2014年高考数学分类汇编(高考真题模拟新题)选修4系列文讲解

1、1N 单元选修 4 系列N1 选修 4-1 几何证明选讲15. 2014 广东卷（几何证明选讲选做题）如图 1-1 所示，在平行四边形ABCDK点E在AB上且EB=2AE AC与DE交于点F,则证明：因为B, C是圆O上的两点，所以OB= OC所以/OCB=ZB又因为C, D是圆O上位于AB异侧的两点， 所以/B,ZD为同弧所对的两个圆周角， 所以/B=ZD,因此/OCB=ZD.2014 江苏卷B .选修 4-2 :矩阵与变换-1211已知矩阵 A= J, B= J，向量a-1 X 2-1-值.Ba =错误！）错误!）=错误!）.因为=，所以CDF勺周长AEF勺周15. 3 解析本题考查相似三

2、角形的性质定理，周长比等于相似比./EB=2AEAE=3AB=CD又四边形ABCDI平行四边形，CD的周长=CDt3AEF勺周长AE 21.2014 江苏卷A .选修 4-1 :几何证明选讲如图 1-7 所示，AB是圆O的直径，C, D是圆O上位于AB异侧的两点.证明：/OCB=ZD.x+y的图 1-1x,y为实数若=，求!=错误!),解：由已知得，=1 2_ 1 x2所以x+y= 2.22. 2014 辽宁卷选修 4-1 :几何证明选讲如图 1-6 ,EP交圆于E,C两点，PD切圆于 D,G为CE上一点且PG= PD连接DG并延 长交圆于点A，作弦AB垂直EP,垂足为F.求证：AB为圆的直径

3、；若AC= BD求证：AB= ED22.证明：因为PD= PG所以/PD(=ZPGD由于PD为切线，故/PD=/DBA又由于/PGD=ZEGA故/DBA=ZEGA所以/DBAFZBAD=ZEGA/BAD从而/BDA=ZPFA因为AF丄EP,所以/PFA=90 ,所以/BDA=90,故AB为圆的直径.连接BC DC由于AB是直径，故/BD/=ZACB=90 .在 RtBDA与 RtACB中 ,AB= BA AC= BD从而 Rt BDA2Rt ACB所以/DAB=ZCBA又因为/DCB=ZDAB所以/DCB=ZCBA故DC/ AB因为ABL EP,所以DC! EP/DCE为直角.所以ED为直径又

4、由(1)知AB为圆的直径，所以ED= AB22. 2014 新课标全国卷n选修 4-1 :几何证明选讲如图 1-5,P是OO外一点，PA是切线，A为切点，害熾PBC与O0相交于点B, C, PC=2PAD为PC的中点，AD的延长线交OO于点E.证明：(1)BE= EC(2)AD- DE=2PB.2 +2y= 2+y,解得x=-2y= 4,322 .证明：连接AB AC由题设知PA= PD故/PAD=ZPDA因为/PDA=ZDAG-ZDCA/PAD=ZBADFZPABZDCAFZPAB所以ZDAC=ZBAD从而BE=EC因此BE= EC(2)由切割线定理得PA=PB- PC因为PA= PD= D

5、C所以DC=2PB BD= PB由相交弦定理得AD- DE= BD- DC所以AD- DE=2PB.22.2014 全国新课标卷I选修 4 1:几何证明选讲如图 1-5,四边形ABCD1OO的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E,且CB= CE证明：ZD=ZE;设AD不是O0的直径，AD的中点为M且MB= MC证明：ADE为等边三角形. 22 证明：由题设知A, B, C, D四点共圆，所以ZD=ZCBE由已知得ZCBE=ZE,故ZD=ZE.设BC的中点为N,连接MN则由MB= MC知MNL BC故点0在直线MNk. 又AD不是O0的直径，M为AD的中点，故OML AD即MNLAD所

6、以AD/ BC故ZA=ZCBE又ZCBE=ZE,故ZA=ZE.由(1)知，ZD=ZE,所以ADE为等边三角形.415.2014 陕西卷5B.（几何证明选做题）如图 1-3 所示，ABC中,BC=6,以BC为直径的半圆分别交ABAC于点E，F，若AC=2AE贝U EF=_15. 3 解析由题目中所给图形的位置关系，可知/AEF=ZACB又/A=ZA,所AE EF以厶AEFAACB所以AC=丽又AC=2AE BC=6,所以EF= 3.7. 2014 天津卷如图 1-1 所示，ABC是圆的内接三角形，/BAC的平分线交圆于 点D,交BC于点E,过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F.在上述条件下，给

7、出下列四 个结论：BD平分/CBFFW=FD- FAAE- CE= BE- DEAF- BD- AB- BF贝U所有 正确结论的序号是（）A.B.C. D.7. D 解析/DBC=ZDAC/DBF=ZDAB且/DA(C=ZDAB 上DBC=ZDBF BD平分/CBF ABDA BDFAB- BF=AF- BD B=AF- DF故正确.由相交弦定理得AE- DE= BE- CE故 错误.N2选修 4-2 矩阵N3选修 4-4 参数与参数方程14. 2014 广东卷（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线C与C2的方程分 别为2pcos0= sinB与pcos0= 1.以极点为平面直角坐标系的

8、原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C与C2交点的直角坐标为 _ .14.（1 , 2）解析本题考查极坐标方程与直角坐标方程的转化以及曲线交点坐标的 求解.曲线C的直角坐标方程是 2X2=y，曲线C2的直角坐标是x= 1.联立方程C与C2得AB_AF_BFBDTBF=DF622x=y,x= 1,解得x:2,所以交点的直角坐标是(1 , 2).12. 2014 湖南卷在平面直角坐标系中，曲线r亚x: 2+t,C：x: 1+孑（t为参数）的普通7方程为_ .12.xy 1 = 0 解析依题意，消去参数可得x 2 =y 1,即卩xy 1 = 0.32014 江苏卷C .选修 4-4

9、:坐标系与参数方程I与抛物线y2= 4x相交于A,B两点，求线段AB的长.x1+y2= 1 得x2+ 2 = 1，即曲线C的方程为x2+着=1.xcost,Sy= 2sint（t为参数）.x= 1x= 0解得 J 或 Jy= 0y= 2.gx+y 2 = 0,$/不妨设 R(1 , 0) ,F2(0, 2)，则线段PF2的中点坐标为3，1j,所求直线斜率k=g,于是所求直线方程为y 1 =1x化为极坐标方程，得 2pcos0 4psin0= 3,即p=4sin0 2cos0.23.2014 新课标全国卷n选修 4-4 :坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建

10、立极坐标系，半圆C的在平面直角坐标系xOy中，已知直线解：将y2=4x,解得11=0,12= 8-2,所以AB=|1112| = 82.23.2014 辽宁卷选修4-4 :坐标系与参数方程将圆x2+y2= 1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的(1) 写出C的参数方程；(2) 设直线I:2x+y2=0与C的交点为P,F2,以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段直线的极坐标方程.2 倍，得曲线 C.P1P2的中点且与I垂直的23.解：(1)设(X1, yd 为圆上的点，经变换为C上的点(x,y)，依题意，得x=X1, ，由故C的参数方程为- 2 x2+4 =1,1，即 2

11、x 4y= 3,I的参数方程为(t为参数)，直线的参数方程代入抛物线方程8极坐标方程为p= 2cos0,B J0,(1)求C的参数方程;9(2)设点D在C上，C在D处的切线与直线I:讨=3x+ 2 垂直，根据(1)中你得到的参 数方程，确定D的坐标.23.解：C的普通方程为2 2(x1)+y=1(00,y0,证明：(1 +x+y)(1 +x+y) 9xy. 证明：因为x0,y0,3所以 1 +x+y23xy20,31+x2+y3x2y0,22故(1+x+y)(1+x+y)315. 2014 江西卷x,y R,若 |x| + |y| + |x 1| + |y1| 1,I : |丄| 们“ ? |

12、x|+|y|+|x1|+|y1|2? |x|+|y| y|+1y1|1|x| + |x 1| = 1 ,丨y|+1 y11=124. 2014 辽宁卷选修 4-5 :不等式选讲 设函数f(x) = 2|x 1| +x 1,g(x) = 16x2 8x+ 1.记f(x)1的解集为M g(x)4的解集为N(1)求M15. 0 , 2解析+ |x 1| + |y 1| = 2?0 x1,0y1?0 x+y2.2 21(2)当x MAN时，证明:xf(x) +xf(x)1时，由4故 1x 3 ；当xV1 时，由故 0 xv1.f(x)=1x0,所以f(x)1的解集M=ixox由g(x) = 16x2

13、8X+ 灼得16x42 4,13解得：x：,4413因此 N=x 4x 4 ,r3】故MAN=cx0 x0).a(1)证明：f(x) 2;若f(3)v5,求a的取值范围.所以f(x) 2.(2)f(3) = 3 +a+ |3 a|.24. 2014 全国新课标卷I选修 4 5 :不等式选讲1 1若a0,b0,且a+b=ab.(1) 求a3+b3的最小值；(2) 是否存在a,b,使得 2a+ 3b=6?请说明理由.1 1 224.-解：(1)由.ab=5+ ， 得ab2,当且仅当a=b=/2时等号成立.故a3+b32ab34 2,当且仅当a=b=.,2时等号成立.所以a3+b3的最小值为 4 .

14、2.(2)由(1)知，2a+ 3b26ab 4 3.由于 4 36，从而不存在a,b,使 2a+ 3b= 6.15.2014 陕西卷A.(不等式选做题)设a,b,m n R,且a2+b2= 5,m升nb= 5,则7 m+n2的最小值为_ .15. A.&解析由柯西不等式可知(a2+b2)(m+n2) (ms+nb)2,即 5(m+n2) 25,当且仅当an=bm时，等号成立，所以pm+n2/5.1. 2014 长沙模拟已知点P所在曲线的极坐标方程为p= 2cos0，点Q所在曲线1+1，(t为参数)，则|PQ的最小值是()y= 4 + 2t24.解：(1)证明:11x+a+ |xa| x

15、+a(xa)当a3 时,f(3) =a+由f(3)5 得 3生却1当 Oaw3时，f(3) = 6 a+；，由f(3)0 ,有f(x)=1=a+狂2,a的取值范围是13解析易知点P在圆x2+y2 2x= 0 上，圆心为(1 , 0)，半径为 1，点Q在直线A.B.C.D.45丁+145r-11.14X=2C0Sa ,4. 2014 株洲模拟在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（a=寸 3sina为参数）.在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位， 且以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴）中，直线C的方程为p（cos0 sin0） + 1 = 0，则曲线C与C2的交点的 个数为_ .

16、X=2cosa ,厂（a为参数）可化为一般方程）=寸 3sina42y+；= 1，直线C2的极坐标方程p (cos0 sin0) + 1 = 0 可化为普通方程xy+ 1= 0.3x2（x-4-1 ）2联立两个方程，消去y可得-+（3）= 1，即 7x2+ 8x 8 = 0.因为 = 82+ 4X7X80,43所以直线与椭圆相交，且有两个交点.5. 2014 湖南长郡中学月考在极坐标系中，圆C的方程为p= 4 2cos0n ,以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，已知圆G的参数方程为x=1+acos0 ,(a0,y=1+as in00为参数）若圆C与圆C2外切，则实数a=.5

17、.2解析依题意，p= 42cos0 4 = 4cos0+ 4sin0，化成普通方程为x+y2= 4x+ 4y,即(x 2)2+ (y 2)2= 8，即该圆的圆心为C(2 , 2)，半径 n= 2 羽.将rx=1+acos0 ,2221(a0,0为参数)化成普通方程为(x+ 1) + (y+ 1) = a ,即圆心为C2(y=1+as in01， 1），半径r2=a.由丙点间两圆外切可得 | CQ| = 3 ：.：2 = 2 ：.；2 +a,所以a=J2.6. 2014 衡阳模拟已知曲线C的极坐标方程为p= 4cos0.若以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，则曲线C的参数方程为 _.x=2+2cos0 ,一6.（0为参数）解析由曲线C的极坐标方程为p= 4cos0，可y=2sin0（0为参数）.2xy+ 2 = 0 上，故|PQ的最小值是12+211= J1.5 54. 2解析由题意，曲线C的参数方程得其普通方程为x2+y2= 4x,即（x 2）2+y2= 4,所以曲线C的参数方程为x=2+2cosy=2s in0157. 2014 湖南雅礼中学月考 已知极坐标系下曲线p= 4sin0表示圆，则点A$，n制圆心的距离为_ .7.2击解析将曲线p= 4sinB化成普通方程为x2+y2= 4y,则该圆的圆心为（0 ,