特殊平行四边形：证明题

1、特殊平行四边形：证明题基础篇特殊平行四边形之证明题题型一：菱形的证明1、如图，在三角形 ABC中，AB > AC , D、E分别是AB、AC上的点， ADE沿线段DE 翻折，使点 A落在边BC上，记为A 若四边形 ADA E是菱形，则下列说法正确的是 ()a. DE是厶ABC的中位线 b.AA是BC边上的中线C. AA 是 BC边上的高d.AA是 ABC的角平分线2. 已知：如图，在_ ABCD中，AE是BC边上的高，将 ABE沿BC方向平移，使点e与点C重 合，得 GFC (1)求证：BE 二 DG ;(2)若NB =60°当AB与BC满足什么数量关系时，四边形 ABFG是菱

2、形？证明你的结论.3、将平行四边形纸片 ABCD按如图方式折叠，使点C与A重合，点D落到D'处, 折痕为EF .(1) 求证： ABEAD 'F;4.如图， ABC中，AC的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点O，CE / AB交MAE、(2) 连接CF，判断四边形 AECF是什么特殊四边形？证明你的结论.CD .( 1)求证：AD = CE ;( 2)填空：四边形 ADCE的形状是 5如图，在 ABC中, ABAC D是BC的中点，连结AD在AD的延长线上取一点E，连结BE CE(1) 求证： ABE ACE(2) 当AE与AD满足什么数量关系时，四边形ABEC是菱形？并说

3、明理由交AQ 6如图，将矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把 ACD沿CA方向平移得到 A C D .(1) 证明 A ADCCB ；(2) 若/ACB=30°试问当点 C在线段AC上的什么位置时，四边形 ABC D 是菱形，并请 说明理由.7在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点0， AB =5, AC =6 点BC的延长线于点E.(1)求 BDE的周长；(2)点p为线段bc上的点，连接 PO并延长交 AD于点Q 求证:B P C8如图，在 ABC中，/ A、/ B的平分线交于点 D DE" AC交BC于点E, DF” BC交AC于点F (1 )点D是厶ABC勺心；(2

4、)求证：四边形 DECf为菱形.9、如图，已知：在四边形ABFC中，ACB =90 , BC的垂直平分线EF交BC于点D,交AB于点E,且CF=AE(1) 试探究，四边形BECF是什么特殊的四边形；(2) 当.A的大小满足什么条件时，四边形BECF是正方形？请回答并证明你的结论.(特别提醒：表示角最好用数字)10、如图，矩形 ABCD中，O是AC与BD的交点，过O点的直线EF与AB, CD的延长线分别 交于 E，F (1)求证： BOE DOF ；(2)当EF与AC满足什么关系时，以 A，E，C，F为顶点的四边形是菱形？证明你的结论./F» CE型二：正方形的证明题1四边形 ABCD

5、、DEFG都是正方形，连接 AE、CG.(1) 求证：AE=CG;( 2)观察图形，猜想 AE与CG之间的位置关系，并证明你的猜想2、把正方形ABCD绕着点A，按顺时针方向旋转得到正方形 AEFG，边FG与BC 交于点H (如图)试问线段 HG与线段HB相等吗？请先观察猜想，然后再证明你的 猜想.4、如图12，B、C E是同一直线上的三个点，四边形ABCD与四边形CEFG是都是正方形连接BG DE. (1)观察猜想BG与 DE之间的大小关系，并证明你的结论E(2) 在图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形？若存在，请指岀，并说岀旋转过程；若不存 在，请说明理由.5.如图，四边形 ABCD

6、是正方形，点G是BC上任意一点，DE丄AG于点E，BF丄AG于点F.(1) 求证：DE BF = EF .(2) 当点G为BC边中点时，试探究线段EF与GF之间的数量关系，并说明理由.(3) 若点G为CB延长线上一点，其余条件不变.请你在图中画出图形，写出此时DE、BF、EF之间的数量关系(不需要证明).GB图7、已知：如图，在正方形 ABCD中，G是CD上一点，延长 BC到E,使CECQ连接BG并延长交DE于F.(1) 求证：DCE(2) 将厶DCE绕点D顺时针旋转90°得到 DAE，判断四边形E' BGD是什么特殊四边形？并说明理由.9.如图：已知在 ABC中，AB =

7、AC，D为BC边的中点，过点D作DE丄AB, DF丄AC， 垂足分别为E，F .(1)求证： BEDCFD ;四边形DFAE是正方形C题型五:矩形的证明题1.如图，在 ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过 A点作BC的平行线交 CE的延长线于 点F，且AF=BD，连结BF。(1) 求证：BD=CD;(2) 如果AB=AC，试判断四边形 AFBD的形状，并证明你的结论。2.如图，在梯形ABCD中，AD / BC，AB / DE，AF / DC，E、F两点在边BC上，且 四边形AEFD是平行四边形.(1) AD与BC有何等量关系？请说明理由；(2) 当AB=DC时，求证：L ABCD是

8、矩形.3.如图，四边形 ABCD是矩形， PBC和厶QCD都是等边三角形，且点 P在矩形上方，点 Q在矩形内. 求证：(1 )Z PBA=Z PCQ=30° ;( 2) PA=PQ .4.如图， ABC 中，AB=AC， AD、AE 分别是/ BAC 和/ BAC 和外角的平分线，BE丄AE .( 1)求证：DA丄AE;( 2)试判断 AB 与DE是否相等？并证明你的结 论.CA F5、如图，在 ABC中，点O是A(边上的一个动点，过点 0作直线MN/ BC设M交/ BC的角平分线于点 E， 交/ BCA勺外角平分线于点F.(1)求证：EGFO ( 2)当点0运动到何处时，四边形 A

9、EC是矩形？并证明你的结论.6、如图，在 ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点 A作BC的平行线交BE的 延长线于F，且AF = DC，连接CF .(1)求证：D是BC的中点；(2)如果AB = AC，试猜测四边形 ADCF的形状，并证明你的结论.题型六：综合证明题2.如图所示，在 RtA ABC中，/ ABC =90 .将Rt ABC绕点C顺时针方向旋转 60得到 DEC，点E在AC上，再将RtA ABC沿着AB所在直线翻转180得到 ABF.连接AD.(1) 求证：四边形AFCD是菱形；(2) 连接BE并延长交AD于G,连接CG,请问：四边形ABCG是什么特殊平行四边形？为什

10、 么？3如图， ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN / BC ,设MN交.BCA的 平分线于点E，交/ BCA的外角平分线于点 F .(1) 探究：线段OE与OF的数量关系并加以证明；(2) 当点0在边AC上运动时，四边形 BCFE会是菱形吗？若是，请证明，若不是，则说明理由；(3) 当点o运动到何处，且 ABC满足什么条件时，四边形 AECF是正方形？5、如图15,平行四边形ABCD中，AB _ AC , AB =1, BC二:拓对角线AC, BD相交于点0，将直线AC绕点0顺时针旋转，分别交 BC, AD于点E, F (1)证明：当旋转角为 90时，四边形 ABEF是平行四边

11、形；(2) 试说明在旋转过程中，线段 AF与EC总保持相等；(3) 在旋转过程中，四边形 BEDF可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，说明理由并求出 此时AC绕点0顺时针旋转的度数.CD提高篇选讲四边形证明经典题1.在口 ABCD中，AC、BD交于点0,过点0 作直线EF、GH ,分别交平行四边形的四条边于E、G、F、H 四点，连结 EG、GF、FH、HE.(1) 如图，试判断四边形EGFH的形状，并 说明理由；(2) 如图，当EF丄GH时，四边形EGFH的形状是；(3) 如图，在(2)的条件下，若 AC=BD,四边形EGFH的形状是；(4) 如图，在(3)的条件下，若 AC丄BD,

12、试判断四边形EGFH的形状，并说明理由.(第 1题2. 已知：如图，在正方形 ABCDK点E、F分 别在 BC和 CD上, AE = AF.(1) 求证：BE = DF；(2) 连接AC交EF于点0,延长0C至点M 使0M= 0A连接EM /FM判断四边 形AEMF是什么特殊四边形？并证明你的结论.B E3. 如图，ABM为直角，点C为线段BA的中点，点D 是射线BM上的一个动点(不与点B重合)，连结 AD，作BE _ AD，垂足为E，连结CE，过点E作EF _ CE， 交 BD 于 F .( 1)求证：BF=FD ；(2) A在什么范围内变化时，四边形 ACFE是梯 形，并说明理由；(3)

13、A在什么范围内变化时，线段DE上存在点 G，满足条件DG=：DA，并说明理由.B F D M4. 如图，等腰梯形ABCD中, AD/ BC,点E是线 段AD上的一个动点(E与A、D不重合)，G F、 H分别是BE BC CE的中点.(1) 试探索四边形EGF H的形状，并说明理 由.(2) 当点E运动到什么位置时，四边形EGFH 是菱形？并加以证明.(3) 若 中的菱形EGFH是正方形，请探索线 段EF与线段BC的关系，并证明你的结论.5.如图所示，在 ABC中，分别以 AB AC BC 为边在BC的同侧作等边 ABD等边 ACE等 边厶BCF(1) 求证：四边形DAEF是平行四边形；(2)

14、探究下列问题：(只填满足的条件，不需 证明) 当 ABC 满 足 条件时，四边形 DAEF是矩形； 当 ABC 满 足条件时，四边形DAEF是菱形； 当 ABCiiE(第29题图)条件时，以D AE、F为顶点的四边形不存在.6.如图，已知正方形 ABCD的对角线 AC、BD 相交于点O, E是AC上一点，过A作AG丄EB 于G, AG交BD于点F，则0E = OF，对上述 命题，若点E在AC的延长线上，AG丄EB，交 EB的延长线于点 G，AG的延长线交DB的延 长线于点F，其它条件不变，贝V结论“OE = OF ” 还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立， 说明理由。ADBC问题一图17

15、、在四边形 ABCD中，E、F、G、H分别是 AB、BC、CD、DA上的点，且A =罟=ff =誥=k ( k> 0),阅读下列材料，然后回答下面的问题:如上图，连结 BD AE = AH FC = GC ° BE HD ， BF DG EH / BD, FG / BD 连结AC,则EF与GH是否一定平行，答: ; 当k值为时，四边形EFGH是平行四边形； 在的情形下，对角线AC和BD只需满足条件时，EFGH为矩形； 在的情形下，对角线AC和BD只需满足条件时，EFGH为菱形；8.如图，E、F分别是正方形 ABCD的边AB、 BC上的点，且EF / AC，在DA的延长线上取 一

16、点G，使AG = AD，EG与DF相交于点H。 求证：AH = AD。GAD9、如图，等腰梯形 ABCD中，AB / CD，对角 线AC、BD相交于点O,Z ACD = 60°,点S、 P、Q分别是OD、OA、BC的中点。(1) 求证： PQS是等边三角形；(2) 若 AB = 8, CD = 6, 求 s-pqs 的值。(3) 若 s pqs : s.aod = 4 : 5,求 CD : AB 的值。10.将一把三角尺放在边长为 1的正方形ABCD 上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑行， 直角的一边始终经过点B,另一边与射线DC相 交于点Q。探究：设A、P两点间的距离为x。(1)当点Q在边CD上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的关系？试证明你观察得到的 结论；（2）当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ 的面积为y，求y与x之间的函数关