大学数学练习题

1、大学数学习题及答案一填空题:1一阶微分方程的通解的图像是维空间上的一族曲线 .2二阶线性齐次微分方程的两个解12(x)为方程的基本解组充分必要条件是_.y (x);y3方程 y' '2 y' y0 的基本解组是 _.4一个不可延展解的存在区间一定是_区间 .5方程 dy1y 2 的常数解是 _.dx6方程 x' 'p(t) x'q( t ) x0 一个非零解为x1(t) , 经过变换 _7若 4(t) 是线性方程组 X 'A(t ) X 的基解矩阵 , 则此方程组的任一解 4(t)=_.8一曲线上每一占切线的斜率为该点横坐标的2 倍,则此

2、曲线方程为 _.9满足 _ 条件的解 ,称为微分方程的特解 .10如果在微分方程中,自变量的个数只有一个我们称这种微分方程为_.11一阶线性方程 y'p( x) y q(x) 有积分因子 ().12dyx / y 的解是 ().求解方程dx13 已知 ( axy 23x2y) dx ( x y) x2 dy0 为恰当方程 ,则 a =_.dyx2y 214dx, R : x 1, y 1由存在唯一性定理其解的存在区间是( ).y(0)0215 方程dy5 dy6 y 0 的通解是 ().dxdxdy416 方程y 3x y 5 的阶数为 _.dx17 若向量函数1 ( x);2 ( x

3、);3 (x)n ( x) 在 区 间 D 上 线 性 相 关 , 则 它 们 的 伏 朗 斯 基 行 列 式 w(x)=_.18 若 P(X) 是方程组dyA( x)的基本解方阵则该方程组的通解可表示为_.dx19方程 x( y21)dxy( x 21)dy0 所有常数解是 _20方程 y4 y0的基本解组是 _dy1y21方程 dx满足解的存在唯一性定理条件的区域是_ 22函数组1 ( x),2 ( x), n ( x) 在区间 I 上线性无关的_ 条件是它们的朗斯基行列式在区间 I 上不恒等于零23若 y1 (x), y2 (x) 是二阶线性齐次微分方程的基本解组，则它们_ 共同零点二

4、单项选择 :11 方程dyx 3dx(A) 上半平面y 满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是().(B) xoy 平面(C) 下半平面(D)除 y 轴外的全平面dy2方程dxy1 ()奇解 .(A) 有一个(B) 有两个(C) 无(D)有无数个3在下列函数中是微分方程y' 'y0 的解的函数是 ().(A)y1(B) yx(C) ysin x(D) yex4方程 y''yexx 的一个特解y * 形如 ().(A) aexb(B) axexbx(C) aexbxc(D) axexbxc5f ( y) 连续可微是保证方程dyf ( y) 解存在且唯一的 ()条

5、件dx（A ）必要（ B）充分(C)充分必要(D) 必要非充分6二阶线性非齐次微分方程的所有解().(A) 构成一个2 维线性空间(B) 构成一个3 维线性空间(C) 不能构成一个线性空间(D) 构成一个无限维线性空间dy27方程3y 3 过点 (0,0)有 ().dx(A)无数个解(B) 只有一个解(C) 只有两个解(D) 只有三个解初值问题 x'011t81x , x( 0)1在区间 ,上的解是 ().0(A)u( t)t(B)u(t )e(C) u(t)t(D) u(t )ettee9方程 dyx2 ycos x0 是 ().dx(A)一阶非线性方程(B) 一阶线性方程（ C)超

6、越方程(D) 二阶线性方程23 dy10方程dy0 的通解是 ().dxdx(A) C1C 2e3x(B)C1 xC 2 e 3 x(C) C1C 2e 3x(D) C 2 e 3xdy24 dy11方程4y0 的一个基本解组是 ().dxdx(A)x, e 2x(B) 1, e 2x(C) x 2 , e 2 x(D) e 2 x , xe 2 x2p( x) dy12若 y1 和 y2 是方程dyq( x) y0 的两个解 ,则 ye1 y1 e2 y2（ e1,e2 为任意常数）dxdx(A)是该方程的通解(B) 是该方程的解(C)不一定是该方程的通解(D) 是该方程的特解13方程 dy

7、1y 2过点 (0,0)的解为 ysin x ,此解存在 ().dx(A)(,)(B) (,0(C) 0,)(D) , 2214方程 y' 3x2 yex 是 () .(A)可分离变量方程(B)齐次方程(C)全微分方程(D)线性非齐次方程15微分方程dy10 的通解是 ().dxycx1(A)(B)y cx(C) yc(D)yxcyxx16在下列函数中是微分方程y' 'y0 的解的函数是 ().(A)y1(B)yx(C) ysin x(D) yex17方程 y''yexx 的一个数解yx 形如 ().(A)ae xb(B) axexbx(C) ae xb

8、xc(D) axexbxc18初值问题 x'01x; x(0)1在区间t上的解是 ().101(A) u( t)t(B) u( t)e t(C) u(t )t(D)u(t )e tttete tdyy19方程 dx的奇解是（）（ A ） y x（B ） y 1（ C） y1（ D） y 0dy1y 2(, 1)20.方程 dx过点2共有（）个解（A）一（ B）无数（C）两（D ）三21 n 阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（）个（ A ） n（ B） n -1（ C） n +1（ D） n +222一阶线性非齐次微分方程组的任两个非零解之差（）（ A ）不是其对应齐次微分方程

9、组的解（B）是非齐次微分方程组的解（ C）是其对应齐次微分方程组的解（ D）是非齐次微分方程组的通解f ( x, y)dy23如果 f ( x, y) ，y都在 xoy 平面上连续，那么方程f ( x, y)dx的任一解的存在区间（）（A）必为 (,)（B ）必为 (0,)（ C）必为 (, 0)（ D ）将因解而定三求下列方程的解 :1求下列方程的通解或通积分:dy2dy(1)y1ny(2)dy1yy(3)y xy5(4) 2xydx (x 2y 2 )dy0dxdxxxdx(5) y xy' 2( y' )32求方程的解x(5 )1x( 4)0解方程 : dyt3y2 co

10、s x 并求出满足初始条件:当 x=0 时 ,y=2 的特解dx4求方程 :dyytg ydxxx5求方程 :dy6 yxy 2 的通解dxx6求 (3x 26xy 2 )dx(6x2 y4 y3 )dy 0 的通解 .7求解方程 :d 4 xd 2 xx 0dt 422dt8d 5 x1 d4 x0的解求方程 :tdt 4dt 59求方程 y''5 y'5x2的通解dx1dty10 求下列方程组的通解sin tdyxdty'xy11 求初值问题R : x11y1的解的存在区间并求出第二次近似解y( 1)012 求方程的通解(1)dyy(2)dyytan y(3

11、) ( y 3x2 ) dx (4 y x)dy 0 ( 三 种 方 法 )dxxy2dxxx42(4)dy5 dy4 y0dxdx13计算方程y' ' 4 y3sin 2x 的通解14 计算方程d 2 xdx4xcostdt4dt15求下列常系数线性微分方程:y' ' 2 y' 10yxe2 x16试求 x210x 的基解矩阵22117 试求矩阵A1 43518 试求矩阵A5 3的特征值和对应的特征向量.的特征值和特征向量y'132y119 解方程组12y2y'220求下列方程组的通解dx2 yxdtdy4y3xdt四 名词解释1 微分

12、方程2 常微分方程、偏微分方程3 变量分离方程4 伯努利方程5 Lipschitz 条件6线性相关五 证明题1 在方程 y' ' p( x) y' q( x) y0 中已知 p(x);q(x) 在 (;) 上连续求证 :该方程的任一非零解在xoy 平面上不能与x 轴相切 .2 设 x1(t) 、 x2(t) 分别是非齐次性线方程d n xG1 (t) d n 1 xGn (t )xf1 (t )dt ndt n 1d n xG1 (t) d n 1 xGn (t ) xf2 (t )dt ndt n 1证明： x1(t)+x2(t) 是方程 d n xG1 (t) d

13、n 1 xGn (t ) xf1 (t)f 2 (t ) 的解。dt ndt n13 设 f (x) 在 0；+ 上连续且 lim f (x)=0dyyf (x) 的一切解 y(x) ；求证：方程均有 lim y (x)=0xdxx4 在方程 y' 'p( x) y'q( x) y0 中 p(x) 、 q(x) 在（,）上连续；求证：若p(x) 恒不为零；则该方程的任一基本解组的朗斯基行列式w （x）是（,）上的严格单调函数。5 证明： x1(t)+x 2(t) 是方程 d n xc1 (t ) d n1 xan ( x) tf 2 (t ) 的解。dendt n 16

14、 证明：函数组 e 1 x , e 2 xe n x （其中当 ij 时 ij ）在任意区间（ a ,b）上线性无关。dyf ( y) ( y)( x) 在 () 上连续，且1) 0 求证：对任意 x07在方程 dx中，已知 f ( y) ，,(和 y01，满足初值条件y( x0 )y0 的解 y( x) 的存在区间必为( ,) 8在方程 yp( x) yq(x) y 0 中，已知 p( x) ， q(x) 在 (,) 上连续求证：该方程的任一非零解在 xoy 平面上不能与 x 轴相切练习题答案一填空题:1、 22、 线性无关（或：它们的朗斯基行列式不等于零）3、 ex ; xex4、 开5、

15、y16、xx1ydt7、(t )c ,c 为常数列向量8、 y=x 2+c9、 初始10、常微分方程11、 ep(x)dx12、 x2+y 2=c ; c 为任意正常数13、 /14、1 ; 122x5pc66615、5 p1 p2y6616、 417、 018、( x)c ；其中 c 是确定的 n 维常数列向量19 y1, x120 sin 2x, cos 2x21 D ( x, y)R2 y0 ，（或不含 x 轴的上半平面）22充分23没有二单项选择1、 D2、 C3、 C4、 D5、B6、 C7、 A8、D9、 A10、 C11、D12、B13、D14、D15、B16、C17、D18、D

16、19D20B21A22.C23 D三 求下列方程的解1 (1 ）解：当 y0, y1时，分离变量取不定积分，得dydxCy1ny通积分为1ny= Cex（ 2）解：令 y= xu , 则 dyu x du ,代入原方程，得x dudxdx1u2dx分离变量，取不定积分，得dudx1nC（C0）1u 2xy1nCx通积分为： arcsin（ 3）xy-5 ,得解： 方程两端同乘以y 5dyy 4xdxdydz , 代入上式，得令 y -4= z，则 - 4y -51 dzdxdxzx4 dx通解为zCe 4xx14原方程通解为y 4Ce 4 xx14（ 4）解： 因为M2xN， 所以原方程是全微

17、分方程。yx00取（ x ,y） =（0， 0）原方程的通积分为xy2 dyC2xydxy00即x 2 y1 y3C3（ 5）解：原方程是克莱洛方程，通解为：y = cx+2c 32 解：设 ydx 则方程化为 dx1 y0，积分后得 y = ct即 dxctdtdttdt于是 x=c1t5+c 2t3+c3t2+c4t+c 5其中 c1 , c2 , c3 , c4 , c5 为任意常数= dn x(t)G1(t ) d n1 x(t)Gn (t ) x1 (t) d n x(t )G1 (t ) d n 1 x(t)dt ndt n 1dt ndt n 1Gn (t) x2 (t )= f

18、 1(t) + f 2(t)故 x1(t)+x 2(t)为方程 d n x(t )G1(t) d n 1 x(t )G n x(t ) =f1(t)+f2 (t) 的解。dt ndt n 13 解： 将变量分离，得到dycos xdxy 21两边积分，即得sin xcy因而，通解为1ysin xc这里 c 是任意常数。以x=0 , y=1 代入通解中以决定任意常数c，得到c = -1因而，所求特解为y1sin x1ydydyu代入，则原方程变为4 解：以u 及xxdxdxduuu tguxdx即dutgudxx将上式分离变量 ,即有dxctgudux两边积分 ,得到nsin un xc这里 c

19、' 是任意函数 ,整理后 ,得到sin uec 'x令 e e'c ,得到sinu = cx5解 : 令 z = y -1 得dzy 2dydxdx代入原方程得到dz6 zxdxx这是线性方程 ,求得它的通解为zcx2x68代回原来的变量 y , 得到1cx 2yx 68这就是原方程的通解。此外，方程还有解y=0 。6解： 这里 M =3x 2+6xy 2.N = 6x 2y+4y 3 ，这时M12 xy. N12 xyyx因此方程是恰当方程。现在求u ，使它同时满足如下两个方程u3x 26xy 2xu6x 2 y4 y 3y由（ 1）对 x 积分，得到ux33x 2

20、y 2( y)为了确定( y) ，将（ 3）对 y 求导数，并使它满足（2），即得u6x 2 yd ( y)6x2 y 4 y3ydy于是d ( y) = 4y4 dy积分后可得( y) =y 4将( y) 代入（ 3），得到u = x 3 + 3x 2y2 + y4因此，方程的通解为x3+ 3x2 y2 + y 4=c这里 c 是任意常数7解： 特征方程42 210 即特征根i 是重根，因此方程有四个实值解cost、tcost 、sint 、tsint故通解为 x = (c +c t)cost + (c+c t)sin其中 c; c; c; c为任意常数123412348解： 令 d 4 x

21、y则方程化为：dy1 y0dt 4dtt积分后得 y=ctd4 xct 于是 x=c 1t5 + c 2t 3+ c3t2 + c4t1 + c5即dt 4其中 c1 ; c2 c5 为任意常数，这就是原方程的通解。9 解 对应齐次方程的特征方程为250 ，特征根为 1 0, 25齐次方程的通解为125xy=C +Ce因为 a=0 是特征根。所以，设非齐次方程的特解为2y1(x)=x （ Ax+ Bx + C ）A=1，B=1，C= 23525原方程的通解为y C1C 2e5 x 1 x 31 x22 x352510 解： 先解出齐次方程的通解xcostsin ty=C1+C 2sin tco

22、st令非齐次方程特解为x=C 1(t)ycostsin tsin t+C2(t)costC '1 (t), C '2 (t) 满足costsin tC'1 (t)1=sin tsin tcostC'2 (t)0解得 C '1 (t)cost , C '2 (t )1sin t积分，得C1 (t ) 1n sin t , C2 (t )t通解为xC1costC 2sin tcost1n sin tt sin tysin tcostsin t1n sin t t cost11 解： M=maxf (x, y) =4hmin( a,b11)4故解的存在

23、区间为 x 1M42) q0(x)=0q1(x)=0x (g 20) dgg |xx1333q2(x)=0+x g 2g2 g 31dg gg2g1 g x999363369xxxx11=9186042312 求方程的通解 :dyy1)xy2dx解 : 变形 dyxy21 xy(1),将 y 看作自变量 , x 为未知函数dxyydx1通解为 x = cy解齐线性方程x ,dyy令 x = c (y)y . (2)微分得 , dxd (c( y) y)dc( y) yc( y)dydydy由 (1)(2)知 xydc ( y) yc( y)c( y) yyydyydc( y)1,积分得 c(

24、y)是任意常数 )y c 故 x ( yc ) y (cdy2) dy y tan ydxxx解 : 令 yu 则 yux , 于是 dyx duuxdxdx则原方程变为 x duuutan udutan udx即dxxdx将上式分离变量有cot udux积分得 1n sin u1n x 为任意常数。c , c整理 sinu?xec令c0得 sin ucx(c0)ec方程还有解 tanu=0即 sinu=0,故通解为sinu = cx (c 为任意常数 )3） ( y 3x 2 )dx(4 yx) dy0 (三种方法 )解：法一，这里M=y-3x 2 , N= - (4y-x )= 4-4yM

25、N1,因此此方程是恰当方程1,xy现求 u 使 uy 3x2 （ 1）， ux4 y （2）xy对（ 1）中 x 积分得 uyx x 3( y)（ 3）对（ 3）中 y 求导ud ( y)4 yyxdy积分得 ( y)2 y 2 ，代入（ 3）得 uyx x32y2故通解为 yxx32 y2c ， c 为任意常数法二，重新组合得ydx 3x 2 dx4 ydyxdy 0 ，即 ydxdx32dy 2xdy 0d (xy x32 y 20)于是通解为 xyx32 y2c 其中 c 是任意常数。4） ( dy ) 45( dy )24 y 0dxdx解： 令 pdy 则 p 45p 24 y 0,

26、 y5 p 21 p 4dx44对 x 求导得P5 p dpp3dp( 5 pp 3 ) dp ,( 5 pp3 )dppdx 02dxdx2dx25p45p2p 4c51c2)pxc, x443积分得 ( p4pppp444x5 p1 p 3c于是方程通解为44p（ p=0）5 p 2 1 p 4y4413 方程 y' '4y 3sin 2 x的通解解： 齐次方程是 y''4y0, 240,1, 22iy c1 cos2tc2 sin 2t由于 2i 是特征方程单根故所求特解应具形式y1x( Acos 2xbsin 2x)代入原方程4A3, B0A3 , B0

27、34y1xcos2 x4故通解为 y3c1 cos 2tc2 sin 2t ，其中 c1c2 为任意常数x cos2x4d 2 x4dx4xcost14dtdt解：特征方程244 0有重根122因此对应齐线性方程的通解为x(c1 c2t )e2t ，其中 c1 ,c2 为任意常数。因为i 不是特征根，现求形如AcostB sin t 的特征解，x代入原方程化简 (3A - 4B)cost(4A3B)sint cost33A4B1A故25于是3B044AB25故通解为 x(c1c2 t ) e2 t3 cos t4 sin t 其中 c1,c2 为任意常数252515 求下列常系数线性微分方程对

28、应的齐次方程为y' ' 2 y'10 y0特征方程为22100特征根为a13ia 不是特征根，故原方程有形如y*=(ax+b) e2x 的特解代入原方程得a1 ,b11050故原方程通解为yex ( c1 costc2sin 3t) ( 1 x1 )e2 x ，（ c1 ,c2 为任意常数）105016 解：因为 A2120+0102=20而且后面的两个矩阵是可交换的00得到 exp Atexp2001e2t1E +010t exp00t =e2t0t +20002t2100 但是，2!01200=0000所以，级数只有两项。因此，基解矩阵就是exp Ate2t1t0017 解： 特征方程为det( E212690A)41因此，3 是 A 的二重特征值.为了寻求对应于3 的特征向量