天津市和平区天津一中2026届高二上数学期末学业水平测试试题含解析

天津市和平区天津一中2026届高二上数学期末学业水平测试试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知椭圆上一点到左焦点的距离为，是的中点，则（）A.1 B.2C.3 D.42．椭圆的长轴长是（）A.3 B.6C.9 D.43．已知，，，则的大小关系是（）A. B.C. D.4．函数图象如图所示,则的解析式可以为A. B.C. D.5．已知圆与直线至少有一个公共点，则的取值范围为（）A. B.C. D.6．按照小李的阅读速度，他看完《三国演义》需要40个小时.2021年12月20日，他开始阅读《三国演义》，当天他读了20分钟，从第二天开始，他每天阅读此书的时间比前一天增加10分钟，则他恰好读完《三国演义》的日期为（）A.2022年1月8日 B.2022年1月9日C.2022年1月10日 D.2022年1月11日7．一盒子里有黑色、红色、绿色的球各一个，现从中选出一个球.事件选出的球是红色，事件选出的球是绿色.则事件与事件（）A.是互斥事件，不是对立事件 B.是对立事件，不是互斥事件C.既是互斥事件，也是对立事件 D.既不是互斥事件也不是对立事件8．若数列为等差数列，数列为等比数列，则下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.9．命题：“，”的否定形式为（）A.， B.，C.， D.，10．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为30%，甲不输的概率为80%，则甲、乙下成平局的概率（）A.50% B.30%C.10% D.60%11．已知函数，则的值为（）A. B.C. D.12．在等差数列中，，则等于A.2 B.18C.4 D.9二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知数列中，.若为等差数列，则______.14．设x，y满足约束条件则的最大值为________15．若函数在处取得极小值，则a=__________16．已知双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则双曲线的离心率为___________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图1，在△MBC中，，A，D分别为棱BM，MC的中点，将△MAD沿AD折起到△PAD的位置，使，如图2，连结PB，PC，BD（1）求证：平面PAD⊥平面ABCD；（2）若E为PC中点，求直线DE与平面PBD所成角的正弦值18．（12分）已知椭圆过点，且离心率（1）求椭圆的方程；（2）设点为椭圆的左焦点，点，过点作的垂线交椭圆于点，，连接与交于点①若，求；②求的值19．（12分）如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，，且，为的中点（1）求平面与平面夹角的余弦值；（2）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由20．（12分）如图，在长方体中，底面是正方形，O是的中点，（1）证明：（2）求直线与平面所成角的正弦值21．（12分）已知两点（1）求以线段为直径的圆C的方程；（2）在（1）中，求过M点的圆C的切线方程22．（10分）已知各项均为正数的等差数列中，，且，，构成等比数列的前三项（1）求数列，的通项公式；（2）求数列的前项和

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】由椭圆的定义得，进而根据中位线定理得.【详解】解：由椭圆方程得，即，因为由椭圆的定义得，，所以，因为是的中点，是的中点，所以.故选：A2、B【解析】根据椭圆方程有，即可确定长轴长.【详解】由椭圆方程知：，故长轴长为6.故选：B3、B【解析】利用微积分基本定理计算,利用积分的几何意义求扇形面积得到,然后比较大小.【详解】,表示以原点为圆心，半径为2的圆在第二象限的部分的面积，∴；，∵e=2.71828…>2.7,，，,故选：4、A【解析】利用排除法：对于B,令得,,即有两个零点，不符合题意；对于C,当时，，当且仅当时等号成立，即函数在区间上存在最大值，不符合题意；对于D,的定义域为，不符合题意；本题选择A选项.点睛：函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项5、C【解析】利用点到直线距离公式求出圆心到直线的距离范围，从而求出的取值范围.【详解】圆心到直线的距离，当且仅当时等号成立，故只需即可.故选：C6、B【解析】由等差数列前n项和列不等式求解即可.【详解】由题知，每天的读书时间为等差数列，首项为20，公差为10，记n天读完.则40小时=2400分钟，令，得或（舍去），故，即第21天刚好读完，日期为2022年1月9日.故选：B7、A【解析】根据事件的关系进行判断即可.【详解】由题意可知，事件与为互斥事件，但事件不是必然事件，所以，事件与事件是互斥事件，不是对立事件.故选：A.【点睛】本题考查事件关系的判断，考查互斥事件和对立事件概率的理解，属于基础题.8、D【解析】对选项A，令即可检验；对选项B，令即可检验；对选项C，令即可检验；对选项D，设出等差数列的首项和公比，然后作差即可.【详解】若，则可得：，故选项A错误；若，则可得：，故选项B错误；若，则可得：，故选项C错误；不妨设的首项为，公差为，则有：则有：，故选项D正确故选：D9、D【解析】根据含一个量词的命题的否定方法直接得到结果.【详解】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题：“，”的否定形式为：，，故选：D.【点睛】本题考查全称命题的否定，难度容易.含一个量词的命题的否定方法：修改量词，否定结论.10、A【解析】根据甲获胜和甲、乙两人下成平局是互斥事件即可求解.【详解】甲不输有两种情况：甲获胜或甲、乙两人下成平局，甲获胜和甲、乙两人下成平局是互斥事件，所以甲、乙两人下成平局的概率为.故选：A.11、C【解析】利用导数公式及运算法则求得，再求解【详解】因为，所以，所以故选：C12、D【解析】利用等差数列性质得到，，计算得到答案.详解】等差数列中，故选D【点睛】本题考查了等差数列的计算，利用性质可以简化运算，是解题的关键.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】利用等差中项求解即可【详解】由为等差数列，则，解得故答案为：14、1【解析】先作出可行域，由，得，作出直线，向下平移过点时，取得最大值，求出点坐标代入目标函数中可得答案【详解】作出可行域如图（图中阴影部分），由，得，作出直线，向下平移过点时，取得最大值，由，得，即，所以的最大值为，故答案为：115、2【解析】对函数求导，根据极值点得到或，讨论的不同取值，利用导数的方法判定函数单调性，验证极值点，即可得解.【详解】由可得，因为函数在处取得极小值，所以，解得或，若，则，当时，，则单调递增；当时，，则单调递减；当时，，则单调递增；所以函数在处取得极小值，符合题意；当时，，当时，，则单调递增；当时，，则单调递减；当时，，则单调递增；所以函数在处取得极大值，不符合题意；综上：.故答案为：2.【点睛】思路点睛：已知函数极值点求参数时，一般需要先对函数求导，根据极值点求出参数，再验证所求参数是否符合题意即可.16、或2【解析】由圆的方程有圆心，半径为，讨论双曲线的焦点分别在x或y轴上对应的渐近线方程，根据已知及弦长与半径、弦心距的几何关系得到双曲线参数的齐次方程，即可求离心率.【详解】由题设，圆的标准方程为，即圆心，半径为，若双曲线为时，渐近线为且，所以圆心到双曲线渐近线的距离为，由弦长、弦心距、半径的关系知：，故，得：，又，所以，故.若双曲线为时，渐近线为且，所以圆心到双曲线渐近线的距离为，由弦长、弦心距、半径的关系知：，故，得：，又，所以，故.综上，双曲线的离心率为或2.故答案为：或2.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析；（2）.【解析】(1)推导出，，利用线面垂直的判定定理可得平面，再利用面面垂直的判定定理即可证明；(2)以A为坐标原点，建立如图空间直角坐标系，利用向量法即可求出直线DE与平面所成角的正弦值.【小问1详解】由题意知，因为点A、D分别为MB、MC中点，所以，又，所以，所以.因为，所以，又，所以平面，又平面，所以平面平面；【小问2详解】因为，，，所以两两垂直，以A为坐标原点，建立如图空间直角坐标系，，则，设平面的一个法向量为，则，令，得，所以，设直线DE与平面所成角为，则，所以直线DE与平面所成角的正弦值为.18、（1）（2）①,②【解析】（1）由题意得解方程组求出，从而可得椭圆的方程，（2）①由题意可得的方程为，再与椭圆方程联立，解方程组求出的坐标，从而可求出；②当时，，当时，直线方程为，与椭圆方程联立，消去，利用根与系数的关系，结合中点坐标公式可得中点的坐标，再将直线的方程与方程联立，求出点的坐标，从而可求出的值【小问1详解】由题意得解得，所以椭圆的方程为.【小问2详解】①当时，直线的斜率，则的垂线的方程为由得解得故，，②由，，显然斜率存在，，当时，当时，直线过点且与直线垂直，则直线方程为由得显然设，，则，则中点直线的方程为，由得所以综上的值为19、（1）（2）存在，点为线段的靠近点的三等分点【解析】（1）根据题意证得平面，进而证得平面，得到平面，以点为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴和轴建立空间直角坐标系，求得平面和平面的法向量，结合向量的夹角公式，即可求解；（2）设点，求得平面的法向量为，结合向量的距离公式列出方程，求得的值，即可得到答案.【小问1详解】解：因为四边形为正方形，则，，由，，，所以平面，因为平面，所以，又由，，，所以平面，又因为平面，所以，因为且平面，所以平面，由平面，且，不妨以点为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴和轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，可得，，，设平面的法向量为，则，取，可得，所以，易得平面的法向量为，则，由平面与平面夹角为锐角，所以平面与平面夹角的余弦值【小问2详解】解：设点，可得，，设平面的法向量为，则，取，可得，所以，所以点到平面的距离为，解得，即或因为，所以故当点为线段的靠近点的三等分点时，点到平面的距离为.20、（1）证明见解析（2）【解析】（1）以A为坐标原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，令，可得的坐标，再求数量积可得答案；（2）求出平面的法向量、的坐标，由线面角的向量求法可得答案.【小问1详解】在长方体中，以A为坐标原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系不妨令，则，，因为，所以【小问2详解】由（1）可知，，，设平面的法向量，则令，得，设直线与平面所成的角，则.21、（1）；（2