勾股定理经典例题(含答案)

1、勾股定理经典例题透析类型一：勾股定理的直接用法1 、在 Rt ABC中， C=90°(1) 已知 a=6， c=10 ，求 b， (2) 已知 a=40， b=9，求 c； (3) 已知 c=25， b=15，求 a.思路点拨 : 写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。解析： (1)在 ABC中， C=90°， a=6， c=10,b=(2) 在 ABC中， C=90°， a=40，b=9,c=(3) 在 ABC中， C=90°， c=25 ，b=15,a=举一反三【变式】如图=90° ,=13,=12,=3,

2、则 AB的长是多少 ?BACDADCDBC【答案】 ACD=90°AD=13, CD=12222AC =AD CD=132 122=25AC=5又 ABC=90°且=3BC由勾股定理可得222AB=BCAC=52 32=16 AB= 4 AB的长是 4.类型二：勾股定理的构造应用2 、如图，已知：在中，.求 BC的长 .思路点拨 ：由条件，想到构造含角的直角三角形，为此作于 D，则有，再由勾股定理计算出AD、 DC的长，进而求出BC的长 .解析 ：作于 D，则因，（的两个锐角互余）（在中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半）.根据勾股定理，在中，.根据勾股定

3、理，在中，1.举一反三 【变式 1】如图，已知：，于 P.求证：.解析 ：连结 BM，根据勾股定理，在中，.而在中，则根据勾股定理有.又（已知），.在中，根据勾股定理有，.【变式 2】已知：如图，B= D=90°， A=60°， AB=4， CD=2。求：四边形ABCD的面积。分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结 AC，或延长 AB、 DC交于 F，或延长 AD、BC交于点E，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。解析 ：延长 AD、BC交于 E。 A= 60°， B=90°， E=30°。 AE=2A

4、B=8， CE=2CD=4，22222=48，BE=。 BE =AE-AB =8 -422222=。 DE= CE -CD =4 -2 =12， DE= S四边形 ABCD ABE CDE=S -S= AB· BE- CD·DE=类型三：勾股定理的实际应用（一）用勾股定理求两点之间的距离问题3 、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A 点出发，沿北偏东60°方向走了到达 B点，然后再沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C点。2（ 1）求 A、 C两点之间的距离。（ 2）确定目的地 C 在营地 A 的什么方向。解析 ：（ 1）过 B 点作 BE/A

5、D DAB= ABE=60° 30°+ CBA+ ABE=180° CBA=90°即 ABC为直角三角形由已知可得：BC=500m，AB=由勾股定理可得：所以（ 2）在 Rt ABC中， BC=500m， AC=1000m CAB=30° DAB=60° DAC=30°即点 C在点 A 的北偏东 30°的方向举一反三【变式】一辆装满货物的卡车，其外形高 2.5 米，宽 1.6 米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门 ?【答案】由于厂门宽度足够卡车通过，只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小

6、于CH如图所示，点D 在离厂门中线0.8 米处，且CD，与地面交于H解： OC1 米 ( 大门宽度一半) ，OD0.8 米 （卡车宽度一半）在Rt OCD中，由勾股定理得：CD. 米，C . . . （米） . （米）因此高度上有0.4 米的余量，所以卡车能通过厂门（二）用勾股定理求最短问题4 、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，某地有四个村庄 A、B、C、D，且正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了3四种架设方案，如图实线部分请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线思路点拨 ：解答本题的思路是： 最省电线就是线路

7、长最短， 通过利用勾股定理计算线路长， 然后进行比较，得出结论解析 ：设正方形的边长为 1，则图（ 1）、图（ 2）中的总线路长分别为 AB+BC+CD 3， AB+BC+CD 3图（ 3）中，在Rt ABC中同理图（ 3）中的路线长为图（ 4）中，延长EF交 BC于 H，则 FH BC， BH CH由 FBH及勾股定理得：EA ED FB FC EF 12FH 1此图中总线路的长为4EA+EF3 2.828>2.732图（ 4）的连接线路最短，即图（4）的架设方案最省电线举一反三【变式】如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高为4cm，是上底面的直径一只蚂蚁从点A 出发，沿着圆柱的侧面爬

8、行到点C，试求出爬行的最短路程解：如4图，在 Rt 中，底面周长的一半cm， 根据勾股定理得（提问：勾股定理） AC（cm）（勾股定理） 答：最短路程约为cm类型四：利用勾股定理作长为的线段5 、作长为、的线段。思路点拨： 由勾股定理得，直角边为1 的等腰直角三角形，斜边长就等于，直角边为和 1 的直角三角形斜边长就是，类似地可作。作法 ：如图所示（ 1）作直角边为1（单位长）的等腰直角ACB，使 AB为斜边；（ 2）以 AB 为一条直角边，作另一直角边为1 的直角。斜边为；（ 3）顺次这样做下去，最后做到直角三角形，这样斜边、的长度就是、。举一反三【变式】在数轴上表示的点。解析： 可以把看作

9、是直角三角形的斜边，为了有利于画图，让其他两边的长为整数，而 10 又是 9 和 1 这两个完全平方数的和，得另外两边分别是3 和 1。作法 ：如图所示在数轴上找到A 点，使 OA=3，作 AC OA且截取AC=1，以 OC为半径，以O为圆心做弧，弧与数轴的交点B 即为。类型五：逆命题与勾股定理逆定理6 、写出下列原命题的逆命题并判断是否正确1 原命题：猫有四只脚（正确）2 原命题：对顶角相等（正确）3原命题：线段垂直平分线上的点，到这条线段两端距离相等（正确）4原命题：角平分线上的点，到这个角的两边距离相等（正确）5思路点拨： 掌握原命题与逆命题的关系。解析： 1.逆命题：有四只脚的是猫（不

10、正确）2. 逆命题：相等的角是对顶角（不正确）3.逆命题：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上?（正确）4.逆命题：到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上（正确）总结升华： 本题是为了学习勾股定理的逆命题做准备。7 、如果ABC的三边分别为a、 b、 c，且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判断ABC的形状。思路点拨 ：要判断ABC的形状，需要找到a、 b、 c 的关系，而题目中只有条件a2+b2 +c2+50=6a+8b+10c，故只有从该条件入手，解决问题。解析 ：由 a2+b2+c 2+50=6a+8b+10c，得：a2 -6a+9+b 2-8b+16+c 2

11、-10c+25=0, (a-3) 2+(b-4) 2+(c-5) 2=0。 (a-3)20, (b-4)2 0, (c-5)2 0。 a=3 ， b=4， c=5。 3 2+42=52, a 2+b2=c2。由勾股定理的逆定理，得ABC是直角三角形。总结升华 ：勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的, 在证明中也常要用到。举一反三 【变式 1】四边形 ABCD中， B=90°， AB=3， BC=4，CD=12， AD=13，求四边形 ABCD的面积。【答案】：连结 AC B=90°， AB=3， BC=4222 AC=AB+BC=25（勾股定理） AC=52

12、22 AC+CD=169， AD=169222 AC+CD=AD ACD=90°（勾股定理逆定理）【变式 2】已知 : ABC的三边分别为2222m n ,2mn,m +n (m,n 为正整数 , 且 mn), 判断 ABC是否为直角三角形 .分析 : 本题是利用勾股定理的的逆定理，222只要证明 : a +b =c 即可证明：所以 ABC是直角三角形 .6【变式 3】如图正方形ABCD， E 为 BC中点， F 为 AB上一点，且 BF= AB。请问 FE与 DE是否垂直 ?请说明。【答案】答： DE EF。证明：设 BF=a，则 BE=EC=2a, AF=3a， AB=4a, E

13、F 2=BF2+BE2=a2+4a2=5a2；222222。DE=CE+CD=4a +16a =20a连接 DF（如图）222222。DF=AF +AD=9a +16a =25a222 DF =EF +DE, FEDE。经典例题精析类型一：勾股定理及其逆定理的基本用法1、若直角三角形两直角边的比是3： 4，斜边长是20，求此直角三角形的面积。思路点拨： 在直角三角形中知道两边的比值和第三边的长度，求面积，可以先通过比值设未知数，再根据勾股定理列出方程，求出未知数的值进而求面积。解析： 设此直角三角形两直角边分别是3x，4x，根据题意得：（ 3x） 2+（4x） 2 202化简得 x216；直角

14、三角形的面积× 3x ×4x 6x2 96总结升华： 直角三角形边的有关计算中，常常要设未知数，然后用勾股定理列方程（组）求解。举一反三【变式 1】等边三角形的边长为2，求它的面积。【答案 】如图，等边ABC，作 AD BC于 D则： BDBC（等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合） AB AC BC 2（等边三角形各边都相等） BD1在直角三角形222222ABD中， AB AD+BD，即： AD AB BD4 1 3 ADS ABCBC· AD注：等边三角形面积公式：若等边三角形边长为a，则其面积为a。【变式 2】直角三角形周长为12cm，斜边长为5cm

15、，求直角三角形的面积。【答案 】设此直角三角形两直角边长分别是x， y，根据题意得：由（ 1）得： x+y 7，（ x+y） 249， x2+2xy+y 2 49 (3)(3) (2) ，得： xy 127直角三角形的面积是2xy × 12 6（ cm）【变式 3】若直角三角形的三边长分别是n+1， n+2， n+3，求 n。思路点拨： 首先要确定斜边（最长的边）长n+3，然后利用勾股定理列方程求解。解：此直角三角形的斜边长为n+3，由勾股定理可得：（ n+1） 2+（ n+2） 2（ n+3） 2化简得： n24n± 2，但当 n 2 时， n+1 1<0， n2总

16、结升华： 注意直角三角形中两“直角边”的平方和等于“斜边”的平方，在题目没有给出哪条是直角边哪条是斜边的情况下，首先要先确定斜边，直角边。【变式 4】以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（）A 、8， 15，17B、4，5， 6C、5，8， 10D、8，39，40解析： 此题可直接用勾股定理的逆定理来进行判断，222222对数据较大的可以用c a +b 的变形： b c a （ c a）（ c+a）来判断。 82（ 40+39）×（ 40 39），以 8， 39， 40 为边长不能组成直角三角形。同理可以判断其它选项。【答案】：A【变式 5】四边形 ABCD中， B=90

17、6;， AB=3， BC=4，CD=12， AD=13，求四边形 ABCD的面积。解：连结 AC B=90°， AB=3， BC=4222 AC=AB+BC=25（勾股定理） AC=5222 AC+CD=169， AD=169222 AC+CD=AD ACD=90°（勾股定理逆定理） S 四边形 ABCD=S ABC+S ACD=AB· BC+AC·CD=36类型二：勾股定理的应用2 、如图，公路 MN和公路 PQ在点 P 处交汇，且 QPN 30°，点 A 处有一所中学， AP 160m。假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那

18、么拖拉机在公路MN上沿 PN 方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？思路点拨：（ 1）要判断拖拉机的噪音是否影响学校A，实质上是看A 到公路的距离是否小于100m, 小于 100m则受影响，大于 100m则不受影响，故作垂线段 AB并计算其长度。 （ 2）要求出学校受影响的时间，实质是要求拖拉机对学校 A 的影响所行驶的路程。因此必须找到拖拉机行至哪一点开始影响学校，行至哪一点后结束影响学校。解析 ：作 AB MN，垂足为B。在 RtABP中， ABP 90°， APB 30°， AP 16

19、0， AB AP 80。 （在直角三角形中， 30°所对的直角边等于斜边的一半）点 A 到直线 MN的距离小于 100m,这所中学会受到噪声的影响。如图，假设拖拉机在公路MN上沿 PN方向行驶到点C 处学校开始受到影响，那么AC 100(m) ，由勾股定理得：222 BC 60。BC 100 -803600,8同理，拖拉机行驶到点 D 处学校开始脱离影响，那么， AD 100(m) ， BD 60(m), CD 120(m) 。拖拉机行驶的速度为: 18km/h 5m/st 120m÷5m/s 24s。答：拖拉机在公路MN上沿 PN方向行驶时，学校会受到噪声影响，学校受影响

20、的时间为24 秒。总结升华 : 勾股定理是求线段的长度的很重要的方法, 若图形缺少直角条件, 则可以通过作辅助垂线的方法,构造直角三角形以便利用勾股定理。举一反三【变式 1】如图学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角而走“捷径”，在花园内走出了一条“路” 。他们仅仅少走了_步路（假设2 步为 1m），却踩伤了花草。解析：他们原来走的路为3+4 7(m)设走“捷径”的路长为xm，则故少走的路长为7 5 2(m)又因为 2 步为 1m，所以他们仅仅少走了4 步路。【答案】 4【变式 2】如图中的虚线网格我们称之为正三角形网格，它的每一个小三角形都是边长为1 的正三角形，这样的三角形称为单位正

21、三角形。（ 1）直接写出单位正三角形的高与面积。（ 2）图中的平行四边形ABCD含有多少个单位正三角形？平行四边形ABCD的面积是多少？（ 3）求出图中线段AC的长（可作辅助线） 。【答案】（ 1）单位正三角形的高为，面积是。（ 2）如图可直接得出平行四边形ABCD含有 24 个单位正三角形，因此其面积。（ 3）过 A 作 AKBC于点 K（如图所示），则在 Rt ACK中，故类型三：数学思想方法（一）转化的思想方法我们在求三角形的边或角，或进行推理论证时，常常作垂线，构造直角三角形，将问题转化为直角三角形问题来解决3 、如图所示，ABC是等腰直角三角形，AB=AC， D 是斜边 BC的中点， E、 F 分别是 AB、 AC边上的点，且9DE DF，若 BE=12， CF=5求线段EF 的长。思路点拨： 现已知BE、 CF，要求EF，但这三条线段不在同一三角形中，所以关键是线段