圆锥曲线(文)专题

1、圆锥曲线专题（文）1.x2y2b0)的焦点为 F1(1, 0) 、F2 (1, 0) ，离心率为2 ，过点 A(2,0)如图，已知椭圆 C :2b2 1(aa2的直线交椭圆 C 于 M 、 N 两点y（ 1）求椭圆 C 的方程；N（ 2）求直线的斜率k 的取值范围；在直线的斜率k 不断变化过程中，探究MF1A 和NF1F2M是否总相等？若相等，请给出证明，若不相等，说明理由F 2 OF 1Axc2解 ：（ 1 ） 由 已 知 条 件 知 ， c 1,2 ， 又a2， 得 ab2a2c21 ，所以椭圆 C 的方程为 x2y21 4 分2（ 2）直线的方程为yk( x2)，yk( x2)2222联

2、立x2，得(12k)x8kx 8k206 分y 21264k 44(1 2k 2 )(8k 2 由于直线与椭圆C 相交，所以2) 0，解得直线的斜率 k的取值范围是2k28 分22MF1A 和NF1F2 总相等证明：设M ( x1 , y1), N ( x2 , y2 ) ，则x1x28k2, x1 x28k229 分12k212k2所以 kMF1kNF1y1y2x11x21k( x11)(x2 2)k( x21)(x12)k2x1 x23(x1x2 )4( x11)(x2 1)( x11)(x21)k16k 2424k2412k212k 20 11分(x11)(x21)所以MF1 ANF1

3、F2 13分2.E的两个焦点坐标是F1( 2,0), F2( 2,0)，且离心率为e2 ；已知圆锥曲线（）求曲线E 的方程；（）设曲线E 表示曲线 E 的 y 轴左边部分，若直线ykx1 与曲线 E 相交于 A, B 两点，求 k 的取值范围；（）在条件（）下，如果AB63 ，且曲线 E 上存在点 C ，使OAOBmOC，求m 的值解：（）由e2 知，曲线E 是以F1 (2,0), F2 (2,0) 为焦点的双曲线，且c2, a1，故双曲线 E 的方程是22,(3 分)xy1（）设 A( x1 , y1), B( x2 , y2 ) ，联立方程组：ykx1(1k 2 ) x22kx20(x 0

4、) ，x2y21(x0)1k20(2k) 28k0从而有：x1x22k02k1为所求。,(8 分)1k 2x1x2201k 2（）因为 63AB1k2x1x21k2(x1 x2 )24x1x22(1 k2 )(2k2 )(1k 2 )2，整理得28k455k 2250k 25或 k 25，74注意到2k1，所以 k5，故直线AB 的方程为5 x y10 。, (10分 )22设 C(x0 , y0 ) ，由已知 OAOBmOC( x1 , y1)( x2 , y2 )( mx0 , my0 ) ，又 x1x22k4 5, y1y2k (x1x2 )28，所以 C(4 5,8)1k 2mmC 在

5、曲线 E 上，得80641m4 ，2m2m但当 m4 时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意，所以 m4为所求,(13分)x2y22， 且直线3.已知椭圆 C1 : a2b21(ab 0) 的离心率为2y x b 是抛物线 C2 : y24x 的一条切线。(1) 求椭圆 C1 的方程；(2) 过点 S(0,1) 的动直线 l 交椭圆 C1 于 A 、 B 两点，试问：在直角坐标平面上3是否存在一个定点 T，使得以 AB 为直径的圆恒过定点T？若存在，求出 T的坐标；若不存在，请说明理由。yx b2(2b4)x b20解：（ I）由得 xy24x直线 y xb 是抛物线 C2 : y24x 的一

6、条切线。所以0 b 1ec2a2 所以椭圆 C1 : x2y21 ,5 分a22（）当直线l 与 x 轴平行时，以 AB 为直径的圆方程为x2( y1)2( 4)233当直线 l 与 y 轴重合时，以AB 为直径的圆方程为x2y 21所以两圆的交点为点（0， 1）猜想：所求的点T 为点（ 0， 1） .,证明如下。当直线 l 与 x 轴垂直时，以AB 为直径的圆过点（0，1）当直线 l 与 x 轴不垂直时，可设直线l 为： y1kx3由 ykx13 得 (18k29)x2 12kx16 0设 A( x1 , y1), B( x2 , y2 ) 则x2y2128 分12kx1x218k2 916

7、x1x218k2 9TA TBx1x2 4( x1 x2 )16(1 k 2 )169412k91603918k2318k 29所以 TATB ，即以 AB 为直径的圆过点（0， 1）所以存在一个定点T ，使得以 AB为直径的圆恒过定点T. ,13 分4.已知抛物线 C1 : x2 = 2 py( p > 0) ，圆 C2 : x2 + y 2-8y + 12 = 0的圆心 M 到抛物线 C1 的准线的距离为9 ，点 P 是抛物线 C1 上一点，过点 P、M 的直线交抛物线 C1 于另一点 Q，且 | PM | =2| MQ|，过点 P 作圆 C22的两条切线，切点为A、B.yP（）求抛

8、物线C1 的方程；A（）求直线 PQ 的方程及 PA ×PB 的值 .MQB解析：（） C2 : x2 + ( y -4)2= 4 ， M (0,4)，1分p ，依题意：Ox抛物线 C1 : x2 = 2 py 的准线方程是 y = -24 +p = 9 ， p = 1 ，3分22抛物线 C1 的方程为： x22y .4分y（）设PQ 的方程：y = kx + 4PAì2?y = kx + 4? x 2kx- 8 = 0 ，设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) ，í 2= 2y?xM?则 PM = (- x1,4 - y1 ) ， MQ = (

9、x2 , y2 - 4)，B |PM |= 2|MQ |， PM2MQ ，Qx1 2x2 又 x1 + x2 = 2k ， x1 x2 = - 8 ，Ox由得 k = ? 1， PQ 的方程为： y = ? x49分取 PQ 的方程： y = x + 4 ，和抛物线 x2 = 2y联立得 P 点坐标为 P（ 4,8）|PM|= 42 ，连接 AM ,BM ，| PA|=|PB|=PM2- PA2= 2 7，设 ?APMa ，则 sin a =AM =2=2，11分PM424| PA | PB |cos2a2分PA?PB=28? (12sina )= 21.135.一动圆 P 过定点 F 1,

10、0 且与直线x1 相切，圆心 P 的轨迹为曲线C ，过 F 作曲线 C 两条互相垂直的弦 AB,CD ，设 AB,CD 的中点分别为 M 、 N .（ 1）求曲线 C 的方程；（ 2）求证：直线 MN 必过定点 .解：（ 1）设 P x, yx22x 1，化简得 y24x，则有1 y（ 2）设AB: yk x1 ，代入 y24x 得2x22k22x k20 ，xAxBk22，12kxM2k 2ykxM,k故Mk2,2k2k2因为ABCD，所以将点M坐标中的k换成1 ，即得N2k212 。k,k2222则22 2kk221，整理得1kyk x3 ,1 k2MN : yk2x kkk故不论 k 为

11、何值，直线MN 必过定点 T3, 0.226.给定椭圆 C : x2y2 1(ab0) ，称圆心在坐标原点O ，半径为 a2b2 的圆是椭圆C 的“伴随ab圆” 若椭圆 C的一个焦点为 F2 (2, 0) ，其短轴上的一个端点到 F2 距离为 3 （）求椭圆 C 及其“伴随圆”的方程；（）若过点 P(0, m)( m0) 的直线与椭圆 C 只有一个公共点， 且截椭圆 C 的“伴随圆”所得的弦长为2 2 ，求 m 的值；（）过椭圆 C的“伴椭圆”上一动点Q作直线 l 1 , l 2 ，使得 l1 , l2 与椭圆 C都只有一个公共点， 当直线 l 1 , l 2都有斜率时，试判断直线l 1 ,

12、l2 的斜率之积是否为定值 , 并说明理由 .解：（）椭圆方程为：x2y21 ；椭圆 C 的 “伴椭圆 ”方程为： x2y24, 4分3（）设直线方程为： y kx m因为截椭圆 C 的 “伴随圆 ”所得的弦长为 22 ，所以圆心到直线的距离为2d| m |2 ， m22(1k 2 ) ,7 分1 k2又x23 y23得 (13k 2 ) x26mkx3m230ykxm1 3k 2m20m24， m2,8 分（）设 Q( x0 , y0 ) ，直线 yy0k( xx ) ，0由（）可知 13k2m213k2( y0kx0 )20即 (3 x02 )k 22 y0 x0k 1 y020k1k21

13、y02224k1k21为定值。 ,13 分3x02又 x0y07.已知椭圆 C : x2y21(a b 0) 的离心率为6 ，且经过点 ( 3,1)a2b2322(1) 求椭圆 C 的方程；(2) 过点P(0,2)的直线交椭圆C于 A， B两点，求AOB (O 为原点）面积的最大值解析：（ 1）解： 由 e2 a2b21a22 , 得 b1,2 分a2b23a3由椭圆 C 经过点 (3,1)，22得 911,3 分4a24b2联立 ，解得 b1, a3,4 分所以椭圆 C 的方程是 x2y21,5 分3（ 2）解：易知直线AB 的斜率存在，设其方程为y kx2 将直线 AB 的方程与椭圆 C

14、的方程联立，消去y 得 (13k 2 ) x212kx9 0, 7分令144k 236(13k 2 )0 ，得 k21 设 A( x1 , y1 ) ， B( x2 , y2 )，则 x1所以 S AOBS POBS POA122因为 x1 x2224 x1x2x1x2设 k 21t (t0)x212k， x1 x29,9 分13k13k22x1x2x1x2,10 分12k23636 k2113k 213k 213k 22则 x1236t36363x23t421616.9t2429t244tt当且仅当 9t16，即 t4时等号成立，此时AOB 面积取得最大值3 t328.已知直线 l 过点 M

15、 (4,0)且与抛物线y22 px ( p0)交于 A、B 两点，以弦 AB 为直径的圆恒过坐标原点 O.y( ) 求抛物线的标准方程；A( ) 设 Q 是直线 x4上任意一点，求证：直线QA 、QM 、QB 的斜率依次成Q等差数列 .OMx解： ( ) 设直线 l 方程为 xky4 ，代入 y 22 px 得 y 22kpy8 p0B设 A(x1, y1 )， B( x2 , y2 ) ，则有 y1y22kp,y1 y28 p ,2 分而OAOB0,故0x1 x2y1 y2(ky14)(ky24)8 pk 2 y1 y24k ( y1y2 )168 p即08k 2 p8k 2 p168 p

16、，得 p2，所以抛物线方程为y24x ,6 分说明：取过 M 点的特殊位置的直线求得抛物线的方程给满分.()设Q(4,t)由 ( ) 知 y1y24k， y1 y216， y2y2( yy) 22 y y=16k232 , KQAy1t =y1t = 4( y1t) ，121212x14y124y12164K QBy2ty2t4( y2t )， KQMt9 分x2=2=y2216,4y2484KQA + KQB = 4( y1t ) + 4( y2t) = 4( y1t )( y2216)( y2t )( y12 16)y1216y2216( y1216)( y2216)y y216yty21

17、6ty y 216 yty216t= 412122121y12 y2216( y12y22 )1616=t ( y12y22 )32t=t(16k 232)32tt12 分8 164( y12y22 )8164(16k 2= 2KQM ,32)4所以直线QA、 QP、 QB的斜率依次成等差数列. ,13 分9. 已知椭圆 x2y21 a b0 的左、右焦点分别为F1 、 F2 ，离心率为2 ，过 F1 的直线 l1 交椭圆a2b22于 A、 B 两点，且ABF2 的周长为 4 2 .（）求椭圆的方程；（）过 F2 且与 l1 垂直的直线 l 211为定值 .交椭圆于 C 、 D 两点，求证：CDAB解 () 由题意， c2 ,4a42得 a2， c1从而 b1 ,故所求的椭圆的方程为a2x2y 21.4分2( ) 由题意直线 l1 ， l 2 中至少有一条存在斜率，不妨设l1 的斜率为 k ，又 l 1 过 F11,0 ，故 l1 的方程为y k( x 1) , 代入 x 22 y22 0 得 1 2k 2 x 24k 2 x2k 22 0