高考数学专项突破：圆锥曲线专题

1、高考数学专项突破:线专题-CAL-FENGHAl-(2020YEAR-YICAl)JINGBIAN高考数学专项突破:圆锥曲线专题目录一、知识考点讲解3第一部分了解基本题型3第二部分掌握基本知识6第三部分掌握基本方法9二、知识考点深入透析15三、圆锥曲线之高考链接17四、基础知识专项训练21五、解答题专项训练29附录：圆锥曲线之高考链接参考答案34附录：基础知识专项训练参考答案38附录：解答题专项训练参考答案4150、知识考点讲解一、圆锥曲线的考査重点：高考试卷对圆锥曲线的考查主要是：给出曲线方程，讨论曲线的基本元素和简单的儿何 性质；或给岀曲线满足的条件，判断（或求）其轨迹；或给出直线与曲线、

2、曲线与曲线的位 置关系，讨论与其有联系的有关问题（如直线的方程、直线的条数、弦长、曲线中参数的取 值范圉等）；或讨论直线与曲线、曲线与曲线的关系；或考查圆锥曲线与其它知识的综合 （如与函数、数列、不等式、向量、导数等）等。二、圆锥曲线试题的特点：1、突出重点知识的考查。直线与圆的方程、圆锥曲线的定义、标准方程、儿何性质等 是圆锥曲线命题的根本，在对圆锥曲线的考查中，直线与圆锥曲线的位置关系仍然是重点。2、注重数学思想与方法的考查。3、融合代数、三角、不等式、排列组合、向量和儿何等知识，在知识网络的交汇点处 设计问题是高考的一大特点，山于向量具有代数和儿何的双重身份，使得圆锥曲线与平面向 量的整

3、合交汇成为高考命题的热点，导数知识的引入为我们解决圆锥曲线的最值问题和切线 问题提供了新的视角和方法。三、命题重点趋势：直线与圆锥曲线或圆与圆锥曲线1、高考圆锥曲线内容重点仍然是直线与圆锥曲线或圆与圆锥曲线，直线与圆锥曲线联 系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现。2、热点主要体现在：直线与圆锥曲线的基础题；涉及位置关系的判定；轨迹问题；范 圉与位置问题；最值问题；存在性问题；弦长问题；对称问题；与平面向量或导数相结合的 问题。3、直线与圆锥曲线的题型涉及函数的与方程，数形结合，分类讨论，化归与转化等重 要的数学思想方法，是高考必考内容之一，这类题型运算量比较大，思维层次较高，要求考

4、生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高，起到了拉开考生“档次”，有利于选拔的功 能，对学生的能力要求也相对较高，是每年高考中平面儿何部分出题的重点内容第一部分了解基本题型一、高考中常见的圆锥曲线题型1直线与圆锥曲线结合的题型(1) 求圆锥曲线的轨迹方程:这类题主要考查学生对圆锥曲线的标准方程及其相关性质，要求较低，一是出现在选择 题，填空题或者解答题的第一问，较容易。(2) 求直线方程、斜率、线段长度相关问题:此类题目一般比较困难，不仅考查学生对圆锥曲线相关知识的掌握，而旦还考查学生的 综合处理问题的能力，还要求学生有较强的推算能力。这类题目容易与向量、数列、三角函 数等知识相结合，学生在解

5、题时，可能会因为抓不住解题要领而放弃。(3) 判断直线与圆锥曲线的位置关系:直线与圆锥曲线的位置关系是解析几何的重点内容之一。可从代数与几何两个角度考 虑，从代数角度看，可通过将表示直线的方程，代入圆锥曲线的方程消元后所得的情况来 判断，但要注意的是：对于椭圆方程来讲，所得一元方程必是一元二次方程，而对双曲线方 程来讲未必。例如：将y = lcx + m代入-v = l中消y后整理得：Cr Zr(b -a2k2)x2 - Ia2kmx -an -a2b2 =O ,当k =±时，该方程为一次方程，此时直线Uy = kx + m与双曲线的渐近线平行，当k=±-时，该方程为二次方

6、程，这时可以用判别式来 a判断直线与双曲线的位置关系。©从几何角度看，可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及两个相异的公共点，具体 如下：Q)直线与圆锥曲线的相离关系，常通过求二次曲线上的点到已知直线的距离的最大值或 最小值来解决。®直线与圆锥曲线仅有一个公共点，对于椭圆，表示直线与其相切；对于双曲线，表示 与其相切或与双曲线的渐近线平行，对于抛物线，表示直线与其相切或直线与其对称轴平 行。（3）直线与圆锥曲线有两个相异的公共点，表示直线与圆锥曲线相割，此时直线被圆锥曲 线截得的线段称为圆锥曲线的弦。2、圆与圆锥曲线结合的题型这类题目要求学生对圆锥曲线、圆以及直线的知识非常

7、熟悉，并有较强的综合能力。3、圆锥曲线与圆锥曲线结合的题型这类题目在高考中并不是常考题型，但也是一个命题热点。题目中经常涉及两种圆锥 曲线，对这部份知识要求较高，必须熟练掌握才能进行解题，还有这类题目看起来比较复 杂，容易使人产生退却之心，所以面对这种题型，我们要克服心理的恐惧，认真分析题意， 结合学过的知识来解题。4、圆锥曲线与向量知识结合的题型在解决解析几何问题时，平面向量的出现不仅可以很明确地反映几何特征，而且又方便 计算，把解析几何与平面向量综合在一起进行测试，可以有效地考查考生的数形结合思想. 因此许多解析几何问题均可与向量知识进行综合。高考对解析几何与向量综合考查，采取了 新旧结合

8、，以旧带新，使新的内容和旧的内容有机地结合在一起设问，就形成了新的高考命 题的热点。二、常见的一些题型:题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系；题型二：弦的垂直平分线问题；题型三：动弦过定点的问题；题型四：过已知曲线上定点的弦的问题；题型五：共线向量问题；题型六：面积问题;题型七：弦或弦长为定值问题；题型八：角度问题；问题九：四点共线问题；问题十：范围问题(本质是函数问题)；问题、存在性问题：(存在点，存在直线y = b + "7,存在实数，存在图形：三角形(等比、等腰、直角)I四边形(矩形、菱形、正方形)I圆)。三、热点问题:1、定义与轨迹方程问题；2、交点与中点弦问题；3、

9、弦长及面积问题；4、对称问题；5、最值问题；6、范围问题；7、存在性问题；8、定值、定点、定直线问题。第二部分掌握基本知识1、与一元二次方程2+b + c = 0(4H0)相关的知识：(三个“二次”问题)(1) 判别式: = r-4 O(2) 韦达定理:若一元二次方程"F+b + c = 0(dH0)有两个不同的根召,兀,lhC贝IJ xi+x1 = ,xix-> = oCla(3) 求根公式:若一元二次方程必 +bx + c = O(aO)有两个不同的根召以2«-b±b2-4ac2、与直线相关的知识:(1)直线方程的五种形式：点斜式、斜截式、两点式、截距式

10、、一般式。 与直线相关的重要内容： 倾斜角与斜率:k = tandwO")； 点到直线的距离公式:J = IAVo÷>÷cIo A2 + B2 弦长公式:直线y = kx + b±,两点A(XryXB(x29y2)间的距离：Il = J1 + "XI = J(l + W)(X+X2)'-4xrE(或M=I+p->,->,2.较少用)。 两条直线I1: y = klx+blJ2: y = k2x+b2的位置关系: 1 ±2<>=-l ； Il IllI <=>1 =k2且勺 b2o(5)

11、中点坐标公式：已知两点(x1,y1), Bgy2)，若点Mgy)是线段AB的中点, 则“呼,y =呼。3圆锥曲线的重要知识: 考纲要求:对它们的定义、几何图形、标准方程及简单性质，文理科要求有所不同。文科：掌握椭圆，了解双曲线及拋物线；理科：掌握椭圆及拋物线，了解双曲线。(1)、圆锥曲线的定义及几何图形：椭圆、双曲线及抛物线的定义及几何图形。(2)、圆锥曲线的标准方程：2 2 220椭圆的标准方程：二 + 二=l(">b> O 且 a2=b1+c2)或 l + 21 = I(WZ > oz > O7W )； Cr IrIn n(距离式方程：y(+c+y2 +

12、7u-c)2+y2 =)2 222 双曲线的标准方程：4-7V = IG/>0,7>0且C/+，)或+ = l(w.<0)；a" IyIn H(距离式方程：IJ(X+ c)2 + )F -J(X-Cy +y2 I= 2a )(3：抛物线的标准方程：y2 = 2px(p>0),还有三类。、圆锥曲线的基本性质：必须要熟透，特别是离心率，参数b,c三者的关系，卩的几 何意义等。(4) 、圆锥曲线的其它知识：(了解一下，能运用解题更好)通径：椭H：;双曲线:越1；抛物线:2"； aa焦点三角形面积公式：P在椭圆上时，tanP在双曲线上时，SAf.pR=/r-

13、；tan 2(其中 ZFIPF2 =8,COSe= "f # F-IlTK I cos <9 ) 焦半径公式：椭圆焦点在X轴上时为“±弧;焦点在y轴上时为d±%,(简记为''左加右减上加下减T ；双曲线焦点在X轴上时为ex0±a ；抛物线焦点在轴上时为1和+2,焦点在y轴上时为I X 1+上o 2 24、常结合其它知识进行综合考查:(1)圆的相关知识：两种方程，特别是直线与圆、两圆的位置关系。(2)导数的相关知识:求导公式及运算法则，特别是与切线方程相关的知识。(3) 向量的相关知识:向量数量积的定义及坐标运算？两向量的平行与垂直的

14、判断条件 竺Tr o(4)三角函数的相关知识：各类公式及图象与性质等。(5) 不等式的相关知识:不等式的基本性质，不等式的证明方法，均值定理等。第三部分掌握基本方法一、圆锥曲线题型的解题方法分析高考圆锥曲线试题常用的数学方法有：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参 数法、消去法等。1、解题的通法分析：高考数学试题特别注重对中学数学通性通法的考查，这符合高考命题原则：考查基础知识，注重数学思想，培养实践能力。中学数学的通性通法是指数学教材中蕴涵的基本数学 思想(化归思想、转化思想、分类思想、函数方程的思想、数形结合的思想)和常用的数学 方法(数形结合，配方法，换元法，消元法，待定系数法等)

15、。解决圆锥曲线这部分知识有关的习题时，我们最常用的数学方法有数形结合，待定系 数法，化归转化等。在求解直线与圆锥曲线的问题时我们一般都可以将直线方程与圆锥曲线 方程联立，得到一个方程组，通过消元得到一个一元二次方程再来求解。就是要利用已知条 件找到参数与参数之间或是与已知量之间的关系，这时一般会用到韦达定理进行转化。例如 要判断直线与圆锥曲线的位置关系，我们就可以联立直线方程与圆锥曲线方程，消y得到一 个关于X的一个一元二次方程，然后我们就可以根据一个一元二次方程的=b2-4ac的值来 判断。直线与圆锥曲线的位置关系的判断：(直线与圆锥曲线的位置关系有相交、相切、相 离)设直线L的方程是：Ax

16、 + By + c = O1圆锥曲线的C方程是:/(x,y) = O,则由Ax + By + c = O. ZF=,7 tZ Xrz C 消去 y 得：Or+加+ C = O(GHO) (*)lg) = o设方程(*)的判别式是=b2-4ac,贝IJ(1)若圆锥曲线f(.y) = O是椭圆若厶二，_4m0O方程（粉有两个不等实根O直线L与椭圆C相交O直线与椭圆C有两 个不同的公共点。若厶二，_4“二O O方程（粉 有两个相等的实根O直线L与椭圆C相切O直线与椭圆C只 有一个公共点。若方程=b2-4ac<QO方程（*）无实根O直线L与椭圆C相离O直线与椭圆无公共点。（2）若圆锥曲线f（x.

17、y） = O是双曲线若A=h2-4ac>0O方程（粉有两个不等实根O直线L与双曲线C相交O直线与双曲线C 有两个不同的公共点。若厶二4M二OO方程（*）有两个相等的实根O直线L与双曲线C相切O直线与双曲线 C只有一个公共点。若厶二/异-4M0O方程（*）无实根O直线L与双曲线C相离O直线与双曲线C无公共 占八、O注意当直线L与渐近线平行，直线L也与双曲线是相交的，此时直线L与双曲线只有一个公共点故直线L与双曲线C只有一个公共点时，直线L与双曲线可能相交也可能相切。（3）若圆锥曲线f（x,y） = 0是抛物线若=b2-4ac>0O方程（*）有两个不等实根O直线L与抛物线C相交O直线与

18、抛物线C 有两个不同的公共点。若厶二，一4M二°。方程（町有两个相等的实根O直线L与抛物线C相切O直线与抛物线 C只有一个公共点。若厶二4M00方程仕）无实根O直线L与抛物线C相离O直线与抛物线C无公共 占八、O注意当直线L与抛物线的对称轴平行时，直线L与抛物线C只有一个公共点，此时直线L与抛物线C相交，故直线L与抛物线C只有一个公共点时可能相交也可能相切。系统掌握求曲线（轨迹）方程的常用方法（直译法、定义法、待定系数法、动点转移 法、参数法等）；掌握综合运用直线的基础知识和圆的性质，解答直线与圆的位置关系的思 想方法；熟练掌握圆锥曲线的标准方程、几何性质及其应用；掌握与圆锥曲线有关

19、的参数讨 论问题的解法；掌握解答解析几何综合问题的思想方法，提高分析问题和解决问题的能力。2、合理选择适当方法优化解题过程:数学的解题过程一般是由理解问题开始，经过探讨思路，转化问题直至解决问题题目的 意思至为重要，然后我们才能分解问题，把一个复杂的问题转化成几个简单的熟悉的问题， 通过逐步分解，进而解决问题。所以在解题前，首先我们应该从全方位、多角度的分析问 题，根据自己的知识经验，适时的调整分析问题的角度，再充分回忆与之相关的知识点把陌 生的问题转化为一些熟悉的题型，找到一个正确的简便的解题方法。合理选择方法，提高运算能力。解析几何问题的一般思路易于寻找，但运算量大，所以 合理选择运算方法

20、可以优化解题过程、减少运算量通常减少运算量的方法有合理建立坐标 系；充分利用定义；充分利用平面几何知识；整体消元法等。对圆锥曲线的基础知识首先要扎实，关于解题技巧可以考虑下面儿点：某些问题要 注意运用圆锥曲线定义来解题；与弦有关问题多数要用韦达定理；与中点有关问题多 数要用“点差法”；计算能力一定要过硬，要有“不怕麻烦的劲头”；与角度，垂直 有关问题，要恰当运用"向量”的知识。直线和圆锥曲线的问题是解析儿何中的典型问题，也是考试中容易出大题的考点。解决 这类问题的关键就是要明白直线和圆锥曲线问题的本质。直线截圆锥曲线就会在曲线内形成 弦，这是一个最大的岀题点，根据弦就可以涉及到弦长；

21、另外直线和圆锥曲线有交点，涉及 到交点就会涉及到坐标的一些问题，若是再和交点、原点等一些特殊点构成一些关系还会涉 及到角度问题。解析儿何就是利用代数方法解决儿何问题，因此这些儿何上的角度，弦长等 一些关系都要转化成坐标，以及方程的形式。但是问题的本质还是儿何问题，因此更多的利 用圆锥曲线的儿何性质可以化简计算。比如，在坐标法中向量是和儿何问题结合最紧密的方 法，因此涉及到角度等一些问题可以用向量去做，这样会比直接利用直线的夹角公式计算要 稍简单一些。这类题的计算量一般会比较大，在解题时可以使用一些小技巧简化计算。比如涉及到焦 点的问题看看可不可以用圆锥曲线的第二定义转化。利用第二定义就可以将点

22、到点之间的距 离转化为点到直线之间的距离，而且一般情况下直线还是垂直于X轴或y轴的，这样直接就 和坐标联系上了，这种方法在圆锥曲线中含有参数的时候还是挺好使的，一般在答题中应用 不多，小题中会有不少应用，因此还是要掌握好第二定义。3、解题中应避免的误区:在“圆锥曲线”内容中，为了研究曲线与方程之间之间的各种关系，引进了一些基本概 念和数学方法，例如“圆锥曲线”，“曲线的方程”等概念，函数与方程的数学思想、数形 结合思想、回归定义等方法，对于这类特定的概念理解不准确，对这些方法的掌握存在某些 缺陷，解题时就容易进入误区。对圆锥曲线的两个定义在第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定

23、 点件耳的距离的和等于常数加，且此常数一定要大于加，当常数等于IFlF时，轨迹是线 段IFIL当常数小于IFf21时，无轨迹；双曲线中，与两定点杠,耳的距离的差的绝对值等 于常数2山 且此常数2“ 一定要小于FxF2,定义中的“绝对值”与2a<FlF2不可忽视，若 2a = FlF1,则轨迹是以斤,耳为端点的两条射线，若2a>FlF2,则轨迹不存在，若去掉定 义中的绝对值则轨迹仅示双曲线的一支。第二定义中要注意:定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分 母”，其商即是离心率。圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点 到相应准线距离间的关系，要善于

24、运用笫二定义对它们进行相互转化。在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点仟,耳的位置，是椭圆、双曲 线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数a、b,确定椭 圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线问题时，首先要判断 开口方向。判断直线与圆锥曲线的位置关系时应该注意：直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时 的位置关系有两种情形：相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相 交,但只有一个交点；如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点。二、圆锥曲线题型的常用解法:1、定义法:(1) 椭圆有两种定义。第一定义中

25、，+r=2ao第二定义中，r1=ed1 r2=ed2o(2) 双曲线有两种定义。第一定义中，r1-r2 = ,当时，注意-的最小值为c- &：第二定义中I ri=edll r2=ed3l尤其应注意第二定义的应用，常常将半径与“点到准线的距 离”互相转化。(3) 抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用 定义解决更直接简明。2、韦达定理法:因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为 方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问 题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接

26、解决，但应注意不要 忽视判别式的作用。3、设而不求法:解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解 决，这种方法称为“设而不求法设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问 题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x1, y1),B(x2, y2),弦AB中点为M(Xo,y°),将点A、B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求" 法。点差法(中点弦问题)：设A(E,儿)、3区，)J Mg)为椭圆宁+ 2r = l的弦A3中则有4= 4=>两式相减得j÷r=o=>(Xl -x2

27、,vl +X2)4()?i -y2X>, ÷y2)3=>kAB =3a4b2 2(1) 二+ = l(>b>O)与直线1相交于A、B,设弦AB中点为M(x0,yO)则有Cr Ir4÷>=o;6 Ir2 2(2) 亠一存=1>0上>0)与直线1相交于A、B,设弦AB中点为M(xo, y0)则有Q b-=0 ;a b(3) yc=2px (p>0)与直线 1 相交于 A、B 设弦 AB 中点为 M(XO,y°),则有 2y0k=2p,即 y°k二p。4、数形结合法:解析几何是代数与几何的一种统一，常要将代数的运

28、算推理与几何的论证说明结合起来 考虑问题，在解题时要充分利用代数运算的严密性与几何论证的直观性，尤其是将某些代数 式子利用其结构特征，想象为某些图形的几何意义而构图，用图形的性质来说明代数性质。如“2x+y",令2x+y=b,则b表示斜率为-2的直线在y轴上的截距；如“x'+产,令-v2 + v2 =dl则d表示点P (XI y)至I原点的距离；又如“丄二令二二k,则k表示点 x + 2 x + 2P(X、y)与点A (-2, 3)这两点连线的斜率5、参数法:(1) 点参数：利用点在某曲线上设点(常设“主动点")I以此点为参数，依次求出其 他相关量，再列式求解。如X

29、轴上一动点P,常设P (t. 0)；直线-2y÷l=0 ±一动点P。 除设P (XI) Yi)夕卜,也可直接设P (2y,-l,y1)(2) 斜率为参数：当直线过某一定点P(xo,yo)时，常设此直线为y-y0=k(-o)1即以k 为参数，再按命题要求依次列式求解等。(3) 角参数：当研究有关转动的问题时，常设某一个角为参数，尤其是圆与椭圆上的 动点问题。6、代入法:这里所讲的“代入法”，主要是指条件的不同顺序的代入方法，如对于命题：“已知条件P：,巳求(或求证)目标Q”，方法1是将条件P：代入条件巳，方法2可将条件匕代入条件P：,方法3可将目标Q以待定的形式进行假设，代入

30、巳,匕,这就是待定法。不同的代入方法 常会影响解题的难易程度，因此要学会分析，选择简易的代入法。二、知识考点深入透析一、近几年文科圆锥曲线试题“知识点及问题”分析:年份试题相关知识问题类型备注2012 年(20)椭圆，抛物线，直线， 椭圆的标准方程、直线方程。(1) 求椭圆的标准方程；(2) 与直线、抛物线相结合，相切知 识，求直线方程。2011 年 (21)轨迹方程，抛物线，求轨迹； 最值问题；直线相关知识；解方程组(1) 求轨迹方程(射线及抛物线方 程)；(2) 最值问题(求最小值，及此时点的 坐标)；(3) 参数的取值范围(直线与抛物线结 合，求直线斜率的取值范围)2010 年(21)曲

31、线:y = nx2BP抛物线； 切线方程(求导法)； 两种距离公式；分析法证明；裂项求和知识；(1) 求切线方程及特殊点的坐标；(2) 最值问题(最大值时，求某点的坐 标)；(3) 证明不等式成立2009 年(19)椭圆、圆；点与圆的位置关系判断；(1) 求方程(椭圆的方程)；(2) 求三角形的面积；(3) 存在性问题(是否存在圆包含椭 圆)2008 年(20)椭圆、抛物线；切线方程(求导法) 向量的数量积(垂直问题)元二次方程解的个数(判别(1) 求方程(椭圆及抛物线的方程)；(2) 探究性问题(存在点P使得三角形 为直角三角形，点P的个数)式)2007 年(19)圆、椭圆及定义； 两点间的

32、距离公式； 解方程组；(1) 求方程(圆的方程)；(2) 存在性问题(存在点与距离相等问 题)。锥曲线试题研究:IX曲线类型：以椭圆、抛物线为主,结合圆、直线或其它曲线进行综合考查。2、试题特点：(1)综合性；(2)抽象性；(3)动态性；(4) 新颖性；(5)问题的连惯性；(6)含参数。3.试题中的问题类型：(1) 求方程或轨迹类型：常在第一问中设置，以圆及圆锥曲线的方程为主；(2) 与最值相关的类型:按题意要求，满足最大或最小值时，求某点或某知识；(3) 存在性类型:据题意，判断是否存在点或图形满足题意，要说明理由；(4) 探究性类型：根据题意，探究问题的多样性；(5) 证明类型:根据给定条

33、件，证明不等式或等式成立；(6) 取值范围类型：设置参数，根据题意，求参数的取值范围或求其它的取值范围。4、解题常用的知识要点:(1) 各圆锥曲线的知识，特别是椭圆、抛物线的定义;(2) 圆、直线的相关知识，特别是直线的斜率知识;(3) 求曲线轨迹的方法；(4) 与最值相关的两种距离：点到直线的距离及两点间的距离；(5) 一元二次方程(组)及不等式的相关知识：判别式，韦达定理，解方程组，均值定理Tr /(6) 与导数相关的知识，特别是求切线方程的知识。5、常用的数学思想：(1)数形结合；(2)分类讨论。锥曲线之高考链接2012文20、(本小题满分14分)2 2在平面直角坐标系Xoy中：已知椭圆

34、Cl : + = 1 (/>/?>0)的左焦点为 Cr Zr片(1,0),且点P(OJ)在CI上.(1) 求椭圆Cl的方程；(2) 设直线/同时与椭圆G和抛物线C? : =4x相切，求直线/的方程.2011文21、(本小题满分14分)在平面直角坐标系XQy中，直线1-X = 2交X轴于点A,设P是/上一点，M是线段 OP的垂直平分线上一点，且满足ZMPO = ZAOP .(1) 当点P在/上运动时，求点M的轨迹E的方程；(2) 已知(l,-1) 设H是E上动点，求HO + HT的最小值，并给出此时点H的坐标;(3) 过点(l,-1)且不平行于y轴的直线厶与轨迹E有且只有两个不同的交

35、点，求直线厶的 斜率k的取值范围.2010文21、(本小题满分14分)已知曲线c”：=亦，点代(©,儿)(©>0,儿>0)是曲线c”上的点 = ,2).(1) 试写出曲线c”在点代处的切线人的方程，并求出人与y轴的交点G的坐标；(2) 若原点0(0,0)到-的距离与线段巴Q的长度之比取得最大值，试求试点巴的坐标(暫,儿)；（3）设加与为两个给定的不同的正整数，兀与儿是满足（2）中条件的点化的坐标,证明：-( + l)yn <w7-7 (5 = 1,2,)n-1 V /2009文19.（本小题满分14分）已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在兀轴上离心率为亍两个

36、焦点分别为片和耳椭圆G上一点到FI和Fl的距离之和为12.圆G : X2 + y2 + 2kx-4y - 21 = 0伙e R）的圆心为点£ （1）求椭圆G的方程；（2）求AaF1F2的面积；（3）问是否存在圆G包围椭圆G?请说明理由。2008文20.（本小题满分14分）设心。,椭圆方程为詁抛物线方程为宀2"如图6所示，过点标)2007文19、(本小题满分14分)在平面直角坐标系XOy中，已知圆心在第二象限、半径为2的圆C与直线y = x相切于2 2坐标原点0 椭圆4+ = 1与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10 .Cr 9(1) 求圆C的方程；(2) 试探究圆C上

37、是否存在异于原点的点Q使Q到椭圆右焦点F的距离等于线段OF的长.若 存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由U!、基础知识专项训练1、圆锥曲线的定义：(1) 方程 y(x-6)+y2 - ( + 6)2+ = 8 表示的曲线是。2(2) 已知点(2,o)及抛物线y =罕上一动点P(y则y+；PQ的最小值是42、圆锥曲线的标准方程：(1) 方程Ax2+ By2 =C表示椭圆的充要条件是什么？(2) 已知方程- + - = l表示椭圆，则&的取值范围为o3 + 2_k(3) 若x,yeR,且32 + 2v2=6i则x + y的最大值是, a2 + y2的最小值是提示：应用线性规划方法解

38、。(4) 方程A+By2 =C表示双曲线的充要条件是什么？(5) 设中心在坐标原点O,焦点耳、厲在坐标轴上，离心率e = 41的双曲线C过点 P(4z10)1则C的方程为O(6) 定长为3的线段AB的两个端点在y=x2±移动，AB中点为求点H到X轴的最短距 离。3. 圆锥曲线焦点位置的判断:(首先化成标准方程，然后再判断)已知方程4 += 1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是n-12-In4、圆锥曲线的几何性质:_(1) 若椭圆 + = l的离心率“浮，则加的值是o5 m5(2) 以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最小 值为O(3) 双曲线的

39、渐近线方程是3x±2y = 01则该双曲线的离心率等于双曲线Cix2-by1 = 的离心率为点，则。"二提示：应用离心率的第二道公式。设双曲线P計(a>O,b>O)中,离心率心血，2,则两条渐近线夹角(锐角或直角)8的取值范围是 3(6)设a0,aeR,则抛物线y = 4"十的焦点坐标为5、直线与圆锥曲线的位置关系:(1) 若直线y=kx+2与双曲线x2-=6的右支有两个不同的交点，则k的取值范围是C 直线y-kx-l=0与椭圆 + -= 1恒有公共点，则m的取值范围是5 In(3) 过双曲线+ -宁=1的右焦点直线交双曲线于A、B两点，若IABl =

40、4,则这样的直 线有条。(4) 过点(2,4)作直线与抛物线=8x只有一个公共点，这样的直线有条。(5) 过点(0, 2)与双曲线二-1有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围9 16为C(6) 过双曲线.r-y = l的右焦点作直线/交双曲线于A、B两点，若A=4,则满足条件的 直线/有条。(7) 对于抛物线C： y2 =4x,我们称满足y02 < 4x0的点M(X(P凡)在抛物线的内部？若点 M(%儿)在抛物线的内部，则直线/ :儿y = 2(x + x0)与抛物线C的位置关系是(8) 过抛物线r=4x的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是 l 1 1p、q

41、,则一+ =oP q(9) 设双曲线学-匚=1的右焦点为F,右准线为/,设某直线加交其左支、右支和右准Io9线分别于PR,则ZPFR和ZQFR的大小关系为(填大于、小于或等于)。(10) 求椭圆7+4=28±的点到直线32)16 = 0的最短距离。(11) 直线y = "+1与双曲线3-y2=l交于4、B两点。当"为何值时，力、B分别在 双曲线的两支上？当为何值时，以AB为直径的圆过坐标原点？6、弦长公式：(1) 过抛物线b=4x的焦点作直线交抛物线于A (x1, y1) I B (x2, y：)两点，若<+xH, 那么IABl等于o(2) 过抛物线y2 =

42、 2x焦点的直线交抛物线于A、B两点，已知IABI=IOI 0为坐标原点，则ABC重心的横坐标为o(3) 已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点恰为双曲线12-4=3的右焦点，过抛物线的焦 点旦倾斜角为A的直线交抛物线于Pz), QS)两点，则的值为()A. 2B. 4C. 4D 87、圆锥曲线的中点弦问：遇到中点弦问题常用“韦达定理喊“点差法”求解。在椭圆3 +扫=1中，以P(XU,)b)为中点的弦所在直线的斜率k二- / "；在双曲线-T-÷r = 1 Cr IrCryQCr Ir72v中，以P(.y0)为中点的弦所在直线的斜率；在抛物线/=2w>)中，以

43、QoPg儿)为中点的弦所在直线的斜率k二Z O0(1) 如果椭圆÷ = 1弦被点A (4, 2)平分，那么这条弦所在的直线方程369是O已知直线尸B与椭圆务+令“心>。)相交于A、B两点,且线段AB的中点在直线L ：x-2y=0上，则此椭圆的离心率为o试确定m的取值范围，使得椭圆宁+I上有不同的两点关于直线円5对称。(4) 抛物线尸2丘截一组斜率为2的平行直线，所得弦中点的轨迹方程是特别提醒：因为厶>0是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、 对称问题时，务必别忘了检验A>0 !8、动点轨迹方程：(1) 求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定

44、点的范圉；(2) 求轨迹方程的常用方法：直接法：直接利用条件建立X,y之间的关系F(y) = O ；已知动点P到定点F(l, 0)和直线 = 3的距离之和等于4,求P的轨迹方程。待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程一一先根据条件设出所求曲线的方程，再 由条件确定其待定系数。线段AB过X轴正半轴上一点M (m, O) (In > O) I端点A、B到X轴距离之积为2m,以X 轴为对称轴，过A、0、B三点作抛物线，则此抛物线方程为o 定义法：先根据条件得岀动点的轨迹是某种已知曲线，再山曲线的定义直接写岀动点的轨 迹方程；由动点P向圆x2 + y2=作两条切线PA、PB,切点分别为A、B

45、, ZAPB=60°,则动点 P的轨迹方程为.(2) 点M与点F(4,0)的距离比它到直线/： +5=0的距离小于1,则点M的轨迹方程 是O(3) 一动圆与两圆M: x2+y2 = 1和C)N： x2 +y2 -Sx + 2 = O都外切，则动圆圆心的 轨迹为O 代入转移法：动点P(,y)依赖于另一动点<2(X(PyO)的变化而变化，并且<2(o>) 乂在 某已知曲线上，则可先用,y的代数式表示,y0,再将儿代入已知曲线得要求的轨迹方 程；动点P是抛物线y = 2x2+l±任一点，定点为A(O-I),点M分力所成的比为2,则M的 轨迹方程为, 参数法：当动

46、点P(.y)坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可 考虑将x,y均用一中间变量(参数)表示，得参数方程，再消去参数得普通方程)。(1) AB是圆0的直径，且ABI二2a, H为圆上一动点，作MN丄AB,垂足为N,在OH上 取点几使IOPI=IMNIy求点P的轨迹。(2) 若点P(XPyI)在圆X2 + y2 = 1 ±运动，则点CUIyPXl +y1)的轨迹方程 是O(3) 过抛物线x2 = 4y的焦点F作直线/交抛物线于A、B两点，则弦AB的中点M的轨 迹方程是 9、与向量相关的题:2(1) 已知双曲线疋-匚=1的焦点为已、兀点M在双曲线上且亦茹=0,则点H到X轴 2

47、的距离为()A -B -CD 33 33(2) 已知D是x,y轴正方向的单位向量，设=(x-3)7 + /, b =(x + 3)7+>y.且满足 bT = a.求点P (x, y)的轨迹。(3) 已知月丿为抛物线=2py(p>0)±异于原点的两点，OA OB = O点C坐标为(0, 2p) I 求证：At B,。三点共线； 若AM = BM (?)且OMAB = O试求点M的轨迹方程。10、圆锥曲线中线段的最值:抛物线c: Y3Mx上一点P到点A(3,42)与到准线的距离和最小,则点P的坐标为O(2) 抛物线C: yMx上一点Q到点B(4, 1)与到焦点F的距离和最小,

48、则点Q的坐标(3) F是椭圆二+丄的右焦点，Ad, 1)为椭圆内一定点，P为椭圆上一动点。43P÷PF的最小值为；P + 2PF的最小值为Ih焦半径题(圆锥曲线上的点P到焦点F的距离)：利用圆锥曲线的第二定义，转化到相 应准线的距离，即焦半径r = edl其中表示P到与F所对应的准线的距离。(1)已知椭圆看+ £ = 1上一点P到椭圆左焦点的距离为3,则点P到右准线的距离 为O 抛物线=2-±的两点A、B到焦点的距离和是5,则线段AB的中点到y轴的距离 为O(6)椭圆 + 2r = 1内有一点P(I-I) I F为右焦点，在椭圆上有一点M,使MF + 2MF之值最

49、小，则点M的坐标为o12、焦点三角形题(椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形)：n对于椭圆s=b2 Ian-=Cly0I1 SIyoI=Z即P为短轴端点时，SnWt的最大值为be ；乙对于双曲线S =叽。tan 2(1) 短轴长为石，离心率e = 的椭圆的两焦点为仟、F21过仟作直线交椭圆于a、B两点,则AABF?的周长为O(2) 设P是等轴双曲线x2-y2a2(a>0)右支上一点，FIS F：是左右焦点，若两丽 =0, PFI =6,则该双曲线的方程为:2 2(3) 椭圆匚+罕=1的焦点为比、&点P为椭圆上的动点，当用用0时，点P的横坐94标的取值范围是O(4) 双曲线的

50、虚轴长为4,离心率e二芈，FIS F,是它的左右焦点，若过Fl的直线与双曲线的左支交于A、B两点，且是IA巧I与IBEl等差中项，则二O(5) 已知双曲线的离心率为2, FlS F,是左右焦点，P为双曲线上一点，且ZFIPF2 =60, SsPFR =123 .求该双曲线的标准方程。13、了解其它结论：(1) 双曲线i-zi=I的渐近线方程为i-r=0;a2 h2a2 b2(2) 以y = ±l-x为渐近线(即与双曲线L-2L=I共渐近线)的双曲线方程为aa2 b21-2L = Zl(Zl为参数，20)；a2 b1(3) 中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为n÷

51、; =1;(4) 椭圆、双曲线的通径(过焦点且垂直于对称轴的弦)为兰-，焦准距(焦点到相a应准线的距离)为伫，抛物线的通径为2”，焦准距为“；C(5) 通径是所有焦点弦(过焦点的弦)中最短的弦；(6) 若抛物线 / =2v(p>0)的焦点弦为 AB, A(XPyIXB(X2o'2),则2 IABl=X + £ + ；1X, =4,y1y-> = -Pl ； 4(7) 若OA、OB是过抛物线/=2v(7>0)顶点O的两条互相垂直的弦，则直线AB恒经五、解答题专项训练常用方法:直接法和定义法。1、已知点尸是圆Y+=4上一个动点，定点0的坐标为(£ 0)

52、,求线段尸0的中点的轨迹方程。2、以抛物线r=8x±的点M与定点A(6,0)为端点的线段曲的中点为只求尸点的轨迹方 程。3、在面积为1的PMN中，tanM=, tan = -21建立适当的坐标系，求出以M、N 为焦点且过P点的椭圆方程。4、已知动圆过定点(1,0),且与直线x = -l相切，求动圆的圆心轨迹C的方程。5、已知：直线L过原点，抛物线C的顶点在原点，焦点在X轴正半轴上。若点A (-1, 0) 和点B (Of 8)关于L的对称点都在C±,求直线L和抛物线C的方程。6、设抛物线C:y = x2的焦点为F,动点P在直线2 = 0上运动，过P作抛物线C的 两条切线PA、

53、PB,且与抛物线C分别相切于A、B两点， 求AAPB的重心G的轨迹方 程；7、动圆M与圆Ci： (x+l)2+y2=36内切,与圆C2: (X-IW=4外切,求圆心M的轨迹方程。8、已知平面内一动点P到点F(IO)的距离与点P到y轴的距离的差等于If(1)求动点P的轨迹C的方程；9、已知圆C方程为:x2 + =4i(1)直线/过点P(1、2),且与圆C交于人3两点，BI=23,求直线/的方程;10×已知椭圆。卡+ p3b>0)的离心率为孚短轴一个端点到右焦点的距离为3.(1)求椭圆C的方程;11、已知椭圆以坐标原点为中心，坐标轴为对称轴，且该椭圆以抛物线y2 = 16的焦点P为

54、2 2(1)求椭圆的标准方程;其一个焦点，以双曲线学一罕=1的焦点Q为顶点。Io 912s已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在X轴上，它的一个顶点恰好是抛物线y = 2的4焦点，离心率为孕(1)求椭圆C的标准方程；13、已知椭圆的一个顶点为A(0,-l),焦点在X轴上若右焦点到直线x-322=0的距离为3.求椭圆的标准方程；】4、已知椭圆C手+石“心>。)的离心率为%椭圆短轴的-个端点与两个焦点构成 的三角形的面积为罕(1)求椭圆C的方程；15、已知椭圆E：4 + p- = l(«>/>0)的一个焦点为斥(-I),而且过点73.j ( I ) 求椭圆E的方程；Y- y

55、2I16已知椭圆C :亠= 1 (d>b>)的离心率= !且经过点4(2, 3). Q Ir2(1)求椭圆C的方程；17、已知双曲线(心)与椭圆G手+ *"有公共焦点皿，点N(Q是 它们的一个公共点.(I)求G，G的方程；18、已知椭圆G : ÷22 = l(0<7<2)的离心率等于f,抛物线C2 : x2=2p(7>0)的焦 ,U乙点在椭圆的顶点上。(1)求抛物线G的方程;19、已知椭圆Cj ÷ = 1 (W >0)的离心率为芈直线心十2与以原点为圆心、 以椭圆G的短半轴长为半径的圆相切.(1)求椭圆G的方程；附录：圆锥曲线之高考链接参考答案2012文20、解：(1)因为椭圆G的左焦点为F1(-hO),所以c = l,点P(S代入椭圆糸卜,得A，即”,所以a2=b2+c2 = 2t所以椭圆G的方程为- + '2=1.厶直线/的斜率显然存在，设直线/的方程为y = cx + miX 2 -I2+y =,消去y并整理得(l + 2)x2+4bm + 27-2 = 0,因为直线/与椭圆Cl相 y = kx + n切，所以 = 16/