高考数学文化素养型题精选

1、15 / 11高考数学文化素养型题1算数书竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系 统的数学典籍，其中记载有求“困盖”的术：置如其周，令相乘也又以高乘之，三十六成1 2一.该术相当于给出了由圆锥的底面周长 L与高h,计算其体积V的近似公式V-L2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么，近似公式v务出相当于将圆锥体积公式中的近似取为（）2515722B."8C."50D.355帀解析：由题意可知:LIIIL=2 r ,即r =,圆锥体积V= Sh=彳冗r2h: 2 3332 2h=£22 21225Lh75L h，故 12

2、75 "8,故选 B.【答案】B2.如图，正方形 ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分位于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）A.B.8C.1D.【解析】设正方形边长为2,则圆半径为1,图中黑色部分的概率为则正方形的面积为 2 2 4 ,圆的面积为 I2则此点取自黑色部分的概率为2 4 8故选B【答案】B3我国占代数学名剖奪法统宗中宵如F问题远望褰巍塔七 层红尤点点倍加增”共灯三百八十一请问尖头几盏灯?"意思 是:一座7层曙共挂了 381盏灯11相邻两层中的下一层灯数是 上一层灯数的2倍节则塔的顶层

3、共右'灯()-l R3 盏C 5 盏E>,9 X Ii解析！设塔的顶层的灯数为"七层塔的恿灯數为”厂公比为q * 则 -题意矢J 8丁 一 SXl 2 381 *解得“一:久故选B4. 九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个 面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图，在阳马 P- ABCC中，侧棱PD底面ABCD且PD= CD过棱PC的中点E,作EF PB 交PB于点F,连接DE DF、BD BE(1)证明：PB丄平面DEF试判断四面体DBEF是否为鳖臑.若是，写出其每个面的直角(只需写 出结论)；若不是，说明理由；(2)若面DEF与

4、面ABCD所成二面角的大小为3 ,求DC勺值.解析：法一 证明 因为PD底面ABCD所以PD BC,由底面ABCD为长方形，有BCL CD而PD CD= D,所以BCL平面PCD而DE?平面PCD所以BCL DE又因为PD= CD点E是PC的中点，所以DELPC而PC BC= C,所以DEL平面PBC而PB?平面PBC所以PB丄DE又PB丄EF , DE EF= E,所以PB丄平面DEF由DEL平面PBC PB丄平面DEF可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形,即四面体BDEF是一个鳖臑,其四个面的直角分别为 DEB DEF EFB DFB解 如图,在面PBC内 ,延长BC与 FE交于点G,

5、则DG是平面DEF与平面ABCD勺交线.由 知,PB丄平面DEF所以PB丄DG又因为PDL底面ABCD所以PDLDG而PD PB= P ,所以DGL平面PBD故 BDF是面DEF与面ABCD成二面角的平面角,设 PD= DC= 1 , BC= ,有 Be= ; 1 + 2 ,在 Rt PDB中,由 DFL PB,得 DPF=ZIFDB=3,则 tan 3=tan DPF= PDj=+入 2= ''3 ,解得 = 2DC 1-2所以DC=亍故当面DEF与面ABCD所成二面角的大小为时,BC=W2法二 证明 如图,以D为原点,射线DA DC DP分别为X , y , Z轴的正半轴,

6、建立空间直角坐标系.设PC= DC= 1 , BC= ,则QO, 0 ,O), P(0, 0 , 1), B( , 1 , 0), C(0, 1 , 0), PE= ( , 1 , - 1),点 E11 11是 PC的中点，所以 EO, 2，2，DE= 0，2, 2，于是PB DE= 0,即卩PB丄DE又已知EF PB,而DE EF= E,所以PB丄平面DEF因PC= (0 , 1, 1) , DE PC= 0,则 DELPC,所以DEL平面PBC 由DEI平面PBC PB丄平面DEF可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形，即四面体BDEF是一个鳖臑,其四个面的直角分别为 DEB DEF E

7、FB DFB 解 由PDL平面ABCD所以DF= （0 , 0 , 1）是平面ABCD勺一个法向量;由知,PB丄平面DEF所以BP= （ , 1 , 1）是平面DEF的一个法向量.若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为E ,则COS DPB dP解得厂DC=2.所以BCF 2故当面DEF与面ABCD成二面角的大小为时,DC=亍5. 宋元时期杰出的数学家朱世杰在其数学巨著四元玉鉴卷中“菱草形段”第一个问题，“今有菱草六百八十束，欲令落一形（同垛）之，问底子（每层三角形边菱草束数，等价 于层数）几何？”中探讨了“垛积术”中的落一形垛（“落一形”即是指顶上一束，下一层三 束，再下一层6束，,成三角

8、锥的堆垛，故也称三角垛，如图，表示第二层开始的每层菱 草束数）,则本问题中三角垛底层菱草总束数为.解析：由题意，第n层菱早数为1 + 2+n (n+ 1) n= 2 , 1 + 3+ 6+ n(n： I) = 680,=6n(n+ 1)( n + 2) = 680,1 1 1 即为2 1门(n+ 1)( 2n+ 1)+ qn (n+ 1)即有 n(n+ 1)( n+ 2) = 15× 16× 17, n= 15, n(n； I) = 120.【答案】1206. 秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的数书九章中 提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍

9、是比较先进的算法如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输入n, X的值分别为3, 2,则输出V的值为（）A.35B.20C.18D.9ifi=t-l/输岀/解析：按照图中的程序计算，当i = 2时，得V = 4;当i = 1时，得V = 2×4+ 1 = 9;当i = 0时，得V= 2× 9+ O= 18;当i = 1时，直接输出V = 18,即输出的V值为18,故选C.【答案】C7. 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图1-1 ,米堆为

10、一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为 8尺，米堆的高为 5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？"已知1斛米的体积约为 1.62立方尺，圆周率约为 3,估算岀堆放的米约有 （）图1-1A. 14 斛 B 22 斛 C 36 斛 D . 66 斛 R161解析由题意，题中图形为四分之一圆锥，设圆锥的底面半径为R，则由 =8得R=,所以V米=-V241 1圆锥=××4 32× 5=320 320 3 9（立方尺），所以320÷ 1.62 21.9522（斛）.【答案】B8. 如图1-3所示的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减

11、损术” 执行该 程序框图，若输入的 a, b分别为14, 18,则输岀的a=（）A. 0B4D. 14解析逐一写岀循环:a= 14, b = 18 a= 14, b= 4a = 10,b = 4 a = 6, b=4 a= 2, b = 4 a= 2,b=2 ,结束循环.故选B.【答案】B.大约9. 鸡兔同笼是中国古代著名趣题之一 在1500年前，孙子算经中就记鸡兔同笼载了这个有趣的问题.书中是这样叙述的：“今有雉兔同笼，三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？ ”这四句话的意思是：有若干只鸡和兔同在一个笼子里，从上面数 有35个头；从下面数有 94只脚.问笼中各有几只鸡和兔？下列程序框图是计算

12、鸡兔同笼的的算法，则判断框 处可填入的是（）AS 94 B.S 94C.S 94 D.S 94【解析】根据程序框图结合鸡兔同笼的提问，n表示鸡的个数，m表示兔的个数，鸡从 1开始验证，所以S 94 ,需要继续循环，故排除 BQ,直到S=94时循环结束，排除了 A,故选C.【答案】C10. 由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求岀发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割），并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数 被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机所谓戴德金分割，是指将有理数集Q划分为两个非空

13、的子集 M与N,且满足 M N=Q M N= ，M中的每一个元素都小于 N中的每一个元素, 则称（M N）为戴德金分割试判断，对于任一戴德金分割（ M N）,下列选项中，不可能成立的是（）A M没有最大元素，N有一个最小元素B M没有最大元素，N也没有最小元素C. M有一个最大元素，N有一个最小元素 D M有一个最大元素，N没有最小元素【解析】因为M与N满足M N=Q M N=,不妨设分界点为, M为（一 ,的子集,N为（,+ ）的 子集，或M为（ ,）的子集,N为,+ ）的子集，此时M没有最大值,N没有最小值，若分界点为1, M为（ ,1的子集,N为（1,+ ）的子集时M有最大值1, N没有

14、最小值，若 M为（一 ,1）的子集,N为1,+ ）的子集，则M没有最大值，N有最小值1,综上可知选 C.【答案】CE我国古代数学家刘徽创立的沏闘术那可以估算圆周率址理论上能把咒的（H计算到任意精度.祖冲之继承并发展了.剤圆术J将的值精确到小数直厉七位,其结果领先世界-T年割圆术的第一步是计算单位圆内接正貢边形的而积S訂S6 =，窮析:杵出羊Ifeal的由接正六边EO第I!题图12.我国南宋时期的数学家秦九韶在他的著作数书九章中提岀了计算多项式nan Xn 1an lXL aiX a。的值的秦九韶算法，即将X改写成如下形式:f X (Lanxan 1 Xan 2 X LaI)X aO ,首先计算

15、最内层一次多项式的值，然后由内向外逐层计算一次多项式的值.这种算法至今仍是比较先进的算法.将秦九韶算法用程序框图表示如下图，则在空白的执行框内应填入(A. VVXaiBVVXaiC.V aiX VD.VaXV【解析】秦九韶算法的过程是VkV0 an(kVk 1 an k1,2,L , n),这个过程用循环结构来实现,应该在题图中的空白执行框内填入V VX 4,选A.【答案】A13. “欧几里得算法”是有记载的最古老的算法，可追溯至公元前 300年前,上面的程序框图的算法思路就是来源于“欧几里得算法”，执行该程序框图（图中“”表示除以的余数），若输入的分别为 675,125,则输岀的/输入码b

16、/F=-A. 0B. 25C. 50D. 75【解析】当此时否，否，是,输出，选B.【答案】B14. 我国南北朝时的数学著作张邱建算经有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持岀，下四人后入得金三斤，持岀，中间三人未到者，亦依等次更给，问各得金几何？”则在该问题中，等级较高的二等人所得黄金比等级较低的八等人和九等人两人所得黄金之和（）7A.多12斤B.7_少12斤 C.1多6斤D.【解析】设这十等人所得黄金的重量从大到小依次组成等数列 M J则十Q43Gl +i + OJ = 4,i37+（7a +¾+¾ =3,由等菱魏列的性质得i¾ = = - J4 31CTI -（¾ + *¾） = - - = -,½ D.J Jb【答案】D15. 中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步6天后到达目的地则该人最后一天走的路程为A. 24 里B. 12C. 6D. 3行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的