子空间与子空间的分解2013年

1、§2线性子空间与子空间的分解在通常的三维几何空间中，考虑一个通过原点的平面。不难看出，这个平面上的所有向量对于加法和数量乘法组成一个二维的线性空间，这就是说，它一方面是三维几何空间的一个部分，同时它对于原来的运算也构成一个线性空间。一般地，我们不仅要研究整个线性空间的结构，而且要研究它的线性子空间，一方面线性子空间本身有它的应用，另一方面通过研究线性子空间可以更深刻地揭示整个线性空间的结构。一、线性子空间的定义定义 7 设 V 是数域 F 上的一个线性空间， W 是 V 的一非空子集。如果 W 对于 V 中所定义的加法和数乘运算也构成数域 F 上的一个线性空间，则称 W 为 V 的一

2、个线性子空间 ，简称子空间 。验证 W 是否为 V 的子空间，实际上只需考察 W 对于 V 中加法和数乘运算是否封闭就行了。因为线性空间定义中的规则(1) (8) 在 W 对线性运算是封闭的情况下必是满足的。例 1 任何线性空间有两个平凡子空间或假子空间；一个是它自身 VV ，另一个是 W0 ，称为零元素空间（零子空间）。除此之外的子空间称为非平凡子空间或真子空间。下面举几个常见的例子。例 2 给定 A (a1, a2 , an )Rm n ，集合N( A)x | Ax0, xRnR( A)( A) L (a1 ,a2 , , an )span a1, a2 , an y | y Ax, x

3、Rn分别是 R n 和 R m 上的子空间，依次称为A 的零空间 (核)和列空间（值域） ，零空间的维数称为 零度A 的零空间 是齐次线性方程组 Ax 0 的全部解向量构成的 n 维线性空间 Rn 的一个子空间。因为解空间的基就是齐次线性方程组的基础解系。所以， dim( N ( A)n rank ( A) 。A 的左零空间和行空间N(AT )x | AT x 0, x RmR(AT )( AT ) y | y AT x, x Rm，dim( N ( AT )mrank ( AT ) 。A 表示 Am n 的广义逆，满足 AXAA，则有N(A)( I nAA)且 I n AA， A A幂等。所

4、以rank (I nA A) tr ( InA A)n tr ( A A)n rank ( A A) n rank ( A)例 3设1,2,m (m1) 是 V 的 m 个向量，它们所有可能的线性组合所成的集合mSpan 1 ,2 ,m|ki ii 1是 V 的一个子空间，称为由1 ,2 , ,m 生成的子空间。若记A (1,2, ,m ) Rn m，则( A) Span 1,2 ,m由子空间的定义可知，如果V 的一个子空间包含向量1 ,2 ,m ，那么就一定包含它们所有的线性组合。也就是说Span1, 2,m 是 V 的一个子空间。注：容易证明(1)dim( A) rank ( A) 。(2

5、)( A)( A B) , B b1bl ，特别若 b j , j1,2,l 可表示为1,2,m 的线性组合，则(A)(A B)。定理 2设 W 是 Vn 的一个 m维子空间，1, 2,m 是 W 的一个基，则这 m 个向量必定可扩充为Vn 的基。证明若 mn ，则定理已成立。若mn ，则 Vn 中必存在一个向量m 1 不能由1 ,2 ,m 线性表出，从而1,2 ,m ,m 1 线性无关。如果 m1n ，则定理已成立。否则继续上述步骤。经过n m 次 ， 则 可 得 到 Vn 内 n m 个 线 性 无 关 的 向 量 ， 使1 ,2 ,m , m 1 ,n 为 Vn 的基。二、子空间的分解子

6、空间作为子集，有子集的交（W1W2 ），和（W1W2 ）等运算，对它们有如下定理。定理 3设 W1 ,W2 是线性空间 V 的子空间，则有(1)W1与W2 的交集 W1W2|W1且W2是V 的子空间，称为 W1 与 W2 的交空间。(2)W1与W2的和W1W2|12, 1W1,2W2是 V 的子空间，称为 W1 与 W2 的和空间。证明(1)由0 W1, 0W2,可知0 W1W2,因而W1W2 是非空的 .其次，如果,W1W2,即 ,W1而且 ,W2,因此W1 ,W2,因此W1W2 .同样,由kW1 , kW2 , 知 kW1 W2.因此W1W2 是V的子空间 .(2)由定义W1W2V , 而

7、且非空.,12,则 有WWi , iWi , i 1, 2 .由12 ,12 ,1212( 11 )( 22 ),kk 1k2 ，因 Wi 是子空间 , 则 11W1 ,22W2 , k 1W1 , k2W2,所以W1W2 ,kW1W2, 即W1W2 是V 的子空间 .子空间的交与和的概念可以推广到多个子空间的情形。定理4(维数定理 ) 设 W1和 W2 是线性空间 V 的两个子空间，则有dimW1 + dimW2 = dim(W1W2 ) + dim(W1 W2 )(1)证明设 dim(W1W2 )r, dim W1s1,dim W2s2 ,W1W2基为1 ,2 ,r ，由定理 2 知，它们

8、可分别扩充为：W1 的基1 , 2 ,r , r 1 ,s1 ，W2 的基 1, 2, r, r 1, , s ，2则W1 = Span1 ,2 ,r ,r 1 ,W2 = Span1 ,2 ,r ,r 1 ,s1s2，W1W2Span1 ,2 , ,r ,r 1, s1 , r 1 , , s2 .下面证明 1, 2 ,r , r 1 ,s1 , r1 , s2为线性无关组。任取数 ki , pi, qi , 使rs1s2ki ipi iqi i 0 .(2)i 1i r 1i r 1因为s1rs2pi iki iqi i ,i r 1i 1i r 1所以s1piiW1W2 .ir 1从而有

9、s1ri ,piiniir 1i1即rni is1pi0.ii1ir1由1 ,2, r 1,1是W 的基,线性无关,故rs1pi0,ir1, s1 . 代入 (2)式, 得rki is2qi0,ii1i r1而 1, 2 , , r , r 1 , ,s2 是 W2 的基 , 于是ki0 (i1, 2,r ),qi0 (ir 1, , s2 ),故1 ,2 ,r ,r 1 ,s1 , r 1 , s2 线 性 无 关 ，dim (W1W2 )r(s1r )(s2r ) s1 s2 r ,定理得证 .从(1) 式知，若 W1W20 ，则有 dim( W1+W2 )<dim W1 +dimW

10、2 ,这时W1W2 ,x1x2 , xi Wi ,i1,2, 其表达式中 x1与 x2不是唯一的。例如12033W1Span0, 2, W2Span 1,2 ，有2W1W2 ，00000即 W1W2 0。这时0W1W2 可有两种表达式000 和0100220T320T.例 4 设 R3 中的两个子空间是-11-1- 1W1 Span 11, 21, W2 Span 13, 21010- 1求 W1 W2 及 W1 W2 的基和维数。解W1W2 = Span 1 , 2 ,1 ,2由于 1122且1,2 ,2 线性无关，故 W1W2 的一个基为 1 , 2 , 2 ，其维数 dim( W1 W2

11、 ) =3。由维数定理知dim( W1W2 ) = dim( W1)dim( W2 ) - dim(W1W2 ) =2+2-3=1根据1122，得到1212(0, 2,1)T0 W W，12从而 (0, 2,1)T 为W1W2 的一个基，其维数 dim( W1W2 ) =1。三、直和子空间子空间的和 W1W2 的定义仅表明，其中的任一向量可表示为12,1W1,2 W2 。但这种表示法不一定唯一。定义 8设 W1,W2 是线性空间 V 的两个子空间，如果 W1W2 中每个向量的分解式12 ,1W1, 2 W2是唯一的，则 W1 W2称为 W1 ,W2的直和，记为 W1 W2 。定理 5设 W1，

12、 W2 是线性空间 V 的两个子空间，则下面几条等价(1) W1 W2 是直和；(2)0 向量表示法唯一，即由0(W , W ) 得1211221 20；(3) W1 W2=0；(4)dim(W1 )dim( W2 )dim( W1W2 )证明采用轮转方式证明这些命题。(1) (2)按定义， W1W2 内任一向量表示法唯一，因而0 的表示法当然唯一。(2)(3)用反证法。若 W1W20，则有W1W2 ,0 ，于是W1，W2。而0() ，这与零向量的表示是唯一的假设矛盾。(3)(4)利用维数定理即得。(4)(1)由维数定 理知 dim(1212对任 一WW )=0,即 WW=0.W1 W2,如果

13、1212 (1 , 1W1; 2 , 2W2 )则有112 - 2于是112-2W1W20，即110,2-20。这说明11,22因而表示法唯一。定理证毕。定理 6设 W1 是 Vn 的一个子空间，则必存在 Vn 的子空间 W2 ，使 W1 W2 Vn 。证明：设 dim( W1 )= m , 且1, 2 ,m 是 W1 的一个基，根据定理 2 它可扩充为Vn 的基 1 , 2 , m , m 1, , n ，令W2 Span m 1 , ,n ，显然 W2就满足要求。子空间的交、和及直和的概念可以推广到多个子空间的情形。四、内积空间前文中，我们对线性空间的讨论主要是围绕着向量之间的加法和数量乘

14、法进行的。 与几何空间相比， 向量的度量性质如长度、夹角等在实际应用中更重要。因此，我们在一般线性空间中定义内积，导出内积空间的概念。定义 9 设 V 是实数域 R 上的实线性空间。如果对于任意的, V ，都有一个实数 ( , ) 与之对应，且满足(1)(,)(,) ;(2)(,)(,)(,);(3)(k,)k(,) ;(4)( , )0,当且仅当0 时 (, )0 .则称( ,) 为与的内积 。定义了内积的实线性空间 V 称为内积空间，又称欧几里得空间 或 Euclid空间（简称为欧氏空间 ）。xT yn例如，在 R n 中，定义内积 ( x, y)xi yi 。这时 R n 成i 1为内积

15、空间 。在内积空间 R n 中，如果 ( x, y)0 ，则称 x 与 y 正交，记为 xy 。设欧氏空间 Rn 中的基为1, 2,n ，欧氏空间中有两个向nn量xi i ,y j j ，下面我们来计算, 的内积。i1j 1nnnn( , )(xii ,y jj )xi ( i , j ) y ji1j 1i 1 j1记(1,1)(1,2)( 1 , n )G(1 ,2 ,n )(2,1)(2,2)( 2 , n )( n , 1 )( n , 2 )( n , n )x1y1xx2, yy2，xnyn则有( , )xT G( 1, 2 , , n ) y注：(1)方阵 G(1 ,2 ,n )

16、 称为向量组1 ,2 ,n 的 Gram 矩阵，或度量矩阵 。(2)1,2 ,n线 性无 关的充 要条 件是G( 1,2 , n )0 。(3) G( 1 , 2 , , n ) 对称正定。因为方阵x0,( 1 , 2 , , n ) x 0, xT G( 1, 2 , , n ) x ( , ) 0(4)若 n1 , 则22时, 则G( 1)1表 示长度的 平方 ； nG( 1, 2)212, 表示面积的平方； n 3,呢？(5)若 1,2 ,n 是规范正交基，则 G ( 1 ,2 , n )I n ，内积 ( , ) xT y 。即向量内积等于坐标的内积， 计算简单，所以内积空间的基常采用

17、规范正交基。另外，在规范正交基1, 2,n 下向量nx1x1xi i ( 1, ,n )的坐标 x的计算简单不i 1xnxn需要解线性方程组就能得到xi( , i ), i 1, n , 即n( ,i ) i .i 1设 W 是内积空间 V 的一个子空间。显然 W 也是一个内积空间。如果 V 的一个向量与 W 的每一个向量正交， 则称与 W 正交，记为W 。对于 V 中的两个子空间W1 ,W2 ，如果任取W1,W2，都有 (,)0，即，则称 W1 与W2 是互相正交的。记为 W1W2 。定义 10设 S 为 V 中的子空间，记Sx|xS x V,容易证明 S 也是线性空间，称为S 的正交补空间

18、。定理 7 设 A 为 nk 矩阵。记 A 为满足条件 A A0 且具有最大秩的矩阵，则R(A )R (A)证明设 xR( A )xA t,tA xA A t0z A x0,z( Az) x0xAzxR ( A) ；反之，xR ( A)xAz,z( Az) x0z A x 0, zA x 0x A t , tx R( A ) .推论：R( )(A)N( T )；R (AT) N(A).A RA证明：只证第一式 , 因为把第一式中的 A 看成 A' 即得第二式 .由 xR( A)xR(A)xAt ,t 任意( At )' x0, t 任意t ' A' x0,t任意

19、A' x0x N ( A' ) .和xR(A )xA t ,tA ' xA' A t0x N (A '), 证毕 .对于一个线性空间 S ，如果存在 k 个子空间 S1, , Sk ，使得对任意S ，可唯一地分解为1k ,iSi ,i1,2, , k ,则称 S为 S1, Sk 的直和，记为 SS1 S2Sk ，若进一步假设，对任意的iSi, jSj , ij ，有ij ，则称 S 为S1 , , Sk 的 正 交 直 和 ， 记 为 SS1 S2Sk ， 特 别 ，Rn.S ，对于 Rn 中子空间 S 都成立。S设 A( A1Ak ), ( Ai )( Aj )0 ,ij , 则( A)( Ai )( Ak) ；若进一步假设 Ai Aj0,ij , 则容易( A)( A ).( A )证明。ik容易证明对于内积空间Rn 的子空间 S 有下面的性质(1) S(S);(2) S1 S2S2 S1;(3)(S1S2 )S1S2 ;(4)(S1S2 )S1S2 .定理 8 对任意矩阵 A ，恒有 R( A)R(AA)。证明显然 R(AA)R(A),故只需证 R( A)R(AA ) , 事实上 , 对任给x R( AA ) , 有 x AA0 。右乘 x ,