高考真题第十八篇坐标系与参数

1、高考真题第十八篇坐标系与参数方程2019 年1. . (2019全国I理22)选修44 :坐标系与参数方程1 t2在直角坐标系Xoy中，曲线C的参数方程为2，1 t2(t为参数)以坐标原点O为极4t1 t2点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线I的极坐标方程为2 CoS .3 Sin 11 0 .(1) 求C和I的直角坐标方程；(2) 求C上的点到I距离的最小值.2. (2019全国II理22)选修4-4 :坐标系与参数方程在极坐标系中，O为极点，点M( 0, 0)( 00)在曲线C :4sin 上，直线I过点A(4,0) 且与OM垂直，垂足为P.(1) 当0= 时，求0及I的极坐标方程；3

2、(2) 当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程.3. (2019全国III理22)选修4-4 :坐标系与参数方程(10分)如图，在极坐标系 OX 中，A(2,0) , B(V,) , CG 2,) , D(2,),弧 AB，BC，CD所在圆的圆心分别是(1,0) , (1,?) , (1,),曲线M1是弧AB ,曲线M2是弧BC , 曲线M3是弧CD .(1)分别写出M1 , M2 , M3的极坐标方程;(2)曲线M由M1 , M2 , M3构成，若点P在M上，且| OP |. 3 ,求P的极坐标.X4. (2019天津理12)设a R ,直线ax y 20和圆y2cos ,

3、2sin （为参数）相切，贝U a的值为2010-2018 年（2018北京）在极坐标系中，直线cos Sin a(a0）与圆=2cos 相切，则a（2017北京）在极坐标系中，点2A在圆 2 cos4 Sin40上，点P的坐标为（1,0）,则| APl的最小值为（2017天津）在极坐标系中，直线4 cos( ) 160与圆2si n 的公共点的个数为（2016北京）在极坐标系中，直线cos .3 Sin10与圆2cos 交于 A, B两点U | AB|（2015广东）已知直线I的极坐标方程为2 sin（ ）4A的极坐标为2 2,）,则点A到直线l的距离为4（2015安徽）在极坐标系中，圆8s

4、in上的点到直线3(R）距离的最大值（2018全国卷I ）选修4 -4坐标系与参数方程（10分）在直角坐标系Xoy中，曲线C1的方程为y k|x| 2 .以坐标原点为极点，X轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为2 2 cos 3 0 .（1）求C2的直角坐标方程;（2）若G与C2有且仅有三个公共点，求G的方程.（2018全国卷 ）选修4 4:坐标系与参数方程（10 分） O QC Q 在直角坐标系XOy中，曲线C的参数方程为（为参数），直线I的参数y 4sin 、十,XIt COS ,厶、仏 万程为（t为参数）y 2 tsin （1）求C和I的直角坐标方程；（2）若曲线C截直线I

5、所得线段的中点坐标为（1,2）,求I的斜率.（10 分）9. （2018全国卷川）选修44坐标系与参数方程在平面直角坐标系 XOy中，0O的参数方程为cos,（为参数），过点（0,、2）Sin且倾斜角为 的直线I与0O交于A , B两点.（1）求的取值范围;（2）求AB中点P的轨迹的参数方程.10.（2018江苏）C.选修44坐标系与参数方程（本小题满分10分）在极坐标系中，直线I的方程为Sin（）62 ,曲线C的方程为4cos,求直线l被曲线C截得的弦长.11 .（2017新课标I）在直角坐标系XXOy中，曲线C的参数方程为y3cosSin,（为参X数），直线I的参数方程为ya 4t1 t

6、（t为参数）.（1）若a1 ,求C与I的交点坐标;若C上的点到丨距离的最大值为.17 ,求a .12.（2017新课标）在直角坐标系XOy中，以坐标原点为极点,X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为cos 4 .（1）M为曲线C1上的动点，点 P在线段OM上，且满足IOMllOPl 16 ,求点P的 轨迹C2的直角坐标方程；设点A的极坐标为（2,）,点B在曲线C2上，求 OAB面积的最大值.3一一X 2 t13. （2017新课标川）在直角坐标系 XOy中，直线I1的参数方程为（t为参数）,y kt2 m直线2的参数方程为P ,当k变化时，Pm （ m为参数）.设l1与l2的交

7、点为Ik的轨迹为曲线C .（1）写出C的普通方程;以坐标原点为极点,X轴正半轴为极轴建立极坐标系，设3 :(cos Sin )0 , M为l3与C的交点，求M的极径.14.（2017江苏）在平面坐标系中XOy中，已知直线I的参考方程为8 tt （t为参数），2曲线C的参数方程为2I （ S为参数）.设P为曲线2 2sC上的动点，求点P到直17 .线I的距离的最小值.X acost15.（2016年全国I）在直角坐标系XOy中，曲线G的参数方程为y 1 a si nt（t为参数，a > 0）.在以坐标原点为极点,X轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2 :4cos（I）说明G是哪种曲线，并将

8、G的方程化为极坐标方程;（II）直线C3的极坐标方程为=a° ,其中 a° 满足 tan a°=2 ,若曲线G与C2的公共点都在C3上，求a .16 .（2016年全国II）在直角坐标系XOy中，圆C的方程为X 6y225（I）以坐标原点为极点，X轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程;X t cos（II）直线l的参数方程是y tsin （t为参数），l与C交于A B两点，AB '.帀,求I的斜率.（2016年全国III）在直角坐标系XOy中，曲线C1的参数方程为X 3 cos （为y Sin参数)，以坐标原点为极点，以 X轴的正半轴为极轴，建立极

9、坐标系，曲线C2的极坐标方程为sin()2 2 .4(I)写出Ci的普通方程和C2的直角坐标方程;11 OS为参数()设点P在Ci上，点Q在C2上，求IPQl的最小值及此时 P的直角坐标.18. (2016江苏)在平面直角坐标系 XOy中，已知直线I的参数方程为椭圆C的参数方程为 X cos , 为参数，设直线I与椭圆C相交于A,B两点，求线 y 2sin ,段AB的长. 2 219.( 2015新课标I)在直角坐标系XOy中，直线C1 : X2 ,圆C2: (X 1)2 (y 2)2 1 ,以坐标原点为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(I)求C1, C2的极坐标方程；- R ,设C2与

10、C3的交点为M,N,求4()若直线 C3的极坐标方程为C2MN的面积.20. (2015新课标)在直角坐标系XOy中，曲线G :tcos tsin(t为参数，22. (2015陕西)在直角坐标系 XOy中，直线l的参数方程为3 it-Jt2(t为参数).以其中0,在以0为极点，X轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2:2sinC3:2、3 cos(I)求C2与C3交点的直角坐标;()若G与C2相交于点A, G与C3相交于点B,求| AB |的最大值.)40 ,求圆C的半径.421. (2015江苏)已知圆C的极坐标方程为2 2、2 Sin(2 Gsin原点为极点，X轴正半轴为极轴建立极坐标系，C

11、的极坐标方程为(I)写出 C的直角坐标方程；() P为直线I上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求 P的直角坐标.t2t(t为参数).2 2X y23. (2014新课标I)已知曲线 C :1，直线I :49(I )写出曲线C的参数方程，直线I的普通方程；()过曲线C上任一点P作与I夹角为30o的直线，交I于点A ,求IPAl的最大值与最小值.24. (2014新课标)在直角坐标系XOy中，以坐标原点为极点，X轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为2cos(I)求C的参数方程;()设点D在C上，C在D处的切线与直线、3x 2垂直，根据(I)中你得到的参数方程，确定 D的坐标.25.(

12、2013新课标I)已知曲线 Ci的参数方程为5cost5sint(t为参数)，以坐标原点为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为2sin 。(I)把C1的参数方程化为极坐标方程;26.()求G与C2交点的极坐标( 0 ,(2013新课标)已知动点 P , Q都在曲线 2 ).X 2cosy 2sin为参数上，对应参数分别为为PQ的中点。(I )求M的轨迹的参数方程( )将M到坐标原点的距离 d表示为 的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点。(为参数)，以坐标原点为极X 2 cos27. (2012新课标)已知曲线 G的参数方程是y 3sin点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系

13、，曲线C2的极坐标方程是2 .正方形ABCD的顶点都在C2上，且A、B、C、D依逆时针次序排列，点A的极坐标为(2,).3(I)求点A、B、C、D的直角坐标;()设P为Ci上任意一点，求I PA 2 | PB |2 | PC |2 | PD |2的取值范围.X 2cos28. (2011新课标)在直角坐标系 XOy中，曲线C1的参数方程为( 为y 2 2sin参数),M是Ci上的动点，P点满足OP 2M , P点的轨迹为曲线C2(I )求C2的方程3与CI的异于极点( )在以0为极点，X轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线的交点为A,与C2的异于极点的交点为 B,求AB .1 .解析(1)因为1

14、 t2答案部分2019 年21 ,且X1 t21T4t21 ,所以C的直角2坐标方程为X2普1(x1).I的直角坐标方程为 2x ,3y 110.X cos(2)由(1)可设C的参数方程为y 2si n为参数，C上的点到I的距离为2cos2 Gsin.711|4cos114cos-11取得最小值7,故C上的点到I距离的最小值为'、7 .32.解析(1)因为M o, o在C上，当O 时，O 4sin2 3.3 3由已知得 IoPl IoAICOs2.3设Q( I )为I上除P的任意一点在Rt OPQ中 cos - OP I 2 ,3经检验，点P(2,)在曲线 cos2上.33所以，啲极坐

15、标方程为cos -24cos(2)设 P( I ),在 Rt OAP 中，I OPl | OA | cos 4cos I 即 因为P在线段OM上，且AP OM ,故 的取值范围是所以，P 点轨迹的极坐标方程为4cos4'23解析(1)由题设可得，弧AB,BC,CD所在圆的极坐标方程分别为2cos2sin2cos所以MI的极坐标方程为 2cosTtM 2的极坐标方程为2sin3，M3的极坐标方程为442cosIt(2)设 P(,),由题设及(1)知若 G ,则 2cos3 ,解得卄 3 若-亍则2sin3 ,解得2cos综上，P的极坐标为或3,或3Tt2 24解析 由圆的参数方程，可得圆

16、的普通方程为X 2 y 14 ,因为直线ax y 20和圆相切，2a 1 2所以圆心2,1到直线ax y 20的距离-2 r ,4a3 解得a -.41. 12 【解析】利用X2010-2018 年cos , y Sin,可得直线的方程为X y a 0 ,圆到直线的距离等于半径，即 11 a 11 , a 1.2或1,2又 a 0 , a 1、. 2 .2. 1【解析】圆的普通方程为X2 y2 2x 4y 4 0,即(X 1)2 (y 2)2 1 .设圆心为 C(1,2),所以 IAPImin IPClr 2 11 .3. 2【解析】直线的普通方程为2 3x 2y 1 0 ,圆的普通方程为2(

17、y 1)21 ,3因为圆心到直线的距离 d -1 ,所以有两个交点.44. 2【解析】将 CoS ,3 Sin 1 0化为直角坐标方程为 X × 3y 1 0 ,将p=2cos化为直角坐标方程为( 1)2 y2 1 ,圆心坐标为(1,0),半径r=1 ,又(1, 0)在直线X 3y 10 上，所以 |AB| =2r=2.故直线I的直角坐标方程为 x-y+1二0,而点A(2'-2,7 )对应的直角坐标为4-CoS ）二.2 ,所以 y X二 1,A(2,.2),所以点 A(2,.2)到直线 l : x-y + 1 二 0 的距离为 |2+2+"二5 2 . 2 26.

18、 6【解析】圆 二8sin 即2：8 Sin ,化为直角坐标方程为 x2 + (y4)2二16 ,直线，则tan :3, 化为直角坐标方程为 J3xy二0 ,圆心(0,4)到直线3的距离为|4|2，4-2所以圆上的点到直线距离的最大值为6.7.【解析】 由X cos , y Sin 得C2的直角坐标方程为(X 1)2 y24.由(1)知 C2是圆心为A( 1,O),半径为2的圆.由题设知，C1是过点B(0, 2)且关于y轴对称的两条射线.记 y轴右边的射线为l1, y轴左边的射线为2 .由于B在圆C2的外面，故G与C2有且仅有三个公共点等价于Il与C2只有一个公共点且2与C2有两个公共点，或2

19、与C2只有一个公共点且1与C2有两 个公共点.Ik 21当1与C2只有一个公共点时，A到1所在直线的距离为2 ,所以2 ,故Qk 14 、k 或 k 0.34经检验，当k 0时，h与C2没有公共点；当k 时，与C2只有一个公共点，23与C2有两个公共点.|k 2| I当2与C2只有一个公共点时，A到2所在直线的距离为2 ,所以 22 ,故k 0k 1或k -.34经检验，当k 0时，与C2没有公共点；当k 时，2与C2没有公共点.34综上，所求G的方程为y x 2 .32 2&【解析】(1)曲线C的直角坐标方程为y i.4 16当COS 0时，I的直角坐标方程为 y tanX 2 ta

20、n ，当cos 0时，I的直角坐标方程为 X 1 .将I的参数方程代入 C的直角坐标方程，整理得关于t的方程2 2(1 3cos )t 4(2cos Sin )t 80 .因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内，所以有两个解，设为 t1，t2 ,则 t1 t20 .又由得t1 t24(2cos Sin ),故2cos Sin 0，于是直线l的斜率1 3cos2k ta n 2.9【解析】(1)®O的直角坐标方程为x2 y2 1.当 §时，I与0O交于两点.2时，记tank ,则I的方程为 y kx2 . l 与 Cl O 交于两点当且仅当2l1 k2l1，解得 k

21、即(一，)或4 2(2盲).综上， 的取值范围是10.X(2) I的参数方程为yt CoS ,2 t Si n(t为参数，一4设A ,B ,P对应的参数分别为tA ,tB , tp且tA ,tB满足 t22 2tsin10 .于是tAtB2/2 Sin, tp/2ISin.又点P的坐标,则tp所以点XP的轨迹的参数方程是迈i 2In 2 ,迈迈2( cos 22 2C.【解析】因为曲线C的极坐标方程为=4cosT).tAtB(, y)满足为参数，tp cos ,.2 tp SinT).所以曲线C的圆心为(2,0),直径为4的圆.因为直线l的极坐标方程为sin(-) 2 ,6则直线I过A(4,0

22、),倾斜角为 ,6所以A为直线l与圆C的一个交点.设另一个交点为 B,则 OAB= .6连结OB,因为OA为直径，从而 OBA=-,2B所以 AB 4cos 2 3 .6因此，直线l被曲线C截得的弦长为2.3 .11.【解析】(1)曲线C的普通方程为x2y2 1.1时，直线I的普通方程为4y 30.4y 3 02 解得y2 121252425从而C与I的交点坐标为(3,0),21 2425,25).(2)直线l的普通方程为4ya 40,故 C 上的点(3cos ,sin)到I的距离为当a 4时，d的最大值为13cos 4sin a 4117a-9 .由题设得aJ .17 ,所以a.17 17当

23、a4时，d的最大值为 a.由题设得 a1 Ai ,所以a 16 .1717综上，a 8或a 16 .12 .【解析】(1)设P的极坐标为(，)(0) , M的极坐标为(1, ) ( 10).由椭圆知QPl|OM |41 cos由|OM | |OP | 16得C2的极坐标方程4cos (0).2 2因此C2的直角坐标方程为(X 2) y 4(x0).(2)设点B的极坐标为(B, ) ( B 0) 由题设知OA I 2 , B 4cos ,OAB面积S 1I OA| B SinAoB4cos ISi n(3)|2|si n(2-)3 2 .3 .也时，S取得最大值23.所以OAB面积的最大值为2,

24、3 .13.【解析】(1)消去参数t得II的普通方程l: y k消去参数m得I2的普通方程l2：yy设P(Xly),由题设得y,消去x2y24 y 0 .所以C的普通方程为x2(2) C的极坐标方程为2cos2Sin4 OV<2 ,联立2 2 . 2 cos Sincos +sin4_ 得 cos 八、2=0Sin=2 cos+sin故tan29. 21cos =, Sin =10 10代入2cos2 -sin2=4得2 =5 ,所以交点M的极径为、5 .14【解析】直线I的普通方程为X 2y 80.因为点P在曲线C上，设P(2s2,2-2S),从而点P到直线I的的距离d2s2 4、2s

25、 8| 2(s2)2 4,'(1)2 ( 2)2.515.X【解析】（1）ya cost1 asint(t均为参数)4.55S .2 时，dmin 便5因此当点P的坐标为（4,4）时，曲线C上点P到直线I的距离取到最小值1 2 a2 C1为以0, 1为圆心，a为半径的圆.方程为 X22y 2y 1SinSina20 即为C1的极坐标方程C?:4cos两边同乘得4 CoS2y , cos2 2Xy 4x即 X 22 y2C3 :化为普通方程为y2x ,由题意:C1和C2的公共方程所在直线即为 C3一得：4x 2y 1 a20 ,即为C3 1 a20 , a 116.【解析】(I)整理圆的

26、方程得 X2 y2 12 11 0,2 2 2X y由 cos X可知圆C的极坐标方程为2 12 cos 11 0.Sin y（U ）记直线的斜率为k ,则直线的方程为 kX y 0 ,由垂径定理及点到直线距离公式知:1022即笄90 '整理得k2 3 ,则k17.2X2【解析】(I) G的普通方程为y31 , C2的直角坐标方程为 x y 40.()由题意，可设点 P的直角坐标为C,3cos ,sin ),因为C2是直线,20.所以IPQl的最小值，即为P到C2的距离d ()的最小值,| J3 cosSin 41 厂当且仅当d( ) ；212|Sin(-) 2|.2k (k Z)时，

27、d ()取得最小值，最小值为63 1此时P的直角坐标为立)18.【解析】椭圆C的普通方程为21 ,将直线I的参数方程41 It2-Jt，2代入X2L 1 ,4,得(1解得t10 , t2167 .所以ABt1t2I7【解析】(:I)因为X19.2CoS , y122t)C1的极坐标方程为cos1 ,即 7t2 16tSin ,2，C2的极坐标方程为22 cos 4 Sin 4(I)将=代入 22 cos44 Sin 41 Si n4 5o=122y 0 ,曲线C3的直角坐标方程为解得 1 = 2、2 ,2= 2 , MN=JAI_C2MN的面积一222 2【解析】(I)曲线C2的直角坐标方程为

28、 X yX2y2 2 、 3x2X0 联立 2X2y2y2y 0，解得2、3x 0,0，或X0,y23J2所以C2与Ci交点的直角坐标为(0,0)和(一?，3) 2 2()曲线C1的极坐标方程为( R, 0),其中 0因此A得到极坐标为(2sin)，B的极坐标为(2-,3cos ,).所以 AB 2sin273CoS4 Sin(-t5当时，AB取得最大值，最大值为 4 .,以极轴为X轴的正半轴，建621 .【解析】以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点立直角坐标系 xoy.圆C的极坐标方程为2222JSincos4 0,22化简，得 22 Sin2 cos40 .则圆C的直角坐标方程为2 2X

29、 y22y4 0 ,2 2即 X 1y 16,所以圆C的半径为& .22.【解析】(I)由2>3sin ,得2 2虫 Sin从而有2+y22.3y,所以 X2+ y3 .(I)设叩+貝別又C(Z)，则|PC| . 33t 322.t2 12,故当t=0时，IPCl取最小值，此时P点的直角坐标为(3,0).X 2cos23.【解析】(I)曲线C的参数方程为X 2Cos (为参数). y 3sin .直线l的普通方程为2x y 60.()曲线C上任意一点P(2cos .3 Sin )到的距离为4cos 3sin6.则PA亠 2'55sin(sin 3056,其中为锐角，且tan当 sin()=-1时，P