勾股定理知识点、经典例题及练习题带答案

1、精品文档【趣味链接】我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图 ”，后人称其为 “赵爽弦图 ”（如图 1）图 2 由弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形 EFGH，正方形 MNKT的面积分别为S1, S2，S3若S1， S2，S310，则 S2 的值是多少呢？【知识梳理】1、勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么 a2b2c2 . 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方B弦 ca 勾ACb 股勾：直角三角形较短的直角边股：直角三角形较长的直角边弦：斜边勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c 有下面关

2、系： a2b2c2，那么这个三角形是直角三角形。2、勾股数：满足 a2b2c2 的三个正整数叫做勾股数（注意：若a，b，c、为勾股数，那么 ka，kb，kc 同样也是勾股数组。）*附：常见勾股数： 3,4,5 ； 6,8,10 ； 9,12,15 ； 5,12,133、判断直角三角形：如果三角形的三边长a、b、c 满足 a2+b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形。1 欢迎下载精品文档（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）其他方法：（1）有一个角为 90°的三角形是直角三角形。（ 2）有两个角互余的三角形是直角三角形。用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：（1）确定最大边（不妨

3、设为 c）；（2）若 c2a2b2，则 ABC是以 C为直角的三角形；若 a2b2c2，则此三角形为钝角三角形（其中 c 为最大边）；若 a2b2c2，则此三角形为锐角三角形（其中 c 为最大边）4、注意：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（ 2）在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。（ 3）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。5、勾股定理的作用：（ 1）已知直角三角形的两边求第三边。（ 2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。（ 3）用于证明线段平方关系的问题。（4）利用勾股定理，

4、作出长为n 的线段。2 欢迎下载精品文档【经典例题】 【例 1】（ 2016 山东烟台）如图是油路管道的一部分，延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形，两直角边分别为6m和 8m.按照输油中心O到三条支路的距离相等来连接管道，则O到三条支路的管道总长（计算时视管道为线，中心O为点）是（）A.2mB.3mC.6mD.9m【例 2】（ 2016 贵州贵阳）如图， ABC中， C=90°，AC=3， B=30°，点 P 是 BC边上的动点，则AP长不可能是（）A、3.5B、4.2C、5.8D、7【例 3】（ 2016 河北）如图，在 ABC中， C=90°， BC=6,D

5、,E 分别在 AB,AC 上，将 ABC沿 DE折叠，使点A 落在点 A处，若 A为 CE的中点，则折痕DE的长为（）A 0.5B 2C 3D 4【例 4】（ 2016 重庆綦江）一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示. 正方形 DEFH的边长为 2 米，坡角 A30°, B 90°,BC 6 米 .当正方形 DEFH运动到什么位置, 即当 AE米时 , 有 DC2 AE2 BC2 .【例 5】（ 2016 广东肇庆）在直角三角形ABC中， C 90 °， BC 12 ， AC 9 ，则 AB【例 6】（ 2016贵州安顺）如图，在Rt ABC中， C=90

6、°， BC=6cm， AC=8cm，按图中所示方法将 BCD沿 BD折叠，使点 C落在 AB边的 C点，那么 ADC的面积是【例 7】（ 2016四川广安）某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造测得两直角边长为6m、8m.现要将其扩。3 欢迎下载精品文档建成等腰三角形，且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形求扩建后的等腰三角形花圃的周长【例 8】（2016 四川乐山）如图，在直角ABC中， C=90 ， CAB的平分线AD交 BC于 D，若 DE垂直平分AB，求B 的度数。【例 9】（ 2016 山东枣庄）如图，在边长为1 的小正方形组成的网格中， ABC的三个顶点均在格点上，请按

7、要求完成下列各题： （ 1）画线段AD BC且使 AD =BC，连接 CD；（ 2）线段 AC的长为， CD的长为， AD的长为；（ 3） ACD为三角形，四边形ABCD的面积为；【例 10】如图， AB为一棵大树，在树上距地面10m的 D处有两只猴子，它们同时发现地面上的C处有一筐水果，一只猴子从D 处上爬到树顶A 处，利用拉在A 处的滑绳 AC，滑到 C处，另一只猴子从D 处滑到地面B，再由 B跑到 C，已知两猴子所经路程都是15m，求树高AB.。4 欢迎下载精品文档【课堂练习】 1、（2016 湖北黄石） 将一个有45 度角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm 的纸带边沿上，另一个顶点在

8、纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30 度角，如图，则三角板的最大边的长A. 3cmB. 6cmC. 32 cmD. 62 cm2、（ 2016 江苏无锡）如图，在Rt ABC中， ACB= 90 °，D、 E、 F 分别是 AB、 BC、 CA的中点，若CD= 5cm ，则 EF = _cm 3、（ 2016 山东枣庄）将一副三角尺如图所示叠放在一起，若AB =14cm，则阴影部分的面积是_cm2.4、王伟准备用一段长30 米的篱笆围成一个三角形形状的小圈，用于饲养家兔. 已知第一条边长为a 米，由于受地势限制，第二条边长只能是第一条边长的2倍多 2米.（

9、1）请用 a 表示第三条边长；（ 2）问第一条边长可以为7 米吗？为什么 ?请说明理由，并求出a 的取值范围；（ 3）能否使得围成的小圈是直角三角形形状，且各边长均为整数？若能，说明你的围法; 若不能，请说明理由.5 、一个零件的形状如图，按规定这个零件中 A 与 BDC都应为直角，工人师傅量得零件各边尺寸： AD=4，AB=3,BD=5， DC=12 , BC=13 ，这个零件符合要求吗？。5 欢迎下载精品文档【课后作业】1、下列各组数据中，不能作为直角三角形三边长的是（）A.9 ， 12， 15B.5 ,1,3 ， 0.3 ，0.4 D.40 ， 41，9442、满足下列条件的三角形中，不

10、是直角三角形的是（）A. 三个内角比为1 21B.三边之比为 1 2 5C. 三边之比为3 25D.三个内角比为 1 233、如图，以 Rt ABC的三边为边向外作正方形， 其面积分别为S1、S2、S3，且 S1=4，S2=8，则 AB 的长为 _.4、如图，、F分别是正方形中和边上的点，且=4，= 1，为的中点，连接、，问EABCDBCCDABCEBC FCDAFAE4 AEF是什么三角形？请说明理由.ADFBEC(5 题图)（6 题图）5、如图，如上图，今年的冰雪灾害中，一棵大树在离地面3 米处折断，树的顶端落在离树杆底部4 米处，那么这棵树折断之前的高度是米 .6、一个零件的形状如图所示

11、，已知AC=3cm ， AB=4cm ， BD=12cm 。求 CD的长 .7、如图，某会展中心在会展期间准备将高5m,长 13m，宽 2m的楼道上铺地毯, 已知地毯平方米18 元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元钱?8、如图，一架长2.5 m 的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时，梯底距墙底端0.7 m ，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4 m ，则梯子的底端将滑出多少米？。6 欢迎下载精品文档【经典例题】1、 C 2 、 D 3 、 B 4 、 145 、 15 6 、6cm27、由题意可得，花圃的周长=8+8+82 =16+ 8238、解： AD平分 CAD CAD= BAD DE垂直

12、平分 ABAD=BD,B= BAD CAD= BAD= B 在 RtABC中， C=90o CAD+DAE+ B=90o B=30o9、解：（ 1）如图；（2）25， 5，5；（ 3）直角， 10；（4）1210、设 AD=x米，则 AB为（10+222x）米，AC为（ 15- x）米， BC为 5 米， ( x+10)+5 =(15- x) ，解得 x=2， 10+x=12【课堂练习】1、D 2 、53、 4924、 (1) 第一条边为a, 第二条边为2a+2, 第三条边为30-a- （ 2a+2）=28-3a(2) 不可以是 7， 第一条边为 7，第二条边为 16，第三条边为 7，不满足三

13、边之间的关系，不可以构成三角形。132 a 5(3)5,12,13,可以围成一个满足条件的直角三角形22222°.5、解：在 ABD中， AB+AD=3 +4 =9+16=25=BD，所以 ABD为直角三角形， A =90222222在 BDC中 ,BD +DC=5 +12 =25+144=169=13=BC.所以 BDC是直角三角形， CDB =90°.因此这个零件符合要求.【课后作业】1、 C2 、C3、234、解：由勾股定理得222222 AEF是直角三角形AE=25，EF=5，AF=20， AE= EF+ AF，5、 86、解：在直角三角形ABC中，根据勾股定理，得BC 2AC 2AB 2324 225在直角三角形 CBD中，根据勾股定理，得