x|x 1,N = xx<2, M N = x|1 x<2, A ?r(M N)=xx<1 或 x 2.答案 B7. (2020日照一中月考)已知A= 1, +),B= 0,3a 1,若A B?,则实数a的取 值范围是()A.1, +)B. £ 12C. 3,+D.(1, + )2 2解析 由题意可得3a 1 1,解得a3,二实数a的取值范围是3,+ 答案 C8. 设集合 A= (x,y)x+y= 1,B = (x,y)|x y= 3,则满足 M?(AG B)的集合 M 的个数是（)A.0B.1C.2D.3解析x+y=

22、 1,ZH X= 2,由得xy= 3,y= 1, A B= (2, 1).由 M?(AG B),知 M = ?或 M = (2, 1).答案 C二、填空题9. (2019 江苏卷)已知集合 A= 1,0,1,6,B = x>0,x R,则 A B =.解析 由交集定义可得A B = 1,6.答案1,610. 已知集合 A= 1,3,4,7, B = xx= 2k+ 1,k A,则集合 A B中元素的个数为解析 由已知得B = 3,7,9,15,所以 A B = 1,3,4,7,9,15,故集合A B中元素的个数为6.答案611. 已知集合 A= xx2 5x 14 0,集合 B = xm

23、+ 1<x<2m 1,若 B? A,则实数 m 的取值范围为.解析 A= x|x2 5x 14 0 = x| 2 x 7.当 B = ?时,有 m+ 1 2m 1,则 m 2.当B?时,若B?A,如图.2 OI I 7rwLIlm-Lm+ 1 2,则 2m 17,m+ 1<2m 1,解得2<m 4.综上,m的取值范围为(一,4.答案 ( ,412. 若全集 U = R,集合 A= x|x2 x 20,B = xlog3(2 x) 1,则 A (?UB) =解析由题意,得集合 A= x|x2 x 2 0 = xx 1 或 x2,因为 Iog3(2 x) 1 = log33

24、,所以 0<2 x 3,解得1x<2,所以 B= x| 1x<2,从而?UB = x|x< 1 或 x2,故 A (?UB) = xx< 1 或 x2.答案xx< 1 或 x2B级能力提升13. (2020 福州检测)已知集合 A= x|x2 16<0,B = x3x2+ 6x= 1,则()A.A B= ?B.B? AC.A B= 0D.A? B解析由题意,得 A= xx2 16<0 = x| 4<x<4, B = x3x2 + 6x= 1 = 0,6,A B = x|x= 6 或4<x<4,A B = 0,故 A 错误,

25、显然 B、D 错误,故 C 正 确.答案 C14. 已知集合 A= xy= 4 x2, B = xa x a+ 1,若 A B = A,则实数 a 的取值 范围为()A.( , 3 U 2, + )B. 1,2C. 2,1D.2, +)解析 集合 A= xy= 4 x2 = x| 2x2,因 AU B = A,则 B?A.a 2,又B?,所以有所以一2a 1.a+ 1 2,答案 C15. (多填题)已知集合 A = x R+ 2<3,集合 B = x RI(X- m)(x 2)<0,且A B= ( 1,n),贝U m=n =.解析 A= x RX+ 2<3 = x R| 5<x<1,由 A B= ( 1,n),可知 m<1,则 B = xm<x<2,画出数轴,可