特殊平行四边形典型例题解析题

1、特殊平行四边形典型例题解析 题、参考例题例1如下图， ABC中，点0是AC边上的一个动点，过点0作直线MN / BC,设MN交/ BCA的平分线于点E，交/ BCA的外角平分线于点 F.求证：EO=FO(2)当点0运动到何处时，四边形 AECF是矩形？并说明你的结论.分析：(1)要证明OE=OF,可借助第三条线段 0C,即证：OE=OC, OF=OC， 这两对线段又分别在两个三角形中， 所以只需证 OEC、 OCF是等腰三角形， 由已知条件即可证明.(2)假设四边形AECF是矩形，则对角线互相平分且相等，四个角都是直角.由已知可得到：/ ECF=90°，由可证得OE=OF，所以要使四

2、边形 AECF 是矩形，只需OA=OC.证明：(1)：CE、CF分别是/ ACB、/ ACD的平分线./ ACE=Z BCE，/ ACF = / DCF MN / BC/ OEC=Z ECB，Z OFC= / FCD/ ACE=Z OEC,/ ACF= / OFC OE=OC, OF=OC OE=OF(2)当点0运动到AC的中点时，即OA=OC又由(1)证得OE=OF四边形AECF是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形)111由(1)知:/ ECA+/ ACF =1 / ACB+1 / ACD=1 (/ ACB+/ ACD)=90°即/ ECF=90°四边形AEC

3、F是矩形.因此：当点0运动到AC的中点时，四边形 AECF是矩形.例2如下图，已知矩形 ABCD的对角线AC、BD相交于O, 0F丄AD 于 F, OF=3 cm, AE丄 BD 于 E,且 BE : ED=1 : 3,求 AC 的长.分析：本题主要利用矩形的有关性质，进行计算 即：由矩形的对角线互相 平分且相等；可导出 BE=OE，进而得出 AB=AO，即得出BE=OF=3 cm,求出 BD的长，即AC的长.解：四边形ABCD是矩形. AC=BD,OB=OD=OA=OC又 BE : ED=1 : 3 BE : BO=1 : 2 BE=EO又 AE 丄 BO ABEA ADE AB=OA 即

4、AB=AO=OB/ BAE=Z EAO=30°,Z FAO=30° ABEA AOF BE=OF=3 cm,： BD=12 cm:.AC=BD=12 cm二、参考练习1如图，有一矩形纸片 ABCD, AB=6 cm,BC=8 cm,将纸片沿EF折叠，使 点B与D重合，求折痕EF的长.解：连结BD、BE、DF由折叠的意义可知：EF丄BD, EF平分BD. BE=ED,BF=FD四边形ABCD为矩形 AB=CD, AD=BC,/ C=90°, AD / BC/ EDO=/FBO点B和D重合 BO=DO，/ BOF = / DOE BOFDOE ED=BF ,a ED=

5、BF=FD=BE四边形BFDE是菱形1S 菱形= X BD X EF = BF X CD2 BF=DF ,a可设 BF=DF=x贝U FC=8 - x在Rt FCD中，根据勾股定理得：2 2 2x =(8 x) +625x=4/. -82 62 EF =兰 624EF=7.5因此，折痕EF的长为7.5 cm.2当平行四边形ABCD满足条件寸，它成为矩形(填上你认为正确的一个条件即可).答案：/ BAC=90° 或 AC=BD或 OA=OB或/ ABC+Z ADC=180。或/ BAD +/ BCD= 180°等条件中的任一个即可.典型例题例1 如图，在菱形ABCD中，E是A

6、B的中点，且，求:jD尸H（1）丄的度数；（2）对角线AC的长；（3）菱形ABCD勺面积.分析 （1）由E为AB的中点，可知DE是 AB的垂直平分线，从而，且，则是等边三角形，从而菱形中各角都可以求出.（2）而虫C丄BDtAO = OC，利用勾股定理可以求出AC （3）由菱形的£ 二-C-BD对角线互相垂直，可知1解（1）连结BD, 四边形ABCD是菱形，亠'.V是AB的中点，且_，亠 一是等边三角形，二丄一匚一也是等边三角形.（2）v四边形ABCD1菱形， AC与BD互相垂直平分，nJ弟 a - (-a)-a2 22 2 2 .AC=2A0=岳SAC BD = - /3a

7、a = a2.（3） 菱形ABCD勺面积一一一说明：本题中的菱形有一个内角是 60°的特殊的菱形，这个菱形有许多特 点，通过解题应该逐步认识这些特点.例2 已知：如图，在菱形 ABCC中，-匸一于于F.求证：丄 分析 要证明，可以先证明丄匸，而根据菱形的有关性质不难证明；，从而可以证得本题的结论.证明四边形ABCD是菱形,二 工一。亠-一E，且二丄山丄,例3已知：如图，菱形 ABC冲，E，F分别是BC，CD上的一点, ，求_二的度数.BD解答：连结AC四边形ABCD菱形， 一二二二.与丄一一为等边三角形.亠；川，丄亠卄，为等边三角形.三一一说明本题综合考查菱形和等边三角形的 性质，解

8、题关键是连AC证.例4 如图，已知四边形一和四边形丄丄都是矩形，且丄二卞 求证：二垂直平分.分析 由已知条件可证明四边形丄是菱形，再根据菱形的对角线平分 对角以及等腰三角形的“三线合一”可证明.垂直平分一F .证明：四边形 二一二、丄丄都是矩形DEiWF ABH CD ZOT=ZO = 90fl AD=BC四边形是平行四边形"二打亠工在h和 r亠中DFH = BCH<ADHF= £BHCDF = BC 望 亠，以 二四边形二上是平行四边形四边形一是菱形工平分二平分匚 二二垂直平分丄-.例5 如图，：一中，一 一一亠，匸、：在直线上，且.求证：丄;巴_二.分析 要证iJ

9、，关键是要证明四边形Ji是菱形，然后利用菱形的性质证明结论.证明四边形丄匸二是平行四边形朋此D，舷二CD，A创EH，.上1二灯CD二切，曲二舫<Z2=Z3在屈G和厶EDG中二肋同理:卫二莎二一二丄四边形U 是平行四边形 一丄一工四边形m是菱形典型例题例1 一个平行四边形的一个内角是它邻角的 3倍，那么这个平行四边形 的四个内角各是多少度？分析根据平行四边形的对角相等，邻角互补可以求出四个内角的度数.解 设平行四边形的一个内角的度数为 x，则它的邻角的度数为3x，根据 题意，得.，解得亠-严，二s-这个平行四边形的四个内角的度数分别为45°, 135°, 45°

10、;, 135°.例2 已知：如图，夕ABCD的周长为60cm,对角线AC BD相交于点O, 的周长比.的周长多8cm求这个平行四边形各边的长.分析由平行四边形对边相等，可知平行四边形周长的一半二30cm又由嘲0月的周长比AE0C的周长多8cm可知 式，可求得各边的长.解四边形二 为平行四边形，.AO-AB+0B - （OB +BC+0C） = 8 /. AB-BC - 8.'-I1J' -'I答：这个平行四边形各边长分别为 19cm, 11cm, 19cm, 11cm.说明：学习本题可以得出两个结论：（1）平行四边形两邻边之和等于平行 四边形周长的一半.（2）

11、平行四边形被对角线分成四个小三角形，相邻两个三 角形周长之差等于邻边之差.例3已知：如图，在. 中，交于点O,过O点作EF交AB CD于 E、F,那么OE OF是否相等，说明理由.分析 观察图形，MBO = MDO, LAEO - LCFO, LBOE = LDOF ，从而可 说明一二/.证明在；二|二 中，：'_、_交于o,.上 _ I.:鮎忆D ,. ZEA0*FC0,ZAE0二上CF0,.MEO 汀 CF0(AAR,.0E 二 W例4 已知：如图，点E在矩形ABCD勺边BC上，且，丄 二 -, 垂足为F。求证：分析观察图形，与丄一丄匚都是直角三角形，且锐角，斜边，因此这两个直角三

12、角形全等。在这个图形中，若连结AE贝U与I二丄全等，因此可以确定图中许多有用的相等关系。证明四边形ABCD是矩形-11，.一一匚一门:曲丄血.3。也二则又亠 工，_ 二一_。二 L :'例5 O是 ABCD寸角线的交点，丄一-的周长为59，二 ，一丄 _, 则二若A0BC与A0/B的周长之差为15,则曲二，口abcd的周长=.0A=0C = -AC 0B = 0D-BD解答：ABCD中,-,二 .,g= OB +0U +BC = -BD +-AC+BCJ.J的周长= 19+12+5(7 = 59 在一ABCD中，二匸_J丄一 的周长丄丄丄 的周长- .-5-'；:二 BOAS匸二. ABCD的周长-'' I 11 ' ' 1 ' ' L '1 1 - ： / '' I -二说明：本题考查平行四边形的性质，解题关键是将丄一一与的周长的 差转化为两条线段的差例6 已知：如图，ABCD的周长是卫代；，由钝角顶点D向AB, BC引两条高DE DF,且