数学分析上册chp11习题解答

1、第十一章 反常积分§1反常积分概念1.讨论下列无穷积分是否收敛？若收敛，则求其值：（1） 解： （2）解： （3） 解： （4）解： （5） 解： （6）解： （7） 解：发散而发散发散 （8）解：发散故发散2. 讨论下列瑕积分是否收敛？若收敛，则求其值：（1） 解：在上连续，从而在上可积，为其瑕点由瑕积分定义，知 显然当时，上式收敛于，其瑕积分也收敛，其值为若，则上式发散，其瑕积分也发散（2）解：上式的极限不存在，故瑕积分发散（3） 解： 故瑕积分收敛，其值为4（4）解： 故瑕积分收敛，其值为1（5） 解：故瑕积分收敛，其值为-1（6）解：令 ，则 故瑕积分收敛，其值为（7） 解：

2、 故瑕积分收敛，其值为（8）解： 上面极限式发散，故瑕积分发散3. 举例说明：瑕积分收敛时，不一定收敛。解： 例如瑕积分，由页例6结论，则瑕积分收敛中，则瑕积分发散4. 举例说明：收敛且在上连续时，不一定有解： 设则在连续，且但在无界且不存在.5. 证明：收敛，且存在极限，则。证：反证法. 假设，不妨设. 由保号性，存在，当时，于是这与收敛相矛盾，所以.6. 证明：若在上可导，且与都收敛，则证：因为收敛，所以极限存在，从而由第5题知，§2 无穷积分的性质与收敛判断1. 证明定理11.2及其推论1。（1）定理11.2（比较法则）设定义在上的两个函数和都在任何有限区间上可积，且满足：则当

3、收敛时，必收敛（或当发散时，必发散）证：由定理11.1，对有由不等式则无穷积分收敛（2）推论1：若和都在任何上可积，且则有（i）当时，与同敛态； （ii）当时，由收敛可推知也收敛； （iii）当时，由发散可推知也发散证：当时及时，知的极限存在，为某一常数则有极限的定义知，对，对有 即由定理11.2的结论知与同敛态；即（i）与（ii）成立又当时，由，取对于有，或又由定理11.2知，当发散时，也发散2. 设与是定义在上的函数，对任何，它们在上可积。证明：若与收敛，则与也都收敛。证：因为，且收敛，所以收敛，从而收敛.由于，所以收敛3. 若是定义在上的三个连续函数，且成立不等式，证明：（1） 若与都收

4、敛，则也收敛；（2） 又若则证明： 因为与都收敛，由无穷积分的Cauchy准则，有，使得当时，有 与 .又由，有. 从而有即. 由Cauchy准则，积分收敛； 由，得若，所以4.讨论下列无穷积分的收敛性（1）； 解：由柯西判别法知，收敛（2）解： 由柯西判别法的推论知，收敛（3） 解：由于由柯西判别法的推论2，有发散 （4）解：因为，所以 收敛(5) 解：当时， 当时，(6) 解：，先考虑积分， ，故当且仅当时，积分收敛再考虑积分，因为故当且仅当时，积分收敛综上所述，当，时，积分收敛，否则发散5.讨论下列无穷积分绝对收敛还是条件收敛(1)令，而对，而当时，单调趋于0故有狄利克雷判别法知收敛又而

5、其中是发散的,发散,故发散,在是条件收敛,（2）解：由于而收敛绝对收敛（3）解：由于，在上单调且当时趋于0，由狄利克雷判别法知积分收敛。又而发散，收敛，故积分条件收敛.(4) 解:在上单调递减且当时,趋于0. 故由狄利克雷判别法知积分收敛.又而发散收敛从而积分条件收敛6.举例说明：收敛时不一定收敛；绝对收敛时，也不一定收敛。解：设则，收敛，但，发散.7.说明：若绝对收敛，且，则必定收敛。证：因，故存在，当时，于是.由比较判别法，知收敛.8. 证明：若是上的单调函数，且收敛，则，且证：设在上单调无界（不妨设无上界），即对任何，存在，使得当时，. 于是这与收敛相矛盾， 从而在上单调有界，故存在极限

6、. 由P.269习题5，知下面证明：，即. 不妨设在上，且单调减少. 因收敛，由无穷积分的柯西准则，使得当时，有，于是，即9. 若在上一致连续，收敛，则证：因在上一致连续，（不妨设），使得当且时，有.又因收敛，由无穷积分的柯西准则，对上述，使得当时，有.现在对任何，取，使得，且，于是从而，所以.10.利用狄利克雷判别法证明阿贝尔判别法证：阿贝尔判别法是指: 若收敛,在上单调有界,则收敛收敛, 则令在上有界在上单调有界,则必有极限存在,设，则设则由狄利克雷判别法知,收敛.即由已知收敛，从而收敛§3瑕积分的性质与收敛判别1. 写出性质3的证明（性质3： 设函数的瑕积分为,在的任一内闭区间

7、上可积,则当收敛时,也必定收敛,并有）证：瑕积分在瑕点处收敛,则由柯西准则有对,当，总有又在的任一内闭区间上可积,再利用定积分的绝对不等式又有再由柯西准则(充分性)知收敛.又因令便得到 2. 写出定理11.6及推论1的证明（定理11.6(比较法则)设定义在上的两个函数与,瑕点同为,在任何上都可积,且满足则当收敛时,必定收敛(或者当发散时,亦必发散).推论1：又若,且,则有(i)当时,与同敛态;(ii) 当时,由收敛可推知也收敛;(iii) 当时, 由发散可推知也发散.）证：定理11.6 若(瑕点为)收敛. 由定理11.5瑕积分收敛的充要条件:对,只要,总有，由不等式,有再由定理11.5知必定收

8、敛(同理可证发散).推论1当及时,知的极限存在,为某一常数.则又极限定义知,对,当时,总有. 即.由定理11.6结论,当时, 与同敛态.当时, 由收敛可推知也收敛.当时,由,取, 当时,总有或.由定理11.6结论,当发散可知,也发散.3. 讨论下列瑕积分的收敛性(1)解:是瑕点, 由定理11.6的推论3,有其中,故积分发散(2)是瑕点,由于，而, 故积分发散(3)解：是瑕点,则.由于,则. 由定理11.6的推论3,积分发散，从而积分发散.(4)解，故不是瑕点,因而只有为瑕点.又,由于，由定理11.6的推论3知,积分收敛(5)解：为瑕点.,其中,瑕积分分散.(6) ; 解：为瑕点.其中,故当时,

9、积分收敛;时积分发散.(7)解：此瑕积分的瑕点为.由定理11推论2知,此时,当时,绝对收敛.又,有.当时,则,即时,由推论2的(ii)知积分发散.当时,由狄利克雷判别法知为条件收敛.(8)解:由知,收敛,又由知,收敛,由以上两个结果知,收敛.4. 计算下列瑕积分的值（其中为正整数）（1）； 解：当时有设当时有（2）；解：令,则于是因此,而故5.证明收敛，且 （提示利用，并将它们相加）证：,所以瑕积分收敛.为了求,考虑积分，同理可证,此积分收敛.令，则有 (令) 其中, (令)6.利用上题结果证明：（1）证：令则（2）证: (令)总练习题1.证明下列不等式：（1）；证:令则（2）；证：由于从而可

10、知等式两边的两个积分都收敛.故有(1)式结论有: 对右端第二个积分,令,则有2.证明下列不等式：（1）；证：又（2）证：又 3.计算下列反常积分的值：（1）解：（2）解：（3）解：（令）（4）解：令，则(由上题结论)4.讨论反常积分，取何值时绝对收敛或条件收敛解：设，先讨论积分,当时,有从而是正常积分. 当时瑕点.由于故当时绝对收敛；当时发散.对于积分为无穷限上非正常积分.当时,令 ，则，且有柯西准则知, 当时, 发散；当时,由狄利克雷判别法知,积分收敛.但由于不绝对收敛再由可知,当时积分条件收敛；当时由于，从而积分绝对收敛.综上所述,有下面结果:当时,非正常积分条件收敛 .当时,绝对收敛;当或时发散.5.证明：设在上连续，（1） 若，则；证：令则令有于是其中介于之间,令得（2）若收敛，则；证：由于积分收敛,故对,有令,则,有6.证明下述命题：（1） 设为上非负连续函数，若收敛，则也收敛证：取则由收敛可知，也收敛,而收敛,从而也收敛（2）设为上连续函数