北京大学2018年博雅计划数学真题

1、北京大学 2018 年博雅计划数学试卷选择题共 20 小题，在每小题的四个项中，只有一项符合题目要求，请把正确选项的代号填在表格中，选对得5 分，选错扣 1 分，不选得 0 分。1. 设 n 为正整数， C nkn!为组合数，则 C201803C201815C20182.4037C 20182018 等于（）k!(n k)!A. 2018 22018B. 2018！C. C40362018D. 前三个答案都不对【答案】 Dnnnnnnn解析：(2k1)Cnk2kCnkCnk2 nCnk11Cnk2n Cnk11Cnk，k 0k 0k 0k 1k 0k 1k 0201820182018C2018

2、03C201815C20182.4037C20182018(2 k 1)C2018k22018C2017k1C2018kk 0k 1k040362201722018201922018 ，故选 D。2. 设 a，b，c 为非负实数，满足a+b+c=3，则 a+ab+abc 的最大值为（）A. 3B. 4C. 32D. 前三个答案都不对【答案】 B解析： a ab abca(1 b(1c)a 1 (1 bc)2a 1 (4 a)2，对其求导得到 a2 时取44最大值为 4。3. 一个正整数 n 称为具有 3-因数积性质若 n 的所有正因数的乘积等于 n3 ，则不超过 400 的正整数中具有 3-因

3、数积性质的数的个数为（）A. 55B. 50C. 51D. 前三个答案都不对【答案】 C1解析：设 n 的所有正因数的乘积为T，即 Tn3 。n 1 显然符合题意；下面证明当 n 2 时，正整数 n 的质因数的个数最多为 2：假设 n 的质因数的个数大于或等于 3，即 n的全部质因数为p1, p2 ,., pk (k3) ，并设 np11 p22 . pk k ，则 n 的所有正因数的乘积中， pii (i1,2,.k) 至少在 pii , pii p1, pii p2 ,., pii pi 1 , pii pi1., pii pk , pii p2 . pk 这些因子中出现，即 pi i出现

4、的次数大于或等于 4，这样 T( p11p22 . pk k)4n4 ，这与题意 T n3矛盾，所以假设不成立，即n 的质因数的个数最多为 2。2(1)33若 n 只有一个质因数，设 np ，则 T p2p . ppnp5，此时只有质数 p2或 3满足 n 400 ；(1)(1)(1) (1)333若 n 有两个质因数，设 np q ( p q,)，此时Tp2q2npq，解得2,1，即 np2q ： p 取 2 时 q 有 24 个取值， p 取 3 时 q 有 13 个取值， p 取 5 时 q 有5 个取值， p 取 7 时 q 有 3 个取值， p 取 11 时 q 有 2 个取值， p

5、 取 13 时 q 有 1 个取值；综上，所求总个数 =1+2+24+13+5+3+2+1=51个。14 - z1iz224. 已知复数 z1sin2i ， z21i cos的最小值为（），则z1 iz2A. 2B. 22C. 23D. 前三个答案都不对【答案】 B解析： z1 iz 2sincos3i| z1iz2 |210sin 2，z1 iz2sincosi| z1iz2 |2sin 2，14- z12iz214(10sin 2)22sin 222 sin 22 2 ，取等条件为：z1iz22sin 22sin 22sin 222 sin 2sin 20 。2sin 25. 设 A 是不

6、超过 2018 的正整数组成的集合，对于正整数k，用 ak 表示所有可能的 A 中 k 个数2乘积的倒数之和，则 a2a4.a2018 的值为（）A. 1B.2019C.2017D. 前三个答案都不对22【答案】 C解析： a1a2 a3 .a2018(11)(11 )(11).(11)123. 2019 1 2018 ，1232018122018a1 a2a3 .a2017a2018(11)(11 )(1 1).(11)11 ，1232018两式相加即得 a2a4.a2018201812017。226. 已知实数 a,b,c 成公差非 0 的等差数列，在平面直角坐标系中，点P 的坐标为（ -

7、3， 2），点N 的坐标为（ 2，3），过点 P 作直线 ax+by+c=0 的垂线，垂足为点M ，则 M,N 间的距离的最大值与最小值的乘积是（）A. 10B. 62C.42D. 前三个答案都不对【答案】 A解析：由等差中项性质得 ac2b ，可见直线 ax+by+c=0 过定点 Q(1, 2) ，设垂足 M ( x0 , y0 ) ，uuuur uuuur( x0 1)2y028 ，即点 M 在圆 T： ( x1)2y2则PM QMPM QM08 上，点 N到圆心 T的距离 |NT |32 ，所以| MN |max | MN |min(|NT| 22)(| NT | 22) 10。7. 设

8、a1, a2 , ., a2018 ,b1 , b2,.b2018 是 4036 个实数，a1, a2 ,., a2018互异，满足对任意的 i（1 i2018）都有 (aib1 )( aib2 ).( aib2018 ) =2018，则对任意的 j（1 j2018）(a1 b j )( a2bj ).(a2018b j ) 的值为（）A. 2018B. -2018C. 不能确定D. 前三个答案都不对【答案】 B解析：由 1i2018,( aib1 )(aib2 ).( aib2018)2018 恒成立可得：f ( x) ( x b1 )( xb2 ).( xb2018 )2018(xa1)(

9、 xa2 ).( xa2018 ) ，上式两边令 xbj 即得 (ab )(ab ).(ab ) 2018。1j2j2018j38. 用x表示不超过实数 x 的最大整数，例如 =3,- =-4.设 n 为正整数，用 an 表示当 x0,n时，函数 f (x) x x 的值域中的元素的个数，则使得an2018 最小的 n 的取值为（）nA. 63B. 1009C. 2018D. 前三个答案都不对【答案】 A解析：令 xkr ( kZ且 0k n1,0r1) ，当 k0 时 x x0 ； k1 时，则k2x x(kr )kk 2k ， x x 有 k 个取值；an1 12 .n 11 n( n 1

10、) ，2所以 an2018n2n40381 (n40381)1 (240381) ，当 n 4038 或 40381 时n2n2n2an2018 最小，而 403863 ， a632018a64 2018 ，故 n=64 时最小，选 D。n63649. 已知ABC 的面积为 1， D,E 分别为边 BC,CA上的点，且 BD1 BC ,CE 1 CA ,AD 和 BE交33于点 P，则四边形 PDCE的面积是（）A. 2B. 2C.8D. 前三个答案都不对9721【答案】 B解析：uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur 1 uuuruuur2u

11、uurAPABBPABBEAB(BCCE )AB(ACABAC) (1) AB3AC ，uuuruuuruuur1 uuur1 uuur2uuur1 uuur33，又 APAD( ABAC3AB)3AB3AC 。比较两式得73所以 SPDCES BCES BDP S BCE31S BCE6 SBCE61S ABC2 。737737410. 设实数 x,y 满足 x2y21，则x 2y22y1x2y22x 1 的最小值为（）54A. 25B.25 - 2C.25 -2D. 前三个答案都不对【答案】 C解析： x2y22 y 1x2y22x1 表示椭圆 x2y 21 上动点 M ( x, y) 到

12、定点 N (0,1) 与定54点 F (1,0) 的距离之和， F 为椭圆右焦点，设左焦点为F '(1,0)，则x2y22 y 1x2y22x 1 | MF | | MN | 2a | MF ' | | MN | 2a | F ' N | 2 52 。11. 设关于 x 的方程 x22a xa2ax10 有 3 个互不相同的实根，则实数a 的取值范围是（ ）A.1，B.-，-1C.1,00,1D. 前三个答案都不对【答案】 D解析： x22axa2ax10(x a)22a xa1 a 20( xaa)22a2 1 ，2a2102a210xaa2a2，要使原方程有三个互不

13、相等实根，则a2a210 或1a2a2102a210a2a210，解得 a1，故选 D。a2a21012. 把正整数中的非完全平方数从小到大排成一个数列an (n 1)，例如， a1 2 ，a23，a35 ，a4 6 ，则 a2018 的值为（）A. 2061B. 2062C. 2063D. 前三个答案都不对【答案】 C解析： 44 21936, 4522025, 4622116 ，即小于 2018 的数中共有 44 个完全平方数，所以5a2018 44a19742018 ，a201820184412063 （2025 是完全平方数，不在该数列中） 。13. 15 人围坐在圆桌旁，从中选出4

14、人使得其中任意两人都不相邻的选法数为（）A. 1820B. 450C. 360D. 前三个答案都不对【答案】 B解析：从 15 人中任选 4 人的方法总数为 C154 ：若选出的 4 个人刚好顺序相邻，情况种数 =15；若选出的 4 人中有 3 人顺序相邻，其余 1 人与他们隔开，情况种数 =15 10 150 ；若选出的 4 人可分成两两一组，其中每组内部两人相邻，但整体两组不相邻，情况种数=10 1575 ；若选出的 4 人中只有两人相邻，其他两人跟他们2彼此不相邻，情况种数 =675。15(987.1)综上，所求 4 人使得其中任意两人都不相邻的选法数 =C15415 150 75 67

15、5 450 。14. 从不超过 2018 的正整数中任取 3 个数使得不包含两个连续的数， 则这样的取法种数是 （其中 Cnkn!表示组合数）（）k! (n k )!A. C20163B.1C20183C. C 20183- C20172D. 前三个答案都不对2【答案】 A解析：从 2018 个数中任取 3 个数的方法总数为 C20183：若取出的三个数均相邻，情况数=2016；若取出的三个数只有两个数相邻，情况数=201520152014201520152016 ；综上，所求方法种数=C2018320162015 2016201820172016 20162201620152014C2016

16、3。6615. 设集合 S 中有 10 个元素，从 S 中每次随机选取 1 个元素，取出后还放回 S中，则取 5 次后出现重复元素的概率是（保留两位有效数字） （）A. 0.50B. 0.55C. 0.70D. 前三个答案都不对【答案】 C6C 5解析：由加法原理和乘法原理P1100.6976，因而答案选 C。10516. 立方体 ABCDA1B1C1 D1 中， M为 AD1 的中点， N 为 B1C 的中点，则异面直线 CM 与 D 1N的夹角余弦值是（）A. 1B.2C. 3D. 前三个答案都不对234【答案】 B解析：如图，易知 CM / NA1 ，故所求余弦值等于 cosD1 NA1

17、 ，设立方体棱长为 1，则D1 N NA1 CM(1) 2(1)2126 ，在三角形 D1 NA1 中，由余弦定理易得 cos D1 NA12 。222317. 有多少个正整数n 满足 sin(2)sin( 2 2 ).sin(n2 )2 .()A. 0B. 1C. 无穷多个D. 前三个答案都不对【答案】 A解析：运用等差角求和公式，在式子上下同乘sin2，然后积化和差得到：2sin 2sin 22 .sin n221cos 2n 1 2cos 2sin2222222sinsin221cos 2n1 2cos22sin2222272sin n12 sin n 22sin2下面需要对这个式子就行

18、估算，注意到20.707，即 2sin21，而上式左边22sin626不超过 1，所以不存在 n 使得原式成立。18. ( x 9) 24x2y2( y3)29 的最小值所属区间为（）A. 10,11B.(11,12C. (12,13D. 前三个答案都不对【答案】 C解析：首先观察原式代数结构特点， 易知取最小值时 0x9,0y3 ，可先固定 x ，即把 x 视为常数， y 看做变量，此时( x9)24 为常量， x2y2( y3)29 表示 y 轴上一动点P(0, y) 到定点 A ( x,0) 与定点 B (3,3) 距离之和，显然x2y2( y3)29| AB | (x3)232 ，当且

19、仅当 A，P，B 三点共线时取等；(x 9)24x2y2( y 3)29( x 9) 24 ( x 3)232 ，问题进而转化为 x 轴上动点 A'( x,0)到定点 C(9, 2)与定点 D( 3,3) 距离之和，显然( x9)24( x3)232|CD |13 ，当且仅当 C、 D、 A ' 三点共线时，即 A '(21,0) 取等；57进一步往回带可得动点P 坐标为 (0,) 。综上，当 x21, y7 时， (x9)24x2y2( y3) 29 最小值为 13，故选 C。5419. 方程 3x1x23 x2x274的实根个数为（）1515A. 1B. 2C. 3D. 前三个答案都不对