北京海淀区2018-2019年高二下学期期中考试数学试卷及答案

1、海淀区高二年级第二学期期中练习数学2019.4本试卷共 4 页， 100 分。考试时长90 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、 选择题共8 小题，每小题4 分，共32 分。在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（ 1）在复平面内，复数1i 对应的点位于A 第一象限B第二象限C第三象限D第四象限（ 2）函数 f ( x) x ln x 的导数 f ( x) 为A. ln x 1B. ln x 1C. 1+11D. 1xx（ 3）在平面直角坐标系xOy 中，半径为2 且过原点的圆的方程可以是A (x 1)2 +(y 1)22B

2、C ( x 1)2 +(y 1)24D（ 4）双曲线 2x2y24 的焦点坐标为( x1)2 +(y2)22( x2) 2 +y24A (0，6) 和 (0，6)BC (0，2) 和 (0， 2)D(6,0) 和 (6,0)(2,0) 和 (2,0)（ 5）如图，曲线yf (x) 在点 P(1, f (1)处的切线 l 过点 (2,0) ，且 f (1)2 ，则 f (1)的值为A C1B 12D 3（6）如图，从上往下向一个球状空容器注水，注水速度恒定不变，直到t0 时刻水灌满容器时停止注水，此时水面高度为h0 . 水面高度 h 是时间 t 的函数，这个函数图象只可能是ABCD（ 7）设 z

3、 为复数，则“zi ”是“ iz z2”的A 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C充分必要条件D. 既不充分也不必要条件（ 8）已知直线 l1 ：mxym0 与直线 l2 ：xx2y21my 1 0的交点为 Q ，椭圆4的焦点为 F1 , F2 ，则 QF1QF2的取值范围是A2,)B23,)C2,4D23,4二、填空题共6 小题，每小题4 分，共24 分。（ 9）请写出一个复数z，使得 z 2i 为实数 .（ 10）双曲线 x2 y21 的渐近线方程是.4（ 11）已知抛物线 y 22 px 经过点 A(4,4) ，则准线方程为，点 A 到焦点的距离为.（ 12）直线 l 与抛物线yx2

4、，交于 A，B 两点 ，且抛物线在 A， B 两点处的切线互相垂直2其中 A 点坐标为 (2,2)，则直线 l 的斜率等于.x2y21(a b0) 的两个焦点， 过点 F1 作 x 轴的垂线，（13） 已知 F1 , F2为椭圆 C ：b2a2交椭圆 C 于 P, Q 两点 . 当 F2 PQ 为等腰直角三角形时，椭圆 C 的离心率为 e1 ，当F PQ为等边三角形时，椭圆C的离心率为ee , eee222，则1 2的大小关系为 1 _（用“ >”,“ <”或“ =”连接）（ 14） 已知f (x)a( xb)( xc) ， g( x)xf (x)（ a0 ），则下列命题中所有正确

5、命题的序号为_.存在 a, b,c存在 a, b,c存在 a, b,c对任意 a,b, cR ，使得 f (x) ， g (x) 的单调区间完全一致；R ，使得 f (x)g( x) ， f ( x)g ( x) 的零点完全相同；R ，使得 f ( x) ， g ( x) 分别为奇函数，偶函数；R ，恒有 f ( x) ， g ( x) 的零点个数均为奇数.三、解答题共4 小题，共44 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（ 15）（本小题共12 分）已知圆 C : x2y24xa0 ，点 A(1,2) 在圆 C 上 .（）求圆心的坐标和圆的半径；（）若点B 也在圆 C 上，且AB2

6、5 ，求直线 AB 的方程 .（ 16）（本小题共12 分）已知函数f ( x)ax3bx2xc ，其导函数 yf ( x) 的图象如图所示， 过点 ( 1 ,0) 和3(1,0) .（）函数f ( x) 的单调递减区间为_ ，极大值点为_；（）求实数a, b的值；（）若f ( x) 恰有两个零点，请直接写出c 的值 .（ 17）（本小题共10 分）已知椭圆 W : x2y21 a b 0 的离心率 e6，其右顶点 A 2,0，直线 l 过a2b23点 B (1,0) 且与椭圆交于C ， D 两点（）求椭圆 W 的标准方程；（）判断点A 与以 CD 为直径的圆的位置关系，并说明理由.（ 18）

7、（本小题共10 分）已知函数 f ( x)1ax2ex ( a R )2（）如果曲线 yf ( x) 在点 (1, f (1)处的切线的斜率是0 ，求 a 的值；（II ）当 a 3 ， x0,1 时，求证： f ( x)1；（）若f ( x) 存在单调递增区间，请直接写出a 的取值范围 .海淀区高二年级第二学期期中练习参考答案2019.4数学阅卷须知 :1. 评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数.2. 其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分.一选择题：本大题共8小题，每小题4 分，共 32 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的题号12345678答案DA

8、DBCCAD二填空题：本大题共6小题，每小题4 分，共 24 分9.2i （答案不唯一）10.y 2x11. x1 ; 512.3413.14.（对一个得2 分，有错误不给分）三解答题：本大题共4 小题，共44 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15. 解：（）因为点A(1,2) 在圆 x2y24xa0 上,所以14 4a0 .解得a1 .所以圆的方程为x2y24x10 ，即 ( x2)2y25 .所以圆心坐标为(2,0) ，圆的半径 r 为5.（） 因为点 A ，点 B 都在圆上，且AB252r ,所以直线 AB 经过圆 C 的圆心 .所以直线 AB 的斜率 k022 .21所以直线

9、AB 的方程为 y2(x2) ，即 y2x4 .16. 解：（）(1,1) ，133注： 每空2 分，第一个空开闭均可，第二个空填（）因为2f ( x) = 3ax + 2bx +1 ，ì 1? f ( ) = 0;由题意知，í3? ? f (1) = 0.1也给分，填 (1不给分 .x =,0)33ì骣21?3a?琪琪即 í桫3?2?3a?1ì?a = 1,解得 í?b = - 2.2b?11=0;32b?1 1 = 0.（） c = 04或 -.2717. 解：（） 由题意可知，a2, ec6a，3所以 c26.3因为 b2a2c

10、2484 ，33x2y2.所以椭圆的方程为1443（） 点 A 在以 CD 为直径的圆上 .设 C 坐标为 ( x1 , y1 ) ， D 坐标为 ( x2 , y2 ) . 当直线 l 斜率不存在时，则l 的方程为 x 1.x1,x1,由23y24.得1.xy不妨设 C (1,1)， D (1, 1) .uuur(uuur所以 AC1,1), AD ( 1, 1) .uuuruuur0 .所以 AC ADuuuruuur所以 ACAD .所以点 A 在以 CD 为直径的圆上 .当直线 l 斜率存在时，设直线l 的方程为 yk( x1) .yk ( x1),由3y24.x2得 (1 3k 2

11、) x26k 2 x 3k 24 0所以6k 2x1x213k2 ,23k4x1 x22 .uuuruuur所以 AC( x12, y1 ), AD(x22, y2 ) .uuuruuur所以 AC AD ( x12)( x22) y1 y2 .(x12)( x22) k 2 (x1 1)( x21)x1 x22( x1x2 ) 4 k2 x1x2(x1x2 ) 13k 2426k 24 k2 (3k 2416k 21)13k 213k 213k23k 23k 23k 20.13k 213k2uuuruuur0所以 AC AD.uuuruuur所以 ACAD .所以点 A 在以 CD 为直径的

12、圆上 .综上，点 A 在以 CD 为直径的圆上 .18.解：（） f (x) = ax - ex ，由题意知，f (1)= 0即 a - e=0 ，所以 a=e.（）当 a = 3 时， f (x)3 x2 ex ，2所以 f (x) = 3x - ex .令 g (x)f ( x) ，所以 g ( x) 3ex.因为 x? 0,1，所以 ex ? 1,e. 因此 g ( x)3ex0恒成立 .所以当 x? 0,1 时， g (x)f ( x) 单调递增 .又因为 f '(0) = - 1 < 0 ， f '(1)= 3 - e>0 ，所以存在唯一的x0 ? (0,1)，使得 f &#