新八年级数学暑假辅导班讲义

1、前言如何学好初二数学步入初二，开始了新的学习生活。怎样才能学好初二数学呢？初二数学是初一数学的继续。在初一，我们学习了有理数，学习了代数式中的整式运算的性质法则，学习了一次方程（组）及一元一次不等式（组），又开始了几何的学习，了解了几何最基础的一些概念。这些都为八年级学习打下了基础。八年级上册包括全等三角形，轴对称，实数，一次函数，整式的乘除与因式分解五章内容。八年级下册包括、分式、反比例函数、勾股定理、四边形、数据的分析五章内容。八年级我们将学习更为复杂的两种代数式：分式和二次根式，并为初三研究二次方程作好准备。还要要学习数的第六种运算（以前我们已经学过加、减、乘、除、乘方五种运算）开方的有

2、关性质、法则，并把数的范围进一步扩大；这里，我们要认识新的数：无理数，并把数的范围扩大到实数。学习函数与变量关系，并系统地学习三角形、四边形的基本概念、重要性质。为初三数学的学习奠定基础。要学好初二数学，取得比较优异的成绩，同学们应该从以下几个方面去努力：1树立必胜的信心。初二开始，不仅增加了课程，数学要学的内容也较难了。但这些知识都是今后继续学习和工作的最基础的知识，必须下决心学好它，掌握它！因此，树立信心很重要。我们是21世纪的建设者，将来要掌握高科技，建设现代化，现在就必须扎实打好基础，把远大的理想、未来目标与当前努力学习联系起来，就会有强大的动力，去完成一个又一学习任务！2要养成良好的

3、学习习惯。良好的学习习惯包括：主动预习的习惯，认真听课的习惯，认真做作业的习惯，努力探索的习惯等等。譬如预习，预习就是在教师上课之前自己先看一下课本，这是一种主动学习的好习惯。对于多数同学来说，上课之前，主动阅读将要学习的数学内容，是完全可以做到的。坚持课前预习，好处很多：首先可以大体了解老师要讲的内容，做到心中有数，会使听课效果更好；预习中，有读不懂的地方，往往是教材中的难点，听课时可以特别注意，会使听课效果更好；预习时，除了看懂内容之外，还可试做一些练习，这样效果更好。如果以往你没有预习的习惯，不妨从初二开始试一试，变被动听课为主动进取，长期坚持，必有效果。相信你通过学习方法的改进，学习习

4、惯的养成，以及顽强拚搏的精神，从初二开始成为数学成绩的优秀者！全等三角形一.课前热身1、问题：你能发现这两个三角形有什么美妙的关系吗？这两个三角形是完全 的。2。学生自己动手（同桌两名同学配合）取一张纸，将自己事先准备好的三角板按在纸上，画下图形，照图形裁下来，纸样与三角板 、 完全一样。3。获取概念用自己的语言叙述：全等形、全等三角形、对应顶点、对应角、对应边，以及有关的数学符号。全等形的准确定义：能够完全重合的两个图形叫做全等形。全等三角形的定义: 二.导入新课将ABC沿直线BC平移得DEF；将ABC沿BC翻折180°得到DBC；将ABC旋转180°得AED。议一议：各

5、图中的两个三角形全等吗？ABCDEF，ABCDBC，ABCAED。（注意强调书写时对应顶点字母写在对应的位置上）启示：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，所以平移、翻折、旋转前后的图形全等，这也是我们通过运动的方法寻求全等的一种策略。三.观察与思考：寻找甲图中两三角形的对应元素，它们的对应边有什么关系？对应角呢？全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等。例1如图，OCAOBD，C和B，A和D是对应顶点，说出这两个三角形中相等的边和角。问题：OCAOBD，说明这两个三角形可以重合，思考通过怎样变换可以使两三角形重合？分析：将OCA翻折可以使

6、OCA与OBD重合。因为C和B、A和D是对应顶点，所以C和B重合，A和D重合。C= ；A= ；AOC= 。AC= ；OA= ；OC= 。例2如图，已知ABEACD，ADE=AED，B=C，指出其他的对应边和对应角。分析：对应边和对应角只能从两个三角形中找，所以需将ABE和ACD从复杂的图形中分离出来。根据位置元素来找：有相等元素，它们就是对应元素，然后再依据已知的对应元素找出其余的对应元素。常用方法有：（1）全等三角形对应角所对的边是对应边；两个对应角所夹的边也是对应边。（2）全等三角形对应边所对的角是对应角；两条对应边所夹的角是对应角。解：对应角为BAE和 。对应边为AB与 、AE与 、BE

7、与 。例3已知如图ABCADE，试找出对应边、对应角。（由学生讨论完成）分析：沿A与BC、DE交点O的连线将ABC翻转180°后，正好和ADE重合。对应边为：AB与 、AC与 、BC与 。对应角为：A与 、B与 、ACB与 。找对应元素的常用方法有两种：（一）从运动角度看1.翻转法：找到中心线，沿中心线翻折后能相互重合，从而发现对应元素。2.旋转法：三角形绕某一点旋转一定角度能与另一三角形重合，从而发现对应元素。3.平移法：沿某一方向推移使两三角形重合来找对应元素。（二）根据位置元素来推理1.全等三角形对应角所对的边是对应边；两个对应角所夹的边是对应边。2.全等三角形对应边所对的角是

8、对应角；两条对应边所夹的角是对应角。 三角形全等的条件（一）一.创设情境，引入新课已知ABCABC，找出其中相等的边与角。图中相等的边是：AB=AB、BC=BC、AC=AC。相等的角是：A=A、B=B、C=C。展示课作前准备的三角形纸片，提出问题：你能画一个三角形与它全等吗？怎样画？（可以先量出三角形纸片的各边长和各个角的度数，再做出一个三角形使它的边、角分别和已知的三角形纸片的对应边、对应角相等。这样做出的三角形一定与已知的三角形纸片全等）。这是利用了全等三角形的定义来做图。那么是否一定需要六个条件呢？条件能否尽可能少呢？现在我们就来探究这个问题。二.导入新课1。只给一个条件（一组对应边相等

9、或一组对应角相等），画出的两个三角形一定全等吗？2。给出两个条件画三角形时，有几种可能的情况，每种情况下做出的三角形一定全等吗？分别按下列条件做一做。三角形一内角为30°，一条边为3cm。三角形两内角分别为30°和50°。三角形两条边分别为4cm、6cm。结果展示：1.只给定一条边时： 只给定一个角时：2.给出的两个条件可能是：一边一内角、两内角、两边。可以发现按这些条件画出的三角形都不能保证一定全等。给出三个条件画三角形，你能说出有几种可能的情况吗？归纳：有四种可能。即：三内角、三条边、两边一内角、两内角一边。在刚才的探索过程中，我们已经发现三个内角对应相等不能

10、保证三角形全等。下面我们就来逐一探索其余的三种情况。已知一个三角形的三条边长分别为6cm、8cm、10cm。你能画出这个三角形吗？把你画的三角形剪下与同伴画的三角形进行比较，它们全等吗？1.做图方法：先画一线段AB，使得AB=6cm，再分别以A、B为圆心，8cm、10cm为半径画弧，两弧交点记作C，连结线段AC、BC，就可以得到三角形ABC，使得它们的边长分别为AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm。2.以小组为单位，把剪下的三角形重叠在一起，发现都能够重合。这说明这些三角形都是全等的。3.特殊的三角形有这样的规律，要是任意画一个三角形ABC，根据前面作法，同样可以做出一个三角形ABC，使

11、AB=AB、AC=AC、BC=BC。将ABC剪下，发现两三角形重合。这反映了一个规律：三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”。用上面的规律可以判断两个三角形全等。判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形全等。所以“SSS”是证明三角形全等的一个依据。请看例题。例如图，ABC是一个钢架，AB=AC，AD是连结点A与BC中点D的支架。求证：ABDACD。分析要证ABDACD，可以看这两个三角形的三条边是否对应相等。证明：因为D是BC的中点所以BD=DC在ABD和ACD中所以ABDACD（SSS）。生活实践的有关知识：用三根木条钉成三角形框架，它的大小和形状是固定不变的，而用

12、四根木条钉成的框架，它的形状是可以改变的。三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。所以日常生活中常利用三角形做支架。就是利用三角形的稳定性。例如屋顶的人字梁、大桥钢架、索道支架等。三.练习如图，已知AC=FE、BC=DE，点A、D、B、F在一条直线上，AD=FB。要用“边边边”证明ABCFDE，除了已知中的AC=FE，BC=DE以外，还应该有什么条件？怎样才能得到这个条件？四.作业三角形全等的条件（二）一、创设情境，复习提问1怎样的两个三角形是全等三角形？2全等三角形的性质？.三角形全等的判定的内容是什么？二、导入新课1三角形全等的判定（二）(1)全等三角形具有“对应边相等、对应角相等”的性质。那

13、么，怎样才能判定两个三角形全等呢？也就是说，具备什么条件的两个三角形能全等？是否需要已知“三条边相等和三个角对应相等”？现在我们用图形变换的方法研究下面的问题：如图2，AC、BD相交于O，AO、BO、CO、DO的长度如图所标，ABO和CDO是否能完全重合呢？不难看出，这两个三角形有三对元素是相等的：AO，AOB，BO。如果把OAB绕着O点顺时针方向旋转，因为OAOC，所以可以使OA与OC重合；又因为AOB COD， OBOD，所以点B与点D重合。这样ABO与CDO就完全重合。由此，我们得到启发：判定两个三角形全等，不需要三条边对应相等和三个角对应相等。而且，从上面的例子可以引起我们猜想：如果两

14、个三角形有两边和它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等。2上述猜想是否正确呢？不妨按上述条件画图并作如下的实验：(1)读句画图：画DAE45°，在AD、AE上分别取 B、C，使 AB3.1cm， AC2.8cm。连结BC，得ABC。按上述画法再画一个ABC。(2)把ABC剪下来放到ABC上，观察ABC与ABC是否能够完全重合？3边角边公理。有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(简称“边角边”或“SAS”)三、例题与练习1填空：(1)如图3，已知ADBC，ADCB，要用边角边公理证明ABCCDA，需要三个条件，这三个条件中，已具有两个条件，一是ADCB(已知)，二是_；还需要一

15、个条件_(这个条件可以证得吗？)。(2)如图4，已知ABAC，ADAE，12，要用边角边公理证明ABDACE，需要满足的三个条件中，已具有两个条件：_(这个条件可以证得吗？)。例1 已知： ADBC，AD CB(图3)。求证：ADCCBA。问题：如果把图3中的ADC沿着CA方向平移到ADF的位置(如图5)，那么要证明ADF CEB，除了ADBC、ADCB的条件外，还需要一个什么条件(AF CE或AE CF)？怎样证明呢？例2 已知：ABAC、ADAE、12(图4)。求证：ABDACE。四、小 结：1。根据边角边公理判定两个三角形全等，要找出两边及夹角对应相等的三个条件。2。找使结论成立所需条件

16、，要充分利用已知条件(包括给出图形中的隐含条件，如公共边、公共角等)，并要善于运用学过的定义、公理、定理。五、作 业：1。已知：如图，ABAC，F、E分别是AB、AC的中点。求证：ABEACF。2。已知：点A、F、E、C在同一条直线上， AFCE，BEDF，BEDF。求证：ABECDF。三角形全等的条件（三）一提出问题，创设情境1。复习：（1）三角形中已知三个元素，包括哪几种情况？ （2）到目前为止，可以作为判别两三角形全等的方法有几种？各是什么？2。在三角形中，已知三个元素的四种情况中，我们研究了三种，现在我们接着探究已知两角一边是否可以判断两三角形全等呢？二导入新课问题1：三角形中已知两角

17、一边有几种可能？1两角和它们的夹边。2两角和其中一角的对边。问题2：三角形的两个内角分别是60°和80°，它们的夹边为4cm，你能画一个三角形同时满足这些条件吗？将你画的三角形剪下，与同伴比较，观察它们是不是全等，你能得出什么规律？将所得三角形重叠在一起，发现完全重合，这说明这些三角形全等。提炼规律：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）。问题3：我们刚才做的三角形是一个特殊三角形，随意画一个三角形ABC，能不能作一个ABC，使A=A、B=B、AB=AB呢？先用量角器量出A与B的度数，再用直尺量出AB的边长。画线段AB，使AB=AB。分

18、别以A、B为顶点，AB为一边作DAB、EBA，使DAB=CAB，EBA=CBA。射线AD与BE交于一点，记为C即可得到ABC。将ABC与ABC重叠，发现两三角形全等。两角和它们的夹边对应相等的两三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）。思考：在一个三角形中两角确定，第三个角一定确定。我们是不是可以不做图，用“ASA”推出“两角和其中一角的对边对应相等的两三角形全等”呢？问题4：如图，在ABC和DEF中，A=D，B=E，BC=EF，ABC与DEF全等吗？能利用角边角条件证明你的结论吗？证明：A+B+C=D+E+F=180°A=D，B=EA+B=D+EC=F在ABC和DEF中ABC

19、DEF（ASA）。两个角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）。课堂练习：上图（）（）中的两个三角形全等吗？请说明理由。例如下图，D在AB上，E在AC上，AB=AC，B=C。 求证：AD=AE。三作业三角形全等的条件（四）-直角三角形全等的判定一.提出问题，复习旧知1、判定两个三角形全等的方法： 、 、 、2、如图，RtABC中，直角边是 、 ，斜边是 3、如图，ABBE于C，DEBE于E，（1）若A=D，AB=DE，则ABC与DEF （填“全等”或“不全等” ）根据 （用简写法）（2）若A=D，BC=EF，则ABC与DEF （填“全等”或“不全等” ）根

20、据 （用简写法）（3）若AB=DE，BC=EF，则ABC与DEF （填“全等”或“不全等” ）根据 （用简写法）（4）若AB=DE，BC=EF，AC=DF则ABC与DEF （填“全等”或“不全等” ）根据 （用简写法）二.导入新课（一）探索练习：（动手操作）：已知线段a ，c (a<c) 和一个直角 利用尺规作一个RtABC，使C=，AB=c ，CB= a1、按步骤做图： a c 作MCN=90°， 在射线 CM上截取线段CB=a，以B 为圆心，C为半径画弧，交射线CN于点A， 连结AB2、与同桌重叠比较，是否重合？3、从中你发现了什么？斜边与一直角边对应相等的两个直角三角形全

21、等。（）（二） 巩固练习：1.如图，ABC中，AB=AC，AD是高，则ADB与ADC （填“全等”或“不全等” ）根据 （用简写法）2.如图，CEAB，DFAB，垂足分别为E、F，（1）若AC/DB，且AC=DB，则ACEBDF，根据 （2）若AC/DB，且AE=BF，则ACEBDF，根据 （3）若AE=BF，且CE=DF，则ACEBDF，根据 （4）若AC=BD，AE=BF，CE=DF。则ACEBDF，根据 （5） 若AC=BD，CE=DF（或AE=BF），则ACEBDF，根据 3、判断两个直角三角形全等的方法不正确的有（ ）（A） 两条直角边对应相等 （B）斜边和一锐角对应相等（C）斜边和

22、一条直角边对应相等 （D）两个锐角对应相等4、如图，B、E、F、C在同一直线上，AFBC于F，DEBC于E，AB=DC，BE=CF，你认为AB平行于CD吗？说说你的理由理由： AFBC，DEBC （已知） AFB=DEC= °（垂直的定义）在Rt 和Rt 中 （ ） = （ ） （内错角相等，两直线平行）5、如图，广场上有两根旗杆，已知太阳光线AB与DE是平行的，经过测量这两根旗杆在太阳光照射下的影子是一样长的，那么这两根旗杆高度相等吗？说说你的理由。三.提高练习：1、判断题：（1）一个锐角和这个锐角的对边对应相等的两个直角三角形全等。（ ）（2）一个锐角和锐角相邻的一直角边对应相等

23、的两个直角三角形全等（ ）（3）一个锐角与一斜边对应相等的两个直角三角形全等（ ）（4）两直角边对应相等的两个直角三角形全等（ ）（5）两边对应相等的两个直角三角形全等（ ）（6）两锐角对应相等的两个直角三角形全等（ ）（7）一个锐角与一边对应相等的两个直角三角形全等（ ）（8）一直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等（ ）2、如图，D=C=90°，请你再添加一个条件，使ABDBAC，并在添加的条件后的（ ）内写出判定全等的依据。（1） （ ）（2） （ ）（3） （ ）（4） （ ）四.小结至此，我们有六种判定三角形全等的方法：1.全等三角形的定义 2.边边边（SSS） 3

24、.边角边（SAS）4.角边角（ASA） 5.角角边（AAS） .（仅用在直角三角形中）五.作业学法指导：学好全等三角形三点建议第一、要深刻理解全等三角形的含义首先要弄清什么是全等图形“两个能够重合的图形称为全等图形”“能够重合”有两层含义：（1）图形的形状相同；（2）图形的大小相等由此可知，全等三角形是指能够重合的两个（或几个）三角形互相重合的顶点、边、角分别叫做对应顶点、对应边、对应角ABC与DEF全等记作ABCDEF符号“”直观地反映了全等的两层含义：“”表示图形形状相同，“”表示图形大小相等，记住了这个符号，全等的含义就尽在其中了第二、要牢固掌握说明三角形全等的方法判定三角形全等主要有五

25、种方法：（1）全等三角形的定义：三边对应相等，三角对应相等的两个三角形全等；（2）三边对应相等的两个三角形全等（简记为：SSS）；（3）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（简记为：ASA）；（4）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（简记为：AAS）；（5）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（简记为：SAS）则除了上述几种方法外，我们不久还要学到判断两个直角三角形全等的方法：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简记为：HL）从这些方法中不难发现，判定三角形全等，无论哪种方法，都要有三组元素对应相等，且其中至少要有一组对应边相等应注意，没有“AAA”和“SSA”条

26、件，这是因为“三角对应相等的两个三角形”和“两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形”未必全等，前者是很显然的，如图1，ABC和ADE中，A=A，1=3，2=4，即三个角对应相等，但它们只是形状相同而大小并不相等，故它们不全等；至于后者，如图2，ABC和ABD中，AB=AB，AC=AD，B=B，即两边及其中一边的对角对应相等，但它们并不全等弄清这些事实，既可牢固掌握三角形全等的条件，又能避免解题时出错误至于条件的选择，则要视具体情况而定一般地，已知一边一角对应相等，可选择SAS、AAS、ASA来判定；已知两角对应相等，可选择ASA、AAS来判定；已知两边对应相等，可选择SAS、SSS条件第三、

27、要正确找出全等三角形的对应元素这是利用全等三角形解决有关问题的基础怎样找全等三角形的对应元素呢？通常有如下方法：（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；（2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；（3）有公共边的，公共边是对应边；（4）有公共角的，公共角是对应角；（5）有对顶角的，对顶角是对应角；（6）全等三角形中一对最长边（或最短边）是对应边，一对最大角（或最小角）是对应角事实上，还有更简便易行的方法：先结合图形判断已知条件中的全等三角形是否按对应顶点写在对应位置上的方法来写的，如果是，则可迅速找出对应元素如若确认ABEACD是按对应顶点写

28、在对应位置的方法写的，则按“字母位置对应法”，可写出它们的对应边是AB与AC、BE与CD、AE与AD，对应角是ABE与ACD、BEA与CDA、EAB与DAC自我测试（1）一、填空题（每题3分，共30分）（第1题）（第3题）1如图，ABCDEF，A与D，B与E分别是对应顶点，B=，A=，AB=13cm，则F=_度，DE=_cm 2由同一张底片冲洗出来的两张五寸照片的图案 全等图形，而由同一张底片冲洗出来的五寸照片和七寸照片 全等图形（填“是”或“不是”）.3如图，ABC与DBC能够完全重合，则ABC与DBC是_，表示为ABC_DBC（第4题）1（第5题）4如图，已知ABCBAD，BC=AD，写出

29、其他的对应边 和对应角 5如图所示，的延长线交于，交于，则的度数为 （第6题）（第7题）（第8题） （第9题） 6如图，已知，垂足为，垂足为，则_7如图，已知，经分析 此时有 8如图所示，AB，CD相交于O，且AOOB，观察图形，图中已具备的另一相等的条件是_，联想到SAS，只需补充条件_，则有AOC_9如图所示，有一块三角形的镜子，小明不小心弄破裂成1、2两块，现需配成同样大小的一块为了方便起见，需带上_块，其理由是_（第10题）10如图，把两根钢条，的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（工人把这种工具叫卡钳）只要量出的长度，就可以知道工件的内径是否符合标准，你能简要说出工人这样

30、测量的道理吗？ 二、选择题（每题3分，共24分）11下列说法：全等图形的形状相同、大小相等；全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等；全等三角形的周长、面积分别相等，其中正确的说法为（） 12如果是中边上一点，并且，则是（）锐角三角形钝角三角形直角三角形等腰三角形13一个正方形的侧面展开图有（ ）个全等的正方形.A2个 B3个 C4个 D6个14对于两个图形，给出下列结论：两个图形的周长相等；两个图形的面积相等；两个图形的周长和面积都相等；两个图形的形状相同，大小也相等其中能获得这两个图形全等的结论共有（）A1个 B2个 C3个 D4个15如图，在和中，已知，根据（SAS）判定 ，还需的

31、条件是（） 以上三个均可以16下面各条件中，能使ABCDEF的条件的是（）ABDE，AD，BCEFABBC，BE，DEEFCABEF，AD，ACDF BCEF，CF，ACDF17如图，相交于点，下列结论正确的是（ ）A B C D（第15题） （第17题） （第18题）18如图，已知，下列结论不正确的有（ ）A B CAB=BC D三、解答题（共46分）19（8分）找出下列图形中的全等图形 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） （11） （12）20（8分）如图，AB=DC，AC=DB，求证ABCD21（10分）如图，已知ABDC ，ADBC.证明：

32、（1）AB=CD；（2）AD=BC22（10分）如图，点在一条直线上，你能得出哪些结论?（请写出三个以上的结论）23（10分）如图，点分别在上，且，求证：角的平分线的性质（一）一.提出问题，创设情境问题1：三角形中有哪些重要线段。问题2：你能做出这些线段吗？二.导入新课在学直角三角形全等的条件时做过这样一个题：在AOB的两边OA和OB上分别取OM=ON，MCOA，NCOB。MC与NC交于C点。求证：MOC=NOC。通过证明RtMOCRtNOC，即可证明MOC=NOC，所以射线OC就是AOB的平分线。受这个题的启示，我们能不能这样做：在已知AOB的两边上分别截取OM=ON，再分别过M、N作MCO

33、A，NCOB，MC与NC交于C点，连接OC，那么OC就是AOB的平分线了。思考：这个方案可行吗？ 1.议一议：右图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC。将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线。你能说明它的道理吗？要说明AC是DAC的平分线，其实就是证明CAD=CAB。CAD和CAB分别在CAD和CAB中，那么证明这两个三角形全等就可以了。2.作已知角的平分线的方法：已知：AOB。求作：AOB的平分线。作法：（1）以O为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA、OB于M、N。（2）分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径作弧。两弧在AOB内部交于

34、点C。（3）作射线OC，射线OC即为所求。3.议一议：1.在上面作法的第二步中，去掉“大于MN的长”这个条件行吗？2.第二步中所作的两弧交点一定在AOB的内部吗？4.练一练：任意画一角AOB，作它的平分线。5.探索活动：按以下步骤折纸1.在准备好的三角形的每个顶点上标好字母；A、B、C。把角A对折，使得这个角的两边重合。2.在折痕（即平分线）上任意找一点O，3.过点O折AC边的垂线，得到新的折痕OD，其中，点D是折痕与AC的交点，即垂足。4.将纸打开，新的折痕与AB边交点为E。6.角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等。下面用我们学过的知识证明发现：如图，已知AO平分BAC，OEA

35、B，ODAC。求证：OE=OD。三.课后作业.3.在一节数学课上，老师要求同学们练习一道题，题目的图形如图所示，图中的BD是ABC的平分线，在同学们忙于画图和分析题目时，小明同学忽然兴奋地大声说：“我有个发现！”原来他自己创造了一个在直角三角形中画锐角的平分线的方法。他的方法是这样的，在AB上取点E，使BE=BC，然后画DEAB交AC于D，那么BD就是ABC的平分线。有的同学对小明的画法表示怀疑，你认为他的画法对不对呢？请你来说明理由。角的平分线的性质（二）一.创设情境，引入新课拿出课前准备好的折纸与剪刀，剪一个角，把剪好的角对折，使角的两边叠合在一起，再把纸片展开，看到了什么？把对折的纸片再

36、任意折一次，然后把纸片展开，又看到了什么？分析：第一次对折后的折痕是这个角的平分线；再折一次，又会出现两条折痕，而且这两条折痕是等长的。这种方法可以做无数次，所以这种等长的折痕可以折出无数对。二.导入新课角平分线的性质即已知角的平分线，能推出什么样的结论。1.折出如图所示的折痕PD、PE。2.画一画：按照折纸的顺序画出一个角的三条折痕，并度量所画PD、PE是否等长？结论：同学乙的画法是正确的。同学甲画的是过角平分线上一点画角平分线的垂线，而不是过角平分线上一点作两边的垂线段，所以他的画法不符合要求。问题1：如何用文字语言叙述所画图形的性质吗？问题2：能否用符号语言来翻译“角平分线上的点到角的两

37、边的距离相等”这句话。请填下表：已知事项：OC平分AOB，PDOA，PEOB，D、E为垂足。由已知事项推出的事项：PD=PE。于是我们得角的平分线的性质：在角的平分线上的点到角的两边的距离 。那么到角的两边距离相等的点是否在角的平分线上呢？ 问题3：根据下表中的图形和已知事项，猜想由已知事项可推出的事项，并用符号语言填写下表：已知事项符合直角三角形全等的条件，所以RtPEOPDO（HL）。于是可得PDE=POD。由已知推出的事项：点P在AOB的平分线上。由此我们又可以得到一个性质：到角的两边距离相等的点在角的平分线上。这两个性质有什么联系吗？分析：这两个性质已知条件和所推出的结论可以互换。思考

38、：如图所示，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，离公路与铁路交叉处500m，这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20000）？1.集贸市场建于何处，和本节学的角平分线性质有关吗？用哪一个性质可以解决这个问题？2.比例尺为1：20000是什么意思？结论：1.应该是用第二个性质。这个集贸市场应该建在公路与铁路形成的角的平分线上，并且要求离角的顶点500米处。2.在纸上画图时，我们经常在厘米为单位，而题中距离又是以米为单位，这就涉及一个单位换算问题了。1m=100cm，所以比例尺为1：20000，其实就是图中1cm表示实际距离200m的意思。做图如下：第一步：尺规做

39、图法做出AOB的平分线OP。第二步：在射线OP上截取OC=2.5cm，确定C点，C点就是集贸市场所建地了。总结：应用角平分线的性质，就可以省去证明三角形全等的步骤，使问题简单化。所以若遇到有关角平分线，又要证线段相等的问题，我们可以直接利用性质解决问题。三 .例题例： 如图，ABC的角平分线BM、CN相交于点P。求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等。分析：点P到AB、BC、CA的垂线段PD、PE、PF的长就是P点到三边的距离，也就是说要证：PD=PE=PF。而BM、CN分别是B、C的平分线，根据角平分线性质和等式的传递性可以解决这个问题。证明：过点P作PDAB，PEBC，PFAC，垂足为

40、D、E、F。因为BM是ABC的角平分线，点P在BM上。所以PD=PE。同理PE=PF。所以PD=PE=PF。即点P到三边AB、BC、CA的距离相等。练习：ABC的B外角平分线BD与C外角平分线CE相交于点P，求证：点P到三边AB、BC、CA所在的直线的距离相等。四.课时小结关于角平分线的两个性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等；到角的两边距离相等的点在角的平分线上。它们具有互逆性。像与角平分线有关的求证线段相等、角相等问题，我们可以直接利用角平分线的性质，而不必再去证明三角形全等而得出线段相等。五.作业自我测试（2）一、填空题（每题3分，共30分）1到一个角的两边距离相等的点都在_.2AO

41、B的平分线上一点M ，M到 OA的距离为1.5 cm，则M到OB的距离为_.3如图，AOB=60°，CDOA于D，CEOB于E，且CD=CE，则DOC=_.（第3题） （第4题） （第5题） 4如图，在ABC中，C=90°，AD是角平分线，DEAB于E，且DE=3 cm，BD=5 cm，则BC=_ cm5如图，已知AB、CD相交于点E，过E作AEC及AED的平分线PQ与MN，则直线MN与PQ的关系是_6三角形内一点到三角形的三边的距离相等，则这个点是三角形_的交点（第9题）7ABC中，C=90°，AD平分BAC交BC于D，且BD：CD=3：2，BC=15cm，则点

42、D到AB的距离是_8角平分线的性质定理：角平分线上的点_9（1）如图，已知1 =2，DEAB，DFAC，垂足分别为E、F，则DE_DF（第11题）（2）已知DEAB，DFAC，垂足分别为E、F，且DE = DF，则1_210直角三角形两锐角的平分线所夹的钝角为_度二、选择题（每题3分，共24分）11如图，OP平分AOB，PCOA，PDOB，垂足分别是C、D下（第12题）列结论中错误的是（ ） APC = PD BOC = ODCCPO = DPO DOC = PC12如图，ABC中，C = 90°，AC = BC，AD是BAC的平分线，DEAB于E，若AC = 10cm，则DBE的周

43、长等于( )A10cm B8cm C6cm D9cm13到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（）A三条中线的交点 B三条高的交点C三条边的垂直平分线的交点 D三条角平分线的交点14 如图所示，表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，（第14题）要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）1处2处3处4处15给出下列结论，正确的有（ ）到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上；角的平分线与三角形平分线都是射线；任何一个命题都有逆命题；假命题的逆命题一定是假命题A1个B2个C3个D4个16已知，RtABC中，C=90°，AD平分BAC交BC于D，若BC=32，且BD

44、CD=97，则D到AB的距离为（ ）A18B16C14D12（第18题）17两个三角形有两个角对应相等，正确说法是（ ）A两个三角形全等B两个三角形一定不全等C如果还有一角相等，两三角形就全等D如果一对等角的角平分线相等，两三角形全等18如图，OB、OC是AOD的任意两条射线，OM平分AOB，ON平分COD，若MON=，BOC=，则表示AOD的代数式为（ ）A2B C+D2三、解答题（共46分）19（7分）如图，已知OE、OD分别平分AOB和BOC，若AOB=90°，EOD=70°，求BOC的度数20（7分）已知：有一块三角形空地，若想在空地中找到一个点，使这个点到三边的距

45、离相等，试找出该点（保留画图痕迹）21（8分）如图，点D、B分别在A的两边上，C是A内一点，AB = AD，BC = CD，CEAD于E，CFAF于F求证：CE = CF.22（8分）已知：如图，在ABC中，A=90°，AB = AC，BD平分ABC求证：BC = AB + AD23（8分）如图，PB和PC是ABC的两条外角平分线 求证：BPC=90°-BAC 根据第问的结论猜想：三角形的三条外角平分线所在的直线形成的三角形按角分类属于什么三角形？24（8分）如图，BP是ABC的外角平分线，点P在BAC的角平分线上求证：CP是ABC的外角平分线轴对称图形一、轴对称在生活中，

46、许多事物与图形紧密联系在一起。以下是一些生活中的常见的事物图案和标志。细心观察一些日常生活中常见的动物图片如：蝴蝶、蜻蜓、对称简笔画等，它们有什么共同特征？ 1、轴对称图形定义：如果一个图形沿着某条直线对折，对折后的两面部分能够完全重合，就称这样的图形为轴对称图形。这条直线叫做这个图形的对称轴。在我们的现实生活中有很多物体的平面图形是轴对称图形，你能举例说说吗？做一做：将同学们准备好的一张纸对折后，用笔沿着折线画一条直线，然后从折叠处剪出一个你喜欢的图形，想一想，展开后会是一个什么样的图形？试着画出它的对称轴练习：请同学们细心观察，下列轴对称图形各有多少条对称轴？轴对称图形的对称轴不仅仅只一条

47、，有可能有2条、3条、4条等，对称轴的方向不仅仅是垂直的，有可能是水平的或倾斜的。2.练一练判断下列图形哪些是轴对称图形，如果是，请找出所有对称轴。(1) (2) (3) (4) (5) （6） （7） （8） （9）（10） （11） （12） （13）一般的三角形，一般的梯形，一般的平行四边形不是轴对称图形（可以通过折纸验证）做一做：将一张吸水纸上滴一滴墨水，然后沿着直线对折，请同学们观察，有什么样结果？墨水对折后所形成的两个图形关于直线对称AAAAAaa3、想一想，你能说出这些图形有什么共同特征吗？ A A1 B B1 C D D1 C1 （1） （2）（每一组里，左边的图形沿直线对折后与右边的图形完全重合。我们把这样的两个图形称为轴对称。）轴对称定义：把一个图形沿着某条直线翻折过去，如果它能够与另一个图形完全重合，那么就说这两个图形关于直线成轴对称。这条直线就是对称轴，两个图形中的对应点（即两个图形重合时互相重叠的点）叫做对称