培优(九年级)圆的翻滚——毛全明老师(1)

1、圆的翻滚把平面图形按一定方向作无滑动的翻折或滚动，称为图形的翻滚， 图形翻滚的常见形式有：（ 1）正多边形的翻折；（ 2）圆的滚边。图形翻滚问题着力考查动手操作、分析细节、归纳类比等综合能力。【例 1】如图，将边长为a 的正六边形 A1 A2 A3 A4 A5 A6 在直线 l 上由图 的位置按顺时针方向向右作无滑动滚动，当A1 第一次滚动到图 位置时，求点A1 所经过的路径的长。分析与解每一次滚边都是正六边形绕点、（ 2017以一定的长为半径旋转定角，年桂林市中考题） A1 所经过的路径的长是弧长，解题的关键是深入分析每次滚动。【例 2】已知正方形ABCD 的边长 ABk（ k 是正整数），

2、正PAE 的顶点 P 在正方形内，顶点 E 在边 AB 上，且 AE1 将PAE 在正方形内按图1 中所示的方式，沿着正方形的边 AB、 BC、 CD、 DA、 AB、. 连续地翻转n 次，使顶点 P 第一次回到原来的起始位置（1）如果我们把正方形ABCD在直线上作连续的翻转运动图意图请你探索： 若 k1 ，则的边展开在一直线上，那么这一翻转过程可以看作是PAE2 是 k1时，PAE 沿正方形的边连续翻转过程的展开示PAE 沿正方形的边连续翻转的次数n时，顶点P 第一次回到原来的起始位置；（2）若 k2 ，则 n时，顶点 P 第一次回到原来的起始位置；若k3，则时，顶点 P 第一次回到原来的起

3、始位置；（3）请你猜测：使顶点P 第一次回到原来的起始位置的n 值与 k 之间的关系（请用含代数式表示 n ）nk 的（宁波市中考题）【例 3】如图至图，O 均作无滑动滚动， O1 、 O2、 O3 、 O4均表示 O与线段 AB 或 BC 相切于端点时刻的位置，O的周长为 c 阅读理解：（1）如图 1， O 从 O1 的位置出发，沿AB滚动到 O2 的位置，当 ABc 时， O 恰好自转 1 周；（2）如图 2， ABC 相邻的补角是 n ， O 在 ABC 外部沿 A BC 滚动，在点 B 处，必须由 O1 的位置旋转到O2 的位置， O 绕点 B 旋转的角O1 BO2n， O在点 B处自

4、转周实践应用：（1）在阅读理解的（ 1）中，若 AB 2c ，则 O 自转周；若 ABl ，则 O 自转周在阅读理解的（ 2）中，若ABC 120 ，则 O 在点 B 处自转周；若 ABC60，则 O在点 B 处自转周；（2）如图3，ABC90 ，AB BC1ABC 外部沿 O 从 O1 的位置出发，在2A B C滚动到 O4的位置， O 自转周拓展联想：（1）如图 4，ABC 的周长为 l ， O 从与 AB 相切于点 D 的位置出发，在ABC 外部，按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与AB 相切于点 D 的位置， O 自转了多少周？请说明理由；（2）如图 5，多边形的周长为l ， O 从与某

5、边相切于点D 的位置出发，在多边形外部，按顺时针方向沿多边形滚动，又回到与该边相切于点D 的位置， 直接写出 O 自转的周数（河北省中考题）练习1. 已知一个半圆形工件， 未搬动前如图所示， 直径平行于地面放置， 搬动时为了保护圆弧部分不受损伤， 先将半圆作如图所示的无滑动翻转， 使它的直径紧贴地面， 再将它沿地面平移50 米，半圆的直径为4 米，则圆心 O 所经过的路线长是m （ 2017 年兰州市中考题）2. 如图，小正六边形沿着大正六边形的边缘顺时针滚动， 小正六边形的边长是大正六边形边长的一半， 当小正六边形由图 位置滚动到图 位置时， 线段 OA 绕点 O 顺时针转过的角度为度（河北

6、省中考题）3. 如图，讲两枚同样大小的硬币放在桌上， 固定其中一枚， 而另一枚则沿着其边缘滚动一周，这时滚动的硬币滚动了（）A. 1圈B.1.5圈C.2 圈D.2.5 圈（佛山市中考题）4. 如图，一张半径为1的圆形纸片在边长为a(a3) 的正方形内任意移动，则该正方形内，这张圆形纸片 “ 不能接触到的部分” 的面积是（）Aa24a2 4BCD（ 2017 年衡州市中考题）5. 如图所示， O 沿着凸 n 边形 A1 A2 A3.An 1 An 的外侧（圆和边相切）作无滑动的滚动一第 4 题周回到原来的位置（ 1）当 O 和凸 n 边形的周长相等时，证明：（ 2）当 O 的周长是 a ，凸 n

7、 边形的周长是 O 自身转动了两圈；b 时，请写明此时 O自身转动的圈数（浙江省竞赛题）第 5 题6. 如图， 小慧同学把一个正三角形纸片 （即OAB）放在直线 l1 上 OA 边与直线 l1 重合，然后将三角形纸片绕着顶点A 按顺吋针方向旋转120，此时点 O 运动到了点 O1 处，点 B 运动到了点 B1处；小慧又将三角形纸片AO1B1 ，绕点 B1 按顺吋针方向旋转120 ，此时点 A 运动到了点 A1处，点 O1 运动到了点 O2处（即顶点 O 经过上述两次旋转到达O2 处）小慧还发现：三角形纸片在上述两次旋转的过程中顶点O 运动所形成的图形是两段圆弧，即弧 OO1 和弧 O1O2 ，

8、顶点 O 所经过的路程是这两段圆弧的长度之和，并且这两段圆弧与直线l1 围成的图形面积等于扇形AOO1 的面积、AO1 B1 的面积和扇形BO1O2 的面积之和小慧进行类比研究：如图， 她把边长为 1的正方形纸片OABC 放在直线 l 2 上， OA 边与直线l 2 重合，然后将正方形纸片绕着顶点A 按顺时针方向旋转90，此时点O 运动到了点 O1 处（即点B 处），点 C 运动到了点C1 处，点B 运动到了点B1 处，小慧又将正方形纸片AO1C1 B1 绕顶点 B1 按顺时针方向旋转90 ，按上述方法经过若干次旋转后，她提出了如下问题：问题：若正方形纸片按上述方法经过3 次旋转，求顶点O 经过的路程，并求顶点O 在此运动过程中所形成的图形与直线l 2 围成图形的面积；若正方形纸片OABC按上述方法经过5 次旋转求顶点O 经过的路程；问题：正方形纸片OABC 按上述方法经过多少次旋转，顶点O 经过的路程是？7. 如图，等腰梯形MNPQ的上底长为2 ，腰长为3 ，一个底角为60正方形ABCD的边长为 1，它的一边AD在 MN上，且顶点A 与 M重合 现将正方形ABCD在梯形的外面沿边 MN 、 NP、